条件最值与条件不等式
基本不等式中常用公式
基本不等式中常用公式一、基本不等式中常用公式：（1）222b a +≥2)(b a +≥ab ≥ba 112+（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （2）ab ≤2)(b a +（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （3）a ²+b ²≥2ab （当且仅当a ＝b 时，等号成立）（4）ab ≤4)(2b a +（当且仅当a ＝b 时，等号成立） （5）||a|－|b| |≤|a ＋b|≤|a|＋|b|。
（当且仅当a ＝b 时，等号成立）二、基本不等式不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
二、基本不等式的应用基本不等式应用：1、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。
所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。
“一正”“二定”“三相等”，是指在用不等式a +b ≥2ab 证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求。
一正：a、b都必须是正数；二定：在a+b为定值时,便可以知道ab的最大值；在ab为定值时,就可以知道a+b的最小值。
三相等：当且仅当a、b相等时,等号才成立；即在a＝b时,a+b ＝2ab。
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式。
其可表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
2、在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。
3、条件最值的求解通常有两种方法：（1）一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；（2）二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值。
不等式约束条件求最值
不等式约束条件求最值【实用版】目录一、引言二、不等式约束条件的定义与分类1.线性约束条件2.线性不等式约束条件3.凸约束条件三、求最值的方法1.梯度下降法2.拟牛顿法3.信赖域反射算法四、应用实例1.线性规划问题2.二次规划问题3.机器学习中的优化问题五、结论正文一、引言在数学优化问题中，我们常常需要求解一个函数在某个约束条件下的最大值或最小值。
这类问题被称为带约束条件的最优化问题。
为了更好地解决这类问题，我们需要了解不等式约束条件的定义和分类，并掌握求最值的方法。
二、不等式约束条件的定义与分类1.线性约束条件线性约束条件是指一个或多个线性方程组成的不等式约束条件。
例如，在线性规划问题中，约束条件通常是线性的。
2.线性不等式约束条件线性不等式约束条件是指一个或多个线性不等式组成的约束条件。
例如，在机器学习中的优化问题中，我们常常需要考虑线性不等式约束条件。
3.凸约束条件凸约束条件是指满足凸包性质的约束条件。
在凸优化问题中，约束条件通常是凸的。
三、求最值的方法1.梯度下降法梯度下降法是一种常用的求最值的方法。
它通过计算目标函数的梯度来不断更新参数，使目标函数值逐渐下降。
2.拟牛顿法拟牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法。
它通过计算目标函数的二阶导数来更新参数，使目标函数值逐渐下降。
3.信赖域反射算法信赖域反射算法是一种基于梯度下降法的优化算法。
它通过在每个迭代步长内计算目标函数的梯度，并在信赖域内选择一个最优的步长来更新参数，使目标函数值逐渐下降。
四、应用实例1.线性规划问题线性规划问题是一种带线性约束条件的最优化问题。
它可以通过线性规划方法求解，例如单纯形法、内点法等。
2.二次规划问题二次规划问题是一种带二次约束条件的最优化问题。
它可以通过二次规划方法求解，例如梯度下降法、拟牛顿法等。
3.机器学习中的优化问题在机器学习中，我们常常需要解决带约束条件的优化问题。
例如，在支持向量机中，我们需要在满足约束条件的情况下求解最优的超平面。
条件最值问题的几种基本解法
条件最值问题的几种基本解法作者：赵玉香来源：《读写算》2011年第15期条件最值是最值问题中的一种常见题型，这类问题可以较好考查学生的数学应用能力。
分析和解决条件最值问题的思路和方法多种多样，笔者认为方法不宜分太细，学生只要掌握其中最基本的几种就行了，在应用中可以以不变应万变。
笔者在实践中归纳出了这类问题的几种基本解法：一、构造函数法利用所给条件，将所求式转化成关于某个自变量的函数形式，再利用求函数在给定区间上最值的方法来解题，这种方法就是笔者所说的函数构造法。
函数构造法又分为直接构造法和间接构造法两种。
(一)直接构造法又称代入消元法，直接将条件式简单变形后代入所求式，使之转化成关于某个自变量的函数形式再来求解，这种方法主要适用于条件式的次数不高于所求式的次数的题型。
例1:若，求的最小值。
解：由得，所以，从而的最小值为-45。
变式：若，求的最小值。
（注意字母的取值范围，如变式中,所以。
）(二)间接构造法又称参数法，在不容易直接代入的情况下根据条件式的特征及常见曲线参数方程的形式引入一个新的参数，将所求式转化成关于新参数的函数，再利用函数的性质求解问题的方法。
例2:若求的最大值。
解：由可令所以=，则的最大值是变式1若求的最大值。
（）变式2若求的最小值（令，则==，其中，所以的最小值为）参数法主要适用于条件式为两个平方式之和为1（或其它正数），求一次或二次代数式最值的问题，（条件为两式之和等于一个正数的情况也可以使用），通常会涉及到三角函数的化简及最值的求解问题。
练习1：若试分别用两种方法求的最大值。
（4）二、方程与不等式法题目中出现两个齐次式，特别是两个字母的和或者积式且其中一个为等式，求另一个式子的最值时，常通过根与系数的关系将问题转化成方程根的分布问题，或者利用放缩法将问题变成解不等式或应用均值不等式的问题，利用均值不等式时必须注意“一正，二定，三相等”的条件限制，特别是要验证等号能否成立。
例3:已知正数满足，求的最小值。
数学条件的定义
数学条件的定义
数学中的条件定义是指定义项为条件命题（即假言命题）的定义。
例如，“x是偶数，当且仅当x是整数，则x能为2所整除”。
在这种定义中，定义项与被定义项都表现为等值命题。
此外，数学中还有其他与“条件”相关的概念，如条件不等式、条件方程、条件分布和条件极值等。
•条件不等式是指只有在某些范围内的数值代替其中的字母时，不等式才能成立的不等式。
•条件方程是根据各观测元素间的几何、物理条件或附加条件和约束条件建立的方程式。
•条件分布是指在二维随机变量中，当其中一个随机变量取得固定值时，另一个随机变量的概率分布。
•条件极值是在某附加条件下的极值。
这些概念在数学中被广泛应用，不仅在数学问题的解决中起到关键作用，还在经济学、工程项目等其他领域中有所应用。
以上信息仅供参考，如需了解更多关于数学条件定义的信息，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士。
不等式约束条件求最值
不等式约束条件求最值（原创版）目录一、引言二、不等式约束条件的概念三、求最值的方法四、实际应用案例五、结论正文一、引言在数学和实际问题中，求最值问题一直是一个重要研究领域。
求最值问题通常需要解决一系列的不等式约束条件。
本文将介绍如何在不等式约束条件下求最值的方法。
二、不等式约束条件的概念不等式约束条件是指在一个数学模型中，变量之间存在的大小关系。
例如，一个线性规划问题中，不等式约束条件可以表示为：ax + by ≤ z，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
三、求最值的方法在不等式约束条件下求最值，通常可以采用以下几种方法：1.图形法：通过绘制不等式约束条件表示的区域，找到最值点。
这种方法适用于二维或三维空间中的不等式约束条件。
2.梯度法：梯度法是一种数值优化方法，通过计算目标函数的梯度来更新变量的值，直到找到最值点。
这种方法适用于任何维度的求最值问题。
3.内点法：内点法是一种基于预测 - 校正策略的原始 - 对偶路径跟踪算法。
这种方法不需要计算目标函数的梯度，适用于大规模的求最值问题。
四、实际应用案例不等式约束条件下求最值的方法在许多实际问题中都有广泛应用，例如：1.经济学中的线性规划问题：在资源有限的情况下，如何最大化利润或最小化成本。
2.工程领域的优化问题：在满足设计要求的前提下，如何降低材料的使用成本或提高生产效率。
3.机器学习和数据挖掘中的问题：在给定数据集的情况下，如何找到最优的分类器或回归器。
五、结论不等式约束条件下求最值问题是数学和实际应用领域中的一个重要问题。
通过采用图形法、梯度法、内点法等方法，可以有效地解决这类问题。
不等式的绝对值与条件
不等式的绝对值与条件在数学中，不等式是代数学中非常重要的一部分。
它们描述了数值之间大小关系，可以在各种实际问题中应用。
然而，当涉及到绝对值和条件时，不等式的求解和理解将变得更加复杂。
本文将探讨不等式中绝对值与条件的关系，并介绍一些相关概念和解决方法。
1. 绝对值的定义绝对值（Absolute Value）是一个数的非负值。
对于任意实数x，绝对值可以用如下方式表示：|x|。
当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值可以理解为一个数到原点的距离。
2. 绝对值与不等式当不等式中含有绝对值时，需要分两种情况讨论。
首先是当绝对值大于等于某个数时，可以得到一个复合不等式。
例如，|x|≥a，其中a为正实数。
通过绝对值的定义，我们可以得到两个不等式：x≥a，x≤-a。
这样，原不等式就被分解成两个简单的不等式。
解这种不等式，我们需要考虑两种情况。
其次是当绝对值小于某个数时，我们可以得到一个单个的不等式。
例如，|x|<b，其中b为正实数。
同样地，通过绝对值的定义，我们可以得到一个简单的不等式：-b<x<b。
这样，原不等式简化为一个不等式的区间解。
3. 满足条件的绝对值不等式在实际问题中，往往需要在不等式中添加一些条件。
这些条件可以是数的范围、关系或其他限制。
当有条件的绝对值不等式涉及到时，我们需要根据条件的具体情况进行讨论和求解。
例如，假设有一个不等式为|2x-4|>6，但是有附加条件x>3。
首先，我们可以通过绝对值的定义得到两个不等式：2x-4>6，2x-4<-6。
然后，根据附加条件x>3，我们只需要考虑x>3时的情况。
因此，我们可以解这个不等式得出x>5。
4. 解决不等式的方法除了直接应用绝对值的定义外，还有一些常用的方法来解决不等式。
（1）图像法：将不等式中的表达式绘制成图像，通过观察图像的交点或区域来求解。
（2）代数法：通过变量代换、化简和分情况讨论等方法，将不等式转化为简单的不等式，然后解决。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
不等式约束条件求最值
不等式约束条件求最值1. 引言在数学中，不等式约束条件求最值是一个常见的问题。
它涉及到在一定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最大值或最小值的变量的取值。
不等式约束条件可以是线性的，也可以是非线性的。
本文将介绍不等式约束条件求最值的基本概念和方法。
2. 线性不等式约束条件求最值2.1 单变量线性不等式约束条件求最值单变量线性不等式约束条件求最值是最简单的情况。
假设我们有一个目标函数 f(x) 和一个线性不等式约束条件 g(x)，我们的目标是找到使 f(x) 取得最大值或最小值的 x 的取值。
2.1.1 最大值的求解要求 f(x) 的最大值，我们需要找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。
然后我们在这个范围内计算 f(x) 的值，并找到最大的那个值。
具体的求解步骤如下： 1. 找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。
2. 在这个范围内计算 f(x) 的值。
3. 找到 f(x) 的最大值。
2.1.2 最小值的求解要求 f(x) 的最小值，我们需要找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。
然后我们在这个范围内计算 f(x) 的值，并找到最小的那个值。
具体的求解步骤如下： 1. 找到满足 g(x) 的不等式约束条件的 x 的取值范围。
2. 在这个范围内计算 f(x) 的值。
3. 找到 f(x) 的最小值。
2.2 多变量线性不等式约束条件求最值多变量线性不等式约束条件求最值是相对复杂一些的情况。
假设我们有一个目标函数f(x1, x2, …, xn) 和一组线性不等式约束条件g1(x1, x2, …, xn), g2(x1, x2, …, xn), …, gm(x1, x2, …, xn)，我们的目标是找到使f(x1, x2, …, xn) 取得最大值或最小值的x1, x2, …, xn 的取值。
2.2.1 最大值的求解要求f(x1, x2, …, xn) 的最大值，我们需要找到满足g1(x1, x2, …, xn),g2(x1, x2, …, xn), …, gm(x1, x2, …, xn) 的不等式约束条件的x1, x2, …,xn 的取值范围。
第六章 第三节 基本不等式
第三节 基本不等式
考点一 考点二
[基础梳理] 1．重要不等式 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)． 2．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件是 a>0，b>0 . (2)等号成立的条件是：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中a＋2 b称为正数a，b的算术平均数， ab称为正数a，b的几何平均数．
挖掘3 利用常值代换/ 互动探究
[例3] (1)(2020·西安模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1x＋31y的最小值
是( )
A．2 B．2 2
C．4
D．2 3
解析：由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，lg 2x＋3y＝lg 2，
∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y)＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时等号成立.故选
C. 答案：C
(2)(2020·广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且 A→C ＝4 A→D ，P为BD上一
点，向量A→P＝λA→B＋μA→C(λ＞0，μ＞0)，则4λ＋μ1的最小值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：由题意可知， A→P ＝λ A→B ＋4μ A→D ，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条
答案：D
3．(基础点：构造不等式的定值)已知x>1，则x＋x－4 1的最小值为________． 答案：5 4．(易错点：“1”的代换)若1a＋1b＝1(a>0，b>0)，则a＋b的最小值为__________． 答案：4
考点一 考点二
考点一 利用基本不等式求最值 教材剖析，必修5P100A组T1 (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ [解答] (1)两个数都是6，和最小为12. (2)两个数都是9，积最大为81.
不等式约束条件求最值
不等式约束条件求最值1. 介绍在数学中，不等式约束条件求最值是一类常见的优化问题。
在这类问题中，我们需要找到满足一组不等式约束条件的变量的最大值或最小值。
这种问题在数学建模、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。
不等式约束条件求最值的解决方法通常包括图像法、代数法和数值法。
在本文中，我们将重点介绍代数法的求解过程。
2. 代数法求解代数法是一种基于代数运算的求解方法，通过代数性质和技巧来求解不等式约束条件求最值的问题。
下面我们将详细介绍代数法的求解过程。
2.1. 确定变量和目标函数首先，我们需要确定参与求解的变量和目标函数。
变量是我们要求解的未知数，而目标函数是我们要优化的函数。
2.2. 确定约束条件接下来，我们需要确定约束条件。
约束条件是一组不等式，限制了变量的取值范围。
这些约束条件可以来自于实际问题的限制，也可以是我们根据问题进行的假设。
2.3. 构建不等式根据约束条件，我们可以构建一组不等式。
这些不等式描述了变量的取值范围。
2.4. 确定最值的可能性在进行求解之前，我们需要确定最值的可能性。
对于最大值问题，我们需要判断目标函数是否存在上界；对于最小值问题，我们需要判断目标函数是否存在下界。
2.5. 求解不等式组根据不等式组，我们可以通过代数运算来求解最值。
具体的求解过程包括以下几个步骤：1.将不等式组进行化简，消去冗余的不等式。
2.利用代数性质和技巧，将不等式组转化为更简单的形式。
3.使用代数运算，求解转化后的不等式组。
4.根据求解结果，确定最值。
2.6. 检验最值在求解过程中，我们需要对求得的最值进行检验，确保其满足约束条件。
如果最值不满足约束条件，我们需要重新进行求解，直到找到满足约束条件的最值。
3. 示例为了更好地理解不等式约束条件求最值的求解过程，我们来看一个具体的示例。
3.1. 问题描述假设我们要在一个矩形区域内建造一个长方形花坛，使得花坛的面积最大。
已知矩形区域的周长为20米，我们需要确定花坛的长和宽。
哈代(Holder)不等式推广与两类条件最值问题的巧解
・
若 ＞Ｏ ， ｙ ＞Ｏ （ 一１ ， ２ ， ３ ， …， ） ， 口 ， Ｉ ９ 都
｝ ｆ ∑ ， ｉ １ ｛ ｆ １ 告 ． 【 ｆ ∑ ｌ≥∑ｍ ， ＾ 二１ － Ｊ Ｌ １ ｊ 。 。 １
旦＋ 的最小值 ；
当 且 仅 当 蚤 一 委 一 … 一 委 时 ， 不 等 式 取 等
（ ＊）
思 考 １ 从不 等式 （ ＊） 结 构 特征 及 不 等 式 取 等号 的条 件 上 看 ， 与 柯 西 不 等式 非 常 相 似， 是柯 匿不 等式 次数 方 向的进 一步推 广吗 ？ 思 考 ２ 对 于所 解 决 的三 类 问题 及 其 相 应 变式 ， 共 同点 １ 都是 三个 变 量 的 问题 ， 若 是
问题 ３ 若Ｚ ｚ 。 ＋ｍ 。 ＋ｎ ｚ 。 ＝１ ， 求 ＋ 号． ｑ ３ ， ＋ 的最大值． １ 应 用哈代 （ Ｈ ｏ ｌ ｄ ｅ ｒ ｌ 不等式解 决两类条件
文中所给不 等式 整齐优美 ， 应用所 得的 最值 问题 结论 ， 三类 问题 的解 答也 是简 捷 明 了 ， 笔 者很 问题 １ 若 ， ， ｍ ∈Ｒ （ ｉ ： ： ＝ １ ， ２ ． …．
（ ｎ ｛ ＋ｎ ； ＋ｎ ｉ ） （ 研＋院＋６ ｊ ） （ ｃ ｉ ＋ｃ ｉ ＋Ｃ ３ ）
≥（ ｎ １ ｂ １ Ｃ １ ＋口 ２ ｂ ｚ ｆ ２ ＋口 ３ ｂ ３ ｃ ３ ） 。 ，
当 且 仅 当 ＝ 老 一 等 ， 鲁 ＝ 鲁 ＝ 鲁 时 ， 不 等 式 两 个变量 或三 个 以上 的变 量 如何 解决 呢？共
５ ６
数学教学研究
第３ ３ 卷第 ３ 期
２ ０ １ ４年 ３ 月
哈代 （ Ｈｏ ｌ ｄ ｅ ｒ ） 不 等 式推 广 与两 类条 件最 值 问题 的巧解
用基本不等式求最值的常见类型及解题方法
用基本不等式求最值的类型及方法之杨若古兰创作均值不等式是《不等式》一章主要内容之一，是求函数最值的一个主要工具，也是高考常考的一个主要常识点.请求能熟练地应用均值不等式求解一些函数的最值成绩. 一、几个主要的均值不等式a =b 时，“=”号成立；a =b 时，“=”号成立；a =b =c 时,“=”号成立；当且仅当a =b =c 时,“=”号成立.注：①留意应用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；(1)(2)②单调递增区间：(,]b a -∞-，[,)ba+∞；单调递减区间：(0,]b a，[,0)b a -.三、用均值不等式求最值的罕见类型 类型Ⅰ：求几个负数和的最小值.例1、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.练习（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈类型Ⅱ：求几个负数积的最大值.例2、当时，求(82)y x x =-的最大值.练习①23(32)(0)2y x x x =-<< 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立. 例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x =+)10(≤<x 的最小值.类型Ⅳ：条件最值成绩. 例4、已知负数x 、y满足811x y +=，求2x y +的最小值.类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的成绩. 例5、已知负数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围. 类型 条件求最值例6、若实数满足2=+b a ，则b a33+的最小值是练习1,y的值2.四、均值不等式易错例析：例1..例2..例3..例4..综上所述，利用均值不等式求最值要留意：一要正：各项或各因式必须为负数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要包管等号确能成立，如果等号不克不及成立，那么求出的仍不是最值.。
归纳初中数学所有的最值问题
归纳初中数学所有的最值问题初中数学中的最值问题是指在给定条件下确定一个函数的最大值或最小值的数学问题。
这类问题常出现在代数、几何和概率统计等各个领域中。
最值问题涉及的知识点包括函数的最值、二次函数、三角函数、不等式、平方根函数、图像和方程，是数学学习中的重要内容之一。
在初中数学中，最值问题通常涉及以下几个方面：1.函数的最值在求一个函数的最大值或最小值时，需要先求出函数的导数，然后将导数等于零解方程，再将解代入原函数，找出极值点，最后用极值点和边界点比较确定最值。
这是求一元函数最值的一般方法。
2.二次函数的最值对于二次函数，其最值很容易通过求顶点来确定。
若二次函数是抛物线开口朝上的，则顶点为最小值点；若二次函数是抛物线开口朝下的，则顶点为最大值点。
3.三角函数的最值常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在特定区间内有最大值和最小值。
通过观察周期性和对称性，结合函数图像，可以很容易确定三角函数的最值点。
4.不等式求最值在不等式中，也经常需要求出不等式的最大值或最小值。
这种情况下，可以通过化简不等式、取对数、使用平方差公式等方法来求解。
同时，在不等式的求解方法中，对绝对值不等式的处理也是不可或缺的内容。
5.平方根函数的最值平方根函数是一个中心在(0,0)的奇函数，其图像是以原点对称的。
通过观察平方根函数的图像和性质，可以确定其最值点。
6.图像和方程利用图像和方程求解最值问题，通常是在几何解题和函数求值中应用频繁的方法。
通过观察函数的图像和方程的关系，可以找出函数在给定区间内的最大值和最小值。
最值问题在初中数学中占有重要的地位。
它不仅涉及到数学知识的运用，还有助于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而且最值问题也为中学数学学习打下了坚实的基础，为学生将来更深入的数学学习奠定了稳固的基础。
在教学中，师生可以通过具体的案例和实际生活中的问题来讲解最值问题，使学生能够更好地理解和掌握这一知识点。
不等式最值定理
不等式最值定理不等式最值定理是数学中的一项重要理论，它在解决不等式问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍不等式最值定理的概念、原理以及应用，希望能为读者对此理论有更深入的了解。
1. 不等式最值定理的概念不等式最值定理是指在给定条件下，确定不等式的最大值或最小值的方法。
它为解决不等式问题提供了一种有效的途径。
在实际问题中，经常需要求解不等式的最值，例如寻找最大利润、最小花费等，而不等式最值定理提供了一种系统的思路和方法。
2. 不等式最值定理的原理不等式最值定理的原理基于数学分析的基础，并采用数学推导的方法得出。
其核心思想是通过确定不等式的导数、二次导数等相关属性，来确定不等式的最值点。
通过求解极值点，可以进一步确定不等式的最值。
3. 不等式最值定理的应用不等式最值定理在数学中的应用非常广泛。
在代数、几何、函数等多个领域都有它的应用。
以下是几个典型的应用案例：(1) 代数方程中的不等式最值：在解代数方程时，往往需要确定某个变量的取值范围。
不等式最值定理可以用来解决这类问题，帮助我们缩小变量的取值范围，从而得到更精确的解。
(2) 几何问题中的不等式最值：在几何问题中，常常需要求解图形的最大面积、最小周长等问题。
不等式最值定理可以用来确定图形参数的取值范围，从而得到最优方案。
(3) 函数的最值问题：对于给定函数，我们常常需要求解其最大值或最小值。
不等式最值定理提供了一种方法，通过求解函数的导数或二次导数来确定函数的极值点，从而得到最值。
4. 不等式最值定理的解题方法在实际应用中，我们可以采用以下步骤来解决不等式最值问题：(1) 理解题意，明确所求的最值是最大值还是最小值。
(2) 根据题目给出的条件，列出相关的不等式关系。
(3) 利用不等式最值定理，求解不等式的最值点。
(4) 根据求解结果，得出最值点的具体取值，并验证其是否满足条件。
(5) 得出最终的答案，给出详细的解释和推导过程。
通过以上步骤，我们可以系统地解决不等式最值问题，并得到准确的结果。
哈代(holder)不等式推广与两类条件最值问题的巧解
哈代(holder)不等式推广与两类条件最值问题的巧解
哈代(holder)不等式推广与两类条件最值问题是受哈代不等式（Hölder inequality）影
响的数学研究问题，其主要包括有条件最值问题及无条件最值问题，其中条件最值问题则
大致可分为线性算子条件最值问题与拓扑空间内无线数列项条件最值问题，而无条件最值
问题则分为算子无条件最值问题及拓扑空间内无线数列项无条件最值问题。
现如今，哈代不等式推广与两类条件最值问题已被广泛应用于各个领域，其主要包括分析
几何、运筹学与规划等，其中有条件最值问题的解法之一是利用哈代及一般不等式进行代
数系统的求解，而无条件最值问题的求解则需要先构建足够多的基础最优性约束条件，然
后再进行正规优化计算，从而获得满足条件的最佳解或最优解。
此外，哈代不等式推广与两类条件最值问题的解决办法之所以被广泛采用，还因为其具备
优越的推广性与数学特征，从而可以有效降低空间复杂度。
值得强调的是，作为一种抽象
的数学问题，哈代不等式推广与两类条件最值问题能够有效地提高空间对比度及普遍性，
使得研究人员可以更加容易地理解和掌握各种抽象数学概念。
总之，哈代不等式推广与两类条件最值问题因其简单易懂、解决方法熟悉且实用性强，由
此受到了广泛的关注。
在深入研究哈代不等式推广与两类条件最值问题的解决办法的同时，也可以采用其它的优化技术，将其扩展应用于更多的实际问题。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
条件极值与均值不等式求最值的比较
Comparison of the Maximum Value of Conditional Extremum and Mean Inequality 作者： 杜先云[1];任秋道[2];王敏[2];文华燕[3]
作者机构： [1]成都信息工程学院数学学院,四川成都610225;[2]绵阳师范学院数理学院,四川绵阳621000;[3]西南科技大学城市学院,四川绵阳621000
出版物刊名： 绵阳师范学院学报
页码： 30-33页
年卷期： 2018年 第8期
主题词： 不等式;均值不等式;最大值;最小值
摘要：利用均值不等式证明不等式需要构造n个可能相等的正数,特别是用来求最大（小）值,就必须构造n个相等的正数.对于很多学生来说,这比较困难.本文利用求条件极值的方法简单证明了均值不等式和加权均值不等式,从而一些用均值不等式证明的不等式就可以用条件极值来证明,特别是含有等号的严格不等式可用求条件极值的方法来证明.。
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专题五条件最值与条件不等式
不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。
不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍条件最值与不等式的一些解题技巧问题。
（一）条件决定方法。
【例1】已知a＞0，b＞0且a+2b=1，求ab的最大值.
解：
启发:条件改为a，b∈R,如何求ab的最大值.
例2.已知，且，求证：
三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决
证明：设，其中
则
原不等式得证。
例3. 已知且，求证：
均值换元法：使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效
证明：因为且所以设
则： =（5/2+t）2+（5/2-t）2=25/2+2t2
所以原不等式得证。
例4. 已知，求证：
增量换元法：若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。
证明：设 显然
则
故
（二）目标决定方向 【例5】已知
2
()13,1
f x x x x a =-+-<，求证
()()2(1)
f x f a a -<+
证明：
2
2
2
2
()()(13)(13)
()(1)112121
1212(1)
f x f a x
x a
a x
x a a
x a x a x a x a x a x a a x a a a a -=-+--+=
--+=-+-=-+-<+-=-+-≤
-++<++=+
例6若
，求证
（三）技巧决定成败
例7已知a,b,c ∈R +，且a+b+c=1，求证：（1 ）
+
+ ≥9，（2）a 2+b 2+c 2≥。
分析：利用基本不等式，采用综合法解决问题。
（1）证法一：
+
+
=
+
+
=3+
+
+
+
+
+
≥3+2+2+2=9。
证法二：∵ 1=a+b+c ≥
3 ，∴ abc ≤
，∴
≥27，
∴
+
+
≥ 3
≥
3
=9。
（2）∵ 1=a+b+c ， ∴ 1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ≤a 2+b 2+c 2+(a 2+b 2)+(a 2+c 2)+(b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)。
∴ a 2+b 2+c 2≥。
例8、已知x ，y ，z 均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。
解题思路分析： 这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到
基本不等式及条件等式中的“1”。
下面关键是凑出因式xyz 和x+y+z 。
对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。
(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz 。
将y(x+y+z)，xz 分别看成是两个因式，得用基本不等式：
y(x+y+z)+xz = 当且仅当 时等号成立
例9.设=，当时，总有，求证：。
证明：∵，∴，，，又∵∴
所以，∴=7。
点评：本题是一道函数与绝对值不等式综合题，学生不能找到解题的突破口，关键在于找到a ，b ，c 与f （0），f （1），f （-1）的联系，再利用绝对值内三角形不等式适当放缩。
巩固练习1若a 、 b 是不相等的两个正数，求证：
a
b b
a
+
>
a
+
b
2. 若2a 2+6b 2=3，求证：｜a +b ｜≤
2
.
3. 证明：若x >0,y >0,x +y =1，则
42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+y y x x
4. 已知a ＞0,b ＞0,c ＞0，且a +b +c =1求证：.34113113113≤+++++c b a
5. 若
a>1, 求证a3>a+a
1-2.
6.已知x 2=a 2+b 2，y 2=c 2+d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac +bd .
7. 设a 、b 、c ∈R ，a + b + c =0，a b c ＜0.求证:0
111
>+
+
c
b
a
8. 已知1≤x 2+y 2≤2，求证：21
≤x 2-xy +y 2≤3
9. 当1＜a ＜b 时，求证：a b -1＞b a -1 .。