高中数学 复数的运算

思考？
如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b 由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加
法可以推广到多个复数相加的情形。
练习：计算
(1)(２＋３i)+(-3+7i)=
(2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)=
(3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则有（
A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0
学以致用
讲解例题 例1 计算
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i)
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (- 6 - 1- 4)i = - 11i
解：
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
新授 1.复数乘法的法则
(a+bi)(c+di) =(ac-bd)+(bc+ad)i.
复数的乘法与多项式的乘法是类似的, 但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把 实部合并.
Z1+Z2=Z2+Z1
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3) 复数的加法满足交换律、结合律，即对任 意Z1∈C，Z2∈C，Z3∈C Z1+Z2=Z2+Z1
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
y 向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi
Z
及复数 c + di对应，则 OZ1 ,= (a, b) OZ 2 = (c, d )
OZ = OZ1 + OZ 2 = ( a , b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d )
Z 2 (c , d )
Z1 ( a , b )
O x 对应的向量.
∴向量 OZ 就是与复数
(a + c) + (b + d )i
（2） (a bi) a 2abi b i
2 2
2 2
a 2abi b
2
2
（ 3 ） (a bi)(a bi)
a abi abi b i 2 2 a b
2 2 2
Z的共轭复数记作Ｚ
概念： 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个 复数。 共轭虚数：虚部不为0的两个共轭复数。
知识回顾
(a，b∈R) 的数叫做复 1、复数的概念：形如a+bi ______________ 实部和虚部 。为纯虚数 数，a，b分别叫做它的_____________
a=0,b≠0
实数 b=0
非纯虚数 a ≠ 0,b≠0
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 _____________ a1=a2，b1=b2 。 3. 复数的几何意义是什么？ 复数
及复数 c + di对应，则 OZ1 ,= (a, b) OZ 2 = (c, d )
yZ 1
复数减法的几何意义：
OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1
O
Z2
x
例２、如图的向量oz所对应的复数是z，试作出下列运算的
结果对应的向量:
y
(1)z+(3+i)
(2)z-(4-2i)
x 0
例３：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i,
）
C. a+c=0且b-d≠0
D.a+c=0且b+d≠0
运算律
复数的加法满足交换律，结合律吗？
证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2， a3，b1，b2，b3∈R)
探究?
则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i 显然 同理可得
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
练习 : 1. 证明 : i 4n 1 , i 4n1 i , i 4n2 1, i 4n3 i .
练习: 求i i
求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
3.2.2复数的乘法和除 法
复习：复数加减法的运算法则：
运算法则: 设复数z1=Fra Baidu bibliotek+bi,z2=c+di,那么：
z = a + bi
与 平面向量 OZ ＝（a,b）
或 点 （a,b）一一对应 类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与
2.复数乘法的运算律
即对任何z1,z2,z3∈C有 交换律: 结合律: 分配律:
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1：计算（1）
(1 2i)(3 4i)(2 i)
解：
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
思考？
复数是否有减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d )i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相减。