最优控制3

第3章
庞特里亚金最小值原理
f [ x(t ), u (t ), t ] x 定理3-1：设系统的状态方程为 控制 是有第一类间断点的分段连续函数，属于 m维空间中的有界闭集 U ， 即 m
u
x(t0 ) 初态 终态满足边界条件
性能指标
u(t ) U R
x0
[ x(t f ),t f ] 0
第3章
xt 1 t x xt 0.5
0 t 0.307 0.307 t 1 0 t 0.307 0.307 t 1
c1et 1 xt t c2e 0.5
根据边界条件继续求出：
4e 1 * x t 4 . 37 e 0 .5
第3章
3.1 连续系统的最小值原理
用变分法求解最优控制时，认为 控制向量不受限制。但是实际的 系统，控制信号都是受到某种限 制的。
因此，应用控制方程 H 0 来确定最优控制，可能出错。
u
a)图中所示，H 最小值出现在左 侧，不满足控制方程。
b)图中不存在 H 0
u
第3章
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（3-1），可写成另一种形式（3-2）：
t

1 1
t ce 1 1 ce1 1 0
ce
切换点：
t e1t 1
ts e
1t s
ts 1 0
ts 0.307

1 * u t 0.5
0 t 0.307
0.307 t 1
第3章
（6）有不等式约束时 引入两个新的变量z和w
g[ x (t ), u(t ), t ] 0
z(t0 ) 0
(z)2 g x(t ), u(t ), t ,
w u(t ), w(t0 ) 0
构造增广性能指标函数
J [ x (t f )] T [ x (t f ), t f ] {[ L( x, w, t ) λT [ f ( x, w, t ) x ] μ T [ g ( x, w, t ) z 2 ]}dt
tf t0
，其中
tf
自由。
J [ x(t f ), t f ] L[ x(t ), u(t ), t ]dt
使性能指标达最小值的最优控制的必要条件为：
第3章
（1）状态方程 （2）协态方程 （3）极值条件
x
H f [ x, u , t ]
H x
u ( t )U


解：定常系统、积分型 J ，
t f 固定， x t f 自由， u 受约束

H x u x u x1 1 u
1 * u t 0.5
1
1
第3章
由协态方程
H t 1 x
t0 tf
最优轨迹上
H g T μ u u
第3章
3.2 最小值原理的应用示例
t x t u t x 0 5 0.5 u t 1 例3-1：x 1 * * 试求：J xt u t 时的 ， u x dt min

0

第3章
第3章 最小值原理
本章主要内容：
3.1 连续系统的最小值原理 3.2 最小值原理的应用示例
3.3 离散系统的最小值原理
原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控 制的成果，在1956-1958年间逐步创立了“最大值原理”。 通常称为“最小值原理”—当控制作用的大小限制在一定范围内时 ，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值 。
解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值 原理求解。 为使H达到最小，控制函数应为：
H L f (3) u x ( x u ) 2 1 (1 ) x ( )u 2
(t f )
1 u * (t ) sgn( (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 (t ) H 1 (5) x T
t
0 t 0.307 0.307 t 1
第3章
百度文库t
1.72
u*
1
0 0.307 1
1
0 .5
t
12.3
0
0.307
1
t
x* t
6.44
5
0
0.307
1
t
第3章
例3-2 系统状态方程为 其始端状态和终端状态分别为
x u x
(1)
x(0) 1, x(1) 自由，且u(t ) 1 1 求最优控制u*(t)，使如下性能指标最小。 J ( x 1u )dt (2) 0 2
其中：
H (k ) L[ x(k ),u(k ), k ] T (k 1) f [ x(k ),u(k ), k ]
第3章
第3章 要点
庞特里亚金最小值原理的表述和简单应用
v (1) 0 x(t f ) x(t f ) (6)
作业：继续推导，完成本题
第3章
3.3 离散系统的最小值原理
定理3-2：设系统的状态方程为 x(k 1) 始端状态 x(0) x ，终端 N 固定，
0
f [ x(k ), u (k ), k ], k 0,1,..., N 1
x( N )
自由。
容许控制 使性能指标
u(k ) U Rm
J [ x( N ), N ] L[ x(k ), u (k ), k ]
k 0 N 1
取极小值的最优控制的必要条件为：
第3章
（1）状态方程 （2）协态方程 （3）极值条件
x(k 1)
H (k ) f [ x(k ), u (k ), k ] (k 1)
H (k ) (k ) x(k )
u ( k )U
H [ x* (k ), (k 1), u * (k ), k ] min H [ x* (k ), (k 1), u (k ), k ]
（4）端点约束 （5）横截条件
x(0) x0
(N )
x( N )
H (t f ) vT 0 t f t f
第3章
思考：几种终端情形

终端时间自由或固定 性能指标类型：拉格朗日型
第3章
最小值原理与古典变分法中条件极值定理的主要区别在于： 容许控制u(t)受有界闭集限制
u(t ) U Rm
控制方程变为极值条件（证明略）
(3 3)
H [ x* (t ), (t ), u * (t ), t ] min H [ x* (t ), (t ), u (t ), t ]
（4）端点约束
x(t0 ) x0
[ x(t f ), t f ] 0
（5）横截条件
T (t f ) v x(t f ) x(t f )
第3章
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： • 数学证明 • 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）最小值原理没有涉及最优控制的存在性和唯一性，可根据实 际物理意义判定。 （5）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。
H [ x* (t ), (t ), u* (t ), t ] min H [ x* (t ), (t ), u (t ), t ] (3 4)
u ( t )U
说明： （1）最小值原理是对古典变分法的发展 • 放宽了应用条件（L的可微性、控制约束） • 使性能指标获得全局最小(H为全局最小） 使古典变分法中条件极值定理成为最小值原理的一个特例。
H 0 (3 1) u * H [ x (t ), (t ), u* (t ), t ] min H [ x* (t ), (t ), u (t ), t ] (3 2)
u ( t )U
分析： （1）在控制函数 u不受约束的情况，（3-1）与（3-2)等价 （2） 在u受闭集性约束的情况下，u(t ) U ，（3-1）未必是求解最优 控制的必要条件之一，而（3-2）总是成立的。