多边形的外角和

多边形的外角和

教学目标：

1． 了解多边形外角的概念，理解、掌握多边形外角和公式；

2． 感受转化和从特殊到一般的数学思想；

3． 经历观察、操作、归纳、交流等数学活动，提高对图形的认识和分析能力，发展空间观念.

教学重点：对多边形外角和公式的推导.

教学难点：多边形外角和公式的应用.

教学过程：

1. 复习回顾：(1)n 边形有n 个顶点，n 条边，n 个内角；

(2)n 边形有n(n -3)/2条对角线，对角可以把n 边形分为(n -2)个三角形；

(3)n 边形的内角和是(n −2).

设计目的：复习旧知识“多边形的内角和”，起承前启后的作用.

2. (1)用几何画板动画演示多边形的外角是怎么产生的，使学生初步直观上认识多边形的外

角；

(2)让学生动手画三角形、四边形的外角，感悟多边形外角的组成；

(3)提出多边形外角的概念：

多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。

（指出：①“外角”是多边形的外角，不是它相邻内角的外角；在说法上称之为某个角是某个多边形的外角，而不是多边形某个角的外角；②多边形每个顶点处有两个外角，这两个外角是互为对顶角．）

(4)分别作出△ABC 和六边形ABCDEF 的所有外角.

(5)给出多边形外角和的定义：多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．

C B A F E

D C B

A

设计目的：观察、操作、总结、反思是学生学习数学概念的重要方法．这部分的设计让学生从三角形和六边形的外角的特征引入多边形的外角及多边形的外角和的概念．在教学中渗透“由特殊到一般”的思维方法.

3.(1)提出问题：我们由多边形的内角和定理知道多边形的内角和随着边数的增大而增大，

那么多边形的外角和是否也随边数的变化而变化呢？

(2)以六边形为例，探究多边形的外角和. 对该六边形的每一个内角，分别取一个与它相

邻的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6是这个六边形的外角和.

让同学思考以下问题：

1)任一外角与同它相邻的内角之和是多少度？

2)这六个外角的和与六个内角的和相加，所得的总和是多少度？

3)六边形的内角和是多少度？

(3)让同学们自己动手，采用和求六边形外角和的思路和方法分别求三角形、四边形的外

角和，然后提问学生，加深其对多边形外角和的理解.

(4)由特殊到一般，提出n边形的外角和计算方法：

对于一个n边形，因为任一外角与同它相邻的内角之和等于180°，所以n边形的外角和等于n∙180°,则外角和等于n∙180°−(n−2)∙180°=360°.

于是得到：多边形的外角和等于360°.

(5)得出结论：多边形的外角和的大小与边数的变化无关，是一个定值.

设计目的：

(1)在合情推理的基础上，引导学生作出猜想，并根据“多边形的内角和公式”说明“多

边形的外角和等于360°”这个结论的正确性；

(2)在探索过程中，逐步渗透“由特殊到一般”的思想方法，充分经历“观察——猜想

——说理”的认识过程．

4.例题讲解，加深理解：

例1：（1）一个正多边形每个外角都是60°，求这个多边形的边数；

（2）一个正多边形每个内角都是135°，求这个多边形的边数；

（3）一个正多边形的每一个内角都比相邻的外角大36°，求这个正多边形的边数． [第（2）题可让学生分别采用两种方法：①利用内角和公式；②把内角转化为外角．让学生对比这两种方法，渗透转化思想.]

例2：（1）一个五边形五个外角的比是2∶3∶4：5∶6，则这个五边形五个外角的度数分别是 .

（2）在五边形的五个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？

[这几个练习可以在学生充分思考、交流的基础上进行讲解，教师不要过多插手学生的思维过程．进一步向学生渗透转化思想，让学生知道内角问题有很多时候可以转化为外角问题处理．]

例3：如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.

[鼓励学生从不同的角度展开想象．]

5.练习：P89练一练2、3

(1)学生分小组讨论，注意学生不同的看法，并注意归纳总结；

(2)第3题可将“在一个多边形中，它的内角中最多有几个锐角”的问题转化为“在一个

多边形中，其最多有几个钝角”的问题．

[鼓励学生经过独立思考，并进行交流．在思考中探索，获得新知，尤其是特别注重为学生创设独立思考的时间．]

6.小结：

(1)n边形的内角和是多少？外角和是多少？你是怎样得到的？

(2)今天你学会了什么数学的方法？

(3)你认为今天的结论有何作用？

(4)你还有什么收获可以与大家分享？

7.课后思考：

一个机器人从点O出发，每前进1米，就向右转体a°（1 º＜a＜180º），照这样走下去，

如果他恰好能回到O点，且所走过的路程最短，则a的值等于 . [该题适用于较高层次学生，不作特殊要求]