一元二次方程根与系数的关系培优练习

一元二次方程培优综合练习

1、关于x 的代数式28x mx m +++是一个完全平方式．求m 的值．

2、Rt ABC △中，°=90C ∠，,a b 是方程2530x x -+=的两个根，求Rt ABC △的斜边上的中线的长．

3、 已知ABC △中，AB=AC=m ,BC=n ．

求证：关于x 的方程22480x mx n -+=一定有两个不相等的实数根．

4、 已知a b c 、、是ABC △的三边长，且关于x 的方程()

2212(1)0b x ax c x --++=有两个

相等的实数根．

求证：ABC △是直角三角形．

5、 已知a b c 、、是ABC △的三边长，方程()

()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等的实数根．

求证：ABC △是正三角形．

6、已知a b c 、、是ABC △的三边长，

a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=的两根． ①判断ABC △的形状．

②若53a c =，求a b c 、、的长．

7、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，8=13ABC ABCD s s △梯形，梯形的高AE ，且1113+=40

AD BC ． ①求B ∠的度数．

②设M 为对角线AC 上的一点，DM 的延长线与BC 相交于一点F ，当ABC s △时，求CF 和DF 的长．

8、 已知关于x 的方程()()2

22120x a x b ---+=有两个相等的实数根．求20143a b +的值．

9、 已知a b ≠，且满足2310a a -+=，2310b b -+=．求

221111

a b +++的值．

10、已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +-+-=有两个不相等的实数根，且这两个实数根不互为相反数．

①求m 的取值围．

②当m 在取值围取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求()212314x x -的值．

11、已知关于x 的方程()22120(0)mx m x m m --+-=>．

①求证：这个方程有两个不相等的实数根．

②如果这个方程的两个实数根分别是12,x x ，且()()12335x x m --=，求m 的值．

12、已知实数x y z 、、满足2x y +=，21xy z =+，求x y z ++的值．

13、已知12,x x 是方程22(35)60x m x m ---=的两个实数根，且

12x x =32

，求m 的值．

14、已知关于x 的一元二次方程2530x x ++=的两根为αβ、．

①求()223(76)αββ+++的值．

②求

15、已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和是11．

求证：关于x 的方程()223640k x kmx m m -+-+-=有两个不相等的实数根．

16、已知关于x 的方程()22220x m x m --+=．问：是否存在实数m 使方程的两根的平方

和等于56，若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．

17、已知关于x 的一元二次方程22(51)20x k x k -++-=，是否存在负数k ，使方程的两实数根的倒数和等于4？如果存在，请求出k ；如果不存在，请说明理由．

18、已知关于x 的一元二次方程()222310m x m x +++=的两实数根的和为—1，而关于x 的另一个一元二次方程222()2640x a m x a m m +++-+-=有大于0而小于5的实数根，求整数a 的值．

19、关于x 的一元二次方程224(81)40m x m x +++=有两个不相等的实数根．

①若这个方程的两个实数根的倒数和不小于-2，求m 的取值围．

②m 为何值时，这个方程的两根之比是1:4．

20、m 为何值时，一元二次方程22(3)4360m x mx m +++-=的两根为αβ、，且满足

=αβ．

21、已知关于x 的一元二次方程2

2

(2)04

m x m x ---=． ①求证：无论m 取什么值，方程总有两个不相等的实数根． ②若这个方程的两个实数根是12,x x ，且满足122x x =+，求m 的值及1x 和2x ．

22、已知关于x 的方程()22213(2)02x m x m -+++=．

①无论m 取何值，方程总有两正根．

②若这个方程的两实数根是12,x x ，且满足221212172

x x x x +-=

，求m 的值．

23、已知关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两根之差为2，求这个方程的两根及k 的值．

24、已知关于x 的一元二次方程()221402x m -+

-=（m 是实数）． ①求证：方程必有两个不相等的实数根．

②设,αβ为方程()221402

x m +-=的两根，且αβ<，若αβ是方程220x qx ++=的两根，数q 的值．

25、已知关于x 的一元二次方程222(2)40x k x k +-++=有两个实数根，且这两个实数根的平方和比这两个根的积大21，求k 的值．