高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法

专题二十
基础知识
定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
u （ ,3,2,1=n ）
满足：
（1）1+≥n n u u （ ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞
→n n u
则
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛，且11
)1(u u n n n ≤-∑∞
=。

注：交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
u 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。

对于任意项级数
∑∞
=1
n n
u
，引入绝对值级数的概念：级数
∑∞
=1
||n n
u
称为∑∞
=1
n n u 的绝对值级数。

定理2若级数
∑∞
=1
||n n
u
收敛，则∑∞
=1
n n u 亦收敛。

由定理2知收敛级数
∑∞
=1n n
u
分为两种：
（1）条件收敛：要求
∑∞
=1n n
u
收敛，
∑∞
=1
||n n
u
发散。

（2）绝对收敛：要求
∑∞
=1
||n n
u。

总结：判定级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性，可按如下步骤进行：
（1）首先讨论n n u ∞
→lim 。

若n n u ∞
→lim 不存在或0lim ≠∞
→n n u ，级数
∑∞
=1
n n
u
发散；若0lim =∞
→n n u ，
转入第二步。

（2）其次讨论
∑∞
=1
||n n
u
的敛散性，
可运用正项级数的一系列敛散性判别法。

若∑∞
=1
||n n u 收敛，则
∑∞
=1
n n
u
绝对收敛；若
∑∞
=1
||n n
u
发散，转入第三步。

（3）最后讨论
∑∞
=1n n
u
的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。

若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
条件收敛；若∑∞
=1
n n
u
发散，当然
∑∞
=1
n n
u
发散。

例题
1. 设α为常数，判定级数
∑∞
=-1
2
]1
sin [
n n
n na 的敛散性。

解：∑∑∑∞=∞
=∞
=-=-1
1212
1
sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12
sin n n na
收敛（绝对收敛），而∑
∑
∞
=∞
==1
2
1
1
11n n n
n
为一发散的p 级数，故
∑∞
=-1
2
]1
sin [
n n
n na 发散。

2. 若级数∑∞
=-+-1
166)2(n n
n n n a
n 收敛，求a 。

解：∑∑∑∞=∞=-∞
=-+-=+-11111666)2(66)2(n n n n n
n n n n n n
a
n n n a n ∑∑∞
=∞=-+-=1111
)31(61n n n n
a
∑∞
=--11)31(n n 收敛（1|31|<-），故∑∑∑∞=∞=-∞=-=--+-111111)31(6166)2(n n n n n n n n a n a n 收敛，而∑∞
=11n n 发散，从而0=a 。

（倘若0≠a ，则∑∑∞
=∞
=⋅=111
11n n n a a n
收敛，矛盾）
3. 判定级数
∑∞
=+--1
1)13()
1(n n
n 的敛散性。

解：令13-=n n a ，则0>n a ，且n
e
a n n n 3
ln 3ln ~13
ln =
-=，而n n 13ln >（1≥n ），∑∞
=11n n 发散，故∑∞=13ln n n 发散，由比较判别法的极限形式知∑∞=1n n a 发散，级数∑∞
=+-1
1)1(n n n a 不绝对收敛。

级数
∑∞
=+-1
1
)
1(n n n a 为交错级数，}{n a 单调递减且0lim =∞
→n n a ，由交错级数的莱
布尼兹定理知
∑∞
=+--1
1)13()
1(n n
n 收敛。

故级数∑∞
=+--1
1)13()1(n n n 条件收敛。

4. 判定级数
∑∞
=+-1
2
1
)!
2()!()
1(n n n n 的敛散性。

解：令)!
2()!()
1(2
1
n n a n n +-=，由于 !
!)!22()!
2()!1()!1(lim
||
lim 1n n n n n n a a n n n n +++=∞→+∞
→ )
22)(12()1(lim 2
+++=∞→n n n n
4
1=
由比值判别法知
∑∞
=1
||n n
a
收敛，故原级数∑∞
=+-1
2
1
)!
2()!()
1(n n n n 绝对收敛。

5. 对常数p ，讨论级数
∑∞
=+-+-1
1
1)1(n p
n n
n
n 何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 解：令p
n n n
n a -+=
1，0>n a ，则
p
p n n
n n n n n a )1(1
1++=-+=
2
12121~
)11
1(1+=
++
=
p p
p n
n
n n n
n
下面分三种情形说明：
（1）当121>+p （21
>p ）时∑
∞
=+1
2
1
21n p n
收敛，由比较判别法的极限形式知
∑∞
=1
n n
a
收敛，
原级数
∑∞
=+-+-1
1
1)1(n p
n n n
n 绝对收敛。

（2）当121≤+p （21
≤p ）时∑
∞
=+1
2
121n p n
发散，由比较判别法的极限形式知
∑∞
=1
n n
a
发散，
原级数
∑∞
=+-+-1
1
1)1(n p
n n n
n 不绝对收敛。

两种小情形：
(i) 当1210≤+
<p （2
1
21≤<-p ）时，0lim =∞→n n a 。

令
)1()(x x x x f p ++=（0>x ）
由于
)1
2)(1()(1++
++='-x x p x x x x f p
且01
>-p x
，01>++x x ，而
02
1
)1
2(lim >+
=++
+∞
→p x x p x 所以x 充分大时)(x f 单调增，于是n 充分大时，)
(1
n f a n =
单调减少，由交错级数的莱布尼兹定理知原级数
∑∞
=+-+-1
1
1)1(n p
n n
n
n 收敛，从而条件收敛。

（ii ）当021≤+p 时，n 充分大时，0lim ≠∞→n n a ，原级数∑∞
=+-+-1
11)1(n p n n n
n 发散。

注：n
n n n ++=
-+111，n
n n n -+=
++111
6. 设00=a ，n n a a +=
+21， ,2,1,0=n ，讨论级数∑∞
=---1
12)1(n n n a 是绝对收敛、
条件收敛还是发散？ 解：00=a ，01202a a >=+=
，归纳假设n n a a <≤-10，则n n a a +<+-221，
n n a a +<+-221，亦即1+<n n a a ，数列}{n a 单调递增。

221<=a ，归纳假设2<n a ，则22221=+<+=+n n a a ，数列}{n a 有上界。

由单调有界定理知数列}{n a
收敛，设A a n n =∞
→lim ，对等式n n a a +=
+21两边取极限有
n n n n a a A +==∞
→+∞
→2lim lim 1
A a n n +=+=
∞
→2lim 2
解之得2=A 。

令n n a b -=2，由于
n n n n
n n a a b b --=+∞
→+∞→22lim lim
11
n
n
n a a -+-=∞
→222lim
)
22)(2()2(4lim
n n n n a a a ++-+-=∞
→
n
n a ++=∞
→221lim
n
n a ∞
→++=
lim 221
2
221++=
2
1=
由比值判别法知
∑∞
=1
n n
b
收敛，故原级数
∑∞
=---1
1
2)
1(n n n a 绝对收敛。

7. （1）判定级数
∑
∞
=-1
)1(n n
n
的敛散性。

（2）若当∞→n 时，n a 与
n
1未等价无穷小，试问交错级数
∑∞
=-1
)
1(n n n
a 是否一定收敛？
若收敛，证明之；若不一定收敛，举一发散的例子。

解：（1）数列}1{n
单调递减且收敛于0，由交错级数的莱布尼兹定理知交错级数∑
∞
=-1
)1(n n
n
收敛。

（2）不一定收敛。

取n n
a n
n 1)1(1--=
，则n
a n 1
~，且 ∑∑∞
=∞
=---=-1
1
)1
)1(1
(
)1()1(n n n n n n
n n
a
∑
∑∞
=∞
=--=
111
)1(n n n
n
n ∑
∞
=-1
)1(n n
n 收敛，∑∞
=11n n 发散，故∑∞=-1
)1(n n n
a 发散。

8. 设级数
∑∞
=1
n n a 条件收敛，极限r a a n
n n =+∞→1
lim
存在，
求r 的值，并举出满足这些条件的例子。

解：因级数
∑∞
=1
n n
a
条件收敛，故级数
∑∞
=1
n n
a
不可能是正项级数或负项级数（因为正项级数或
负项级数只有可能发散或绝对收敛）。

由r a a n
n n =+∞→1lim 知||||lim 1r a a
n n n =+∞→。

下面分三种情形
说明：
（1）若1||<r ，则由比值判别法知
∑∞
=1
||n n
a
收敛，故∑∞
=1
n n a 绝对收敛，与题设条件矛盾。

故
1||≥r 。

（2）若1||>r ， 1||||
lim 1
>=+∞
→r a a n
n n ，
当n 充分大时，数列|}{|n a 单调递增，故0||lim ≠∞→n n a ，从而0lim ≠∞
→n n a ，故
∑∞
=1
n n
a
发散，与题设条件矛盾。

故1||=r 。

（3）若1=r ，1lim 1
=+∞→n
n n a a ，当n 充分大时，n a 与1+n a 同为正或同为负，级数∑∞
=1n n a 不可
能条件收敛。

故1-=r 。

综上得1-=r 。

如级数
n
n n
1
)1(1
∑∞
=-条件收敛，且
1)1(1)1(lim lim 11-=-⋅+-=+∞→+∞→n n n n
n n n n a a
习题
1. 判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛？
（1）∑∞
=+--11
ln )1(n n n
n
（2）
)1()
1(1
1
n n n n -+-∑∞
=+
（3）∑∞
=-2ln )1(n n
n
n
2. 就常数p 讨论级数
∑∞
=-2
ln )1(n p
n
n n
何时绝对收敛、条件收敛、发散？ 3. 就常数p 讨论级数∑∞
=-+1
))1(1ln(n p
n
n 何时绝对收敛、条件收敛、发散？
努力就有收获!。