构造基本图形巧解含45

构造基本图形巧解含45º角的问题

本文以两道含有45º角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考.

一、试题呈现

题1 (2017年丽水中考题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知点(2,0)C .

(l)略;

(2)设P 为线段OB 的中点，连结PA ，PC 若45CPA ∠=︒，则m 的值是 .

题2 (2017年金华中考题)如图2，已知点(2,3)A 和点(0,2)B ，点A 在反比例函数

k y x

=

的图象上.作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按照逆时针方向旋转45º，交反比例函数的图象于点C ，则点C 的坐标是 . 上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45º的特殊角.因此，如何利用45º角成为了解题的突破口，45º角的两边与x 轴的交点都形成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法.

二、共同解法展示

1.构造“一线三等角”，利用相似三角形

丽水题解法1 如图3，在y 轴截取OD OC =，此时45PDC ∠=︒，可以证得 ABP PDC ∆∆:，

BP BA CD PD =.

进而得到方程

::(2)22

m m =+， 解得12m =.

金华题解法1 如图4，过点A 作等腰直角PNG ∆，作ND NF =，连结DF ，易得

6NP NG ==，PG = 设FN DN a ==，

可以证得APG FDA ∆∆:， 得AP DF PG DA

=，

= 解得1a =，

∴(1,0)F .

求出AF 的解析式为33y x =-,

再与6y x

=联列方程，得到C 点坐标为(1,6)--. 分析 “一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45º的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程.

2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形

丽水题解法2 如图5，过点C 作CD CP ⊥，交AP 于点D ，再作DE x ⊥轴，易得 OPC ECD ∆≅∆，

∴2DE OC ==，2

m CE OP ==， 22

m AE OA OC CE =--=

-. ∵//DE OP ， ∴

DE AE OP AO

=， 列出方程2:(2):22

m m m =-， 解得12m =.

金华题解法2 如图6，过点M 作MF AM ⊥，构造如图所示的辅助线，易得

E F M D M A

∆≅∆. 设M 的坐标为(0,)m ，

可得2MD EF ==，3AD EM m ==-.

因为点G 在直线122

y x =

+上，可以求得点G 的坐标为(24,)m m -， 进而求得1GE m =-，62GD m =-.

∵//EF AD ， ∴EF GE AD GD =，列出方程2: (3)(1):(62)m m m -=--，

解得3m =±(3m =舍去).

所以点M 的坐标为(0,3)-.

分析 “三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45º角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.

3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质

预备知识:如图7， AD 是ABC ∆的角平分线，则有AB BD AC CD

=(证略).

丽水题解法3 如图8，过点P 作PD PA ⊥.

∵45APC ∠=︒，所以CP 为APD ∆的角平分线， ∴

PD CD PA AC

=’ ∵12PD PA =，并且求出D 的坐标(,0)4

m -， 可得21422

m m +=-， 解得12m =. 金华题解法3 如图9，方法同上.

分析 由于45º是90º的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45º这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段.

4.构造“正方形”，借用正方形旋转

预备知识:如图10，正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 和CD 上，且45EAF ∠=︒，求证:BE DF EF +=.(证略

)

丽水题解法4 如图11，过点P 构造正方形OPDE .

4

m EN DN ==，2OC =， 根据预备知识得到

24

m CN =

+. 又∵22m CE =-，在CEN ∆中有

222(

2)()(2)244

m m m -+=+， 解得12m =.

金华题解法4 如图12 ，∵

12NF AE =， ∴32NF =，32

HG =. 设点E 为(,0)m ，

则2DE m =-，1GE m =+.

利用预备知识， 可得72

HE m =

-. 在直角HGE ∆中，

22237()(1)()22m m ++=-， 解得1m =，得到(1,0)E .

分析 “半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成，可以得到全等三角形，进而得到线段之间的关系.

5.构造“三角形的高”，回到匀股定理

丽水题解法5 如图13，作CD AP ⊥，可知PCD ∆为等腰直角三角形.

由::1:2PO AO CD AD ==，

2A C m

=-，

易得2)5

CD m =-，

2)PC m =-. 在Rt POC ∆中，利用勾股定理，得

222()22)]2m m +=-，