耦合模理论的推导公式

耦合模理论

耦合模理论（Coupled-Mode Theory ，CMT ）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论。CMT 可用于非接触电能传输（Contactless Power Transfer ，CPT ）系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT 来估算线圈间的能量传输效率，首先用电路原理（Circuit Theory ，CT ）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套相同的公式。随后分析3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式，最后将此方法推广到在同一平面的n 个负载线圈的效率求解。 1 单负载的电路分析 1.1 电路分析

在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，U 是逆变后的交流电源，R 为原副边的内阻，R L 是负载，耦合系数12/

K M L L =M 为L1和L2的互感。系

统最佳的工作频率就是谐振点ω，由集总参数的能量守恒原理可以得到 11211U R j L I j MI C ωωω⎛⎫

⎛

⎫=+-

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(1) L 212210R R L I j j MI C ωωω⎛⎫

⎛

⎫=++-

- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

(2) 222L 222

1,(R )X L j MU

I P I R X M

ωω=

=++ (3) 令11i i X R j L C ωω⎛⎫

=+-

⎪⎝

⎭

， 222222

1121L 2(())(R X )

CT L L

L P I R M R UI UI R X X M ωηω===+++ (4)

在谐振状态下，01020102

1211,,,L L X R X R L L ωωωω=

===，从而得到 L

2222

(())(R R)

L

CT

L

M R

R R R M ωηω=+++ (5) 1.2 CMT 分析

CPT 系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈12(t),(t)a a 的原始储能可分别表示为2

2

12(t),(t)a a 。由CMT 可得

111122(t)(j )(t)jK (t)(t)S a a a F ω=-+Γ++ （6） 2212121(t)(j )(t)jK (t)a a a ω=-+Γ+Γ+ （7）

在上述公式中，12,,L ΓΓΓ分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，12

K 为两个线圈的耦合率，(t)S F 为励磁损耗

（忽略不计）。CMT 中，1122(t),(t)j t

j t

a A e a A e ωω--==都是正弦信号；1112222

2

2,P 2P A A =Γ=Γ和L 22

P 2L A =Γ分别为原线圈、副线圈和负载的功率。由能量守恒定律可得

2122

222

121222222L

CMT

L L L A P P P P A A A η

Γ==++Γ+Γ+Γ (8) 由方程（6）和（7）可得

11222112L A jK A jK Γ+Γ==Γ，2L L L Q R ω=,11L Q R ω=,2

2L Q R ω=。将两者之间关系121

2

,,222L L

Q Q Q ω

ω

ω

Γ=

Γ=

Γ=

以及122

K K ω

=

代入式（8），解得 1212L 2L 2112122222222

2

22()(()K (())()

(())()

L L

CMT

L L L

L

L

K K L L R R R R K L L R R M R

R R R M R R ωη

ωωωΓ==

Γ+ΓΓ+ΓΓ++++=

+++ （9）

与式（5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。 2 两个负载电路的传输效率分析 2.1 电路分析

对于图2电路，2M 和3M 为1L 分别与2L 和3L 的互感，3L R 为线圈3所带的负载，2

K 和3K 分别为两个负载线圈的耦合系数.同理可得

11223311U R j L I j M I j M I C ωωωω⎛⎫⎛

⎫=+

--- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭ （10）

22221210L R R j L I j M I C ωωω⎛

⎫⎛

⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (11)

33331310L R R j L I j M I C ωωω⎛

⎫⎛

⎫=++-- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭ (12)

在谐振状态下的传输效率为

2223322333211232

222222()()

1()()

CT L L L L L L L L P I R I R M R R R M R R R UI UI G R R R R ωωη++++===

++ (13) 式中：12323322

2

2

2

()()()()L L L L G R R R R M R R M R R ωω=++++++. 2.2 CMT 分析

3个线圈的CMT 分析和两个线圈的CMT 分析方法类似，如下所示：

1111122133(t)()(t)(t)(t)(t)S a j a jK a jK a F ω=-+Γ+++ （14） 22222121(t)(+)(t)(t)L a j a jK a ω=-+ΓΓ+ (15) 33333131(t)(+)(t)(t)L a j a jK a ω=-+ΓΓ+ (16)

同理可得

13312233

1223331323

,,,,,L L L L L A L L L L L Q Q Q Q Q A jK R R R R R ωωωωωΓ+Γ======.同时有关