第五章矩阵分析

第五章 矩阵分析

本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.

§5.1 向量与矩阵的范数

从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.

一、向量的范数

定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：

1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有

x =0；

2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有

y x y x +≤+，

则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为⋅） 为V 上的一种向量范数.

例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义

2

22212

n

x x x x

+++=

则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模].

证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足 1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =；

2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有

22||||||kx k x =

=；

3）三角不等式 对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y == ，有

2222

21122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++++

2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++

2

21

1

1

||2||||||n

n

n

i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不

等式）

222222

2

22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+

因此 222||||||||||||x y x y +≤+

所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x = 定义 112||||||||||n x x x x =+++ ， 1max i i n

x

x ∞

≤≤=，

则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i

x

x ∞

=>，又显然有00∞=；

2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ， m a x m a x ;

i i i

i

kx

kx k

x k x

∞

∞

===

3）三角不等式 对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==

()i i i

i i i

y x y x y

x +≤+=+∞

max max

i i

i i

y x max max +≤ =∞∞

+y x .

综上可知∞x 确为向量范数.

上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数.

一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数

p

n

i p i p

x x

1

1⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数.

注（1）当1p =时，1;p

x

x =

（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，

122

21

()n

i i x x ==∑为欧氏空间范数；

由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：

1、Hölder 不等式 设正实数,p q 满足

11

1,p q

+=则对任意的,,n x y C ∈有

111

1

1

()()n

n

n

p

q p

q

i i

i i i i i x y

x y ===≤∑∑∑

2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有

（1111

1

1

()()()n

n

n

p

p p

p

p

p

i i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.

例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则

1,

,

21===∞

x

n x n x

各种范数值差距很大.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称

为范数的等价性.

定理1 设βα⋅⋅,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对一切向量x ，恒有

βα

β

x C x

x

C 21≤≤ (1)

证 如果范数x α和x β都与一固定范数譬如2-范数2x 满足式（1）的

关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12

,C C ''和12

,C C ''''，使 12

2212

2,C x x C x C x

x C x α

β

β

''≤≤''''≤≤

成立，则显然有

112

2||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成立即可. 设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表示为

1122n n x x x x ξξξ=+++

从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++ 可视为n 个变量12,,,n ξξξ 的函数，记为12(,,,)n x αϕξξξ= ，易证12(,,,)n ϕξξξ 是连续函数，事实上，若令