第3章 静定梁与静定刚架

(2) 求出上述各控制截面的剪力后， 16kN 8kN 8kN/m 按微分关系联线即可绘出FS图， 40kNm A B (a) 如图3-5(b)所示。 C D I H G E F 3. 绘M图 1m 1m 4m 1m 1m 1m (1) 求控制截面的M值 FA=16kN FB =40kN MA = 0； 16 16 (b) 8 MC = 16×1 = 16 kNm； x=1m FS 图(kN) MD = 16×2-8×1=24 kNm； 24 24 MG = 0， 32 MB = -16×1 = -16 kNm 16 8 R = -16×2+40×1 = 8 kNm MF (c) 8 M图(kNm) MFL = -16×2+40×1-40 = -32 16 24 24 28 kNm 图3-5 ME = -16×3+40×2-40 = -8 kNm
q(x) (a) A F Ax F Ay (b) M M+dM F S FB Me F B
q
dx
F +dF S S
图3-3
2) 无荷载的梁段，q(x) = 0，FS = 常数，FS图为矩形，当FS= 0 时，FS图与基线重合。弯矩图为斜直线。 3) 在集中力F作用处，FS图有突变，突变值等于F；弯矩图在 该处出现尖角，且尖角的方向与F的指向相同。在FS图变号处， M图中出现极值。 4) 在集中力偶Me作用处，FS图无变化；M图有突变，突变值 等于力偶Me的大小。
§3-1 单跨静定梁
1．反力 ．
常见的单跨静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种，如图31(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体， 由三个平衡条件求出。
A B A B
(a)
(b)
(c)
2．内力 ．
截面法是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部 分为隔离体，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。
1 1 q(l-x)x+ qx 2 2
2
(d)
A D 1 q(l-x)x 8
2
B
C
0.0866ql
2
(e)
A D
2
C B
2
0.0866ql
0.0866ql
(f)
0.125ql
2
图3-11
0.125ql
2
如果改用两个跨度为的简支梁，弯矩图如图3-11(f)所 示。比较可知，多跨静定梁的弯矩峰值比两跨简支梁的要 小，是简支梁的68.6%。 一般而言，在荷载与跨度总长相同的情况下，多跨 静定梁与一系列简支梁相比，材料用料较省，但由于有 中间铰，使得构造上要复杂一些。 例3-4 试作图3-12所示多跨静定梁的内力图，并求出各 支座的反力。 解：按一般步骤是先求出各支座反力及铰结处的约束 力，然后作梁的剪力图和弯矩图。但是，如果能熟练地应 用弯矩图的形状特征以及叠加法，则在某些情况下也可以 不计算反力而首先绘出弯矩图。
（1）内力正负号规定 轴力以拉力为正；剪力以绕隔离体有顺时针转动趋势者为正；弯矩以 使梁的下侧纤维受拉者为正，如图3-2(b)所示。 （2）梁的内力与截面一侧外力的关系 1）轴力的数值等于截面一侧的所有外力(包括荷载和反力)沿截面法 线方向的投影代数和。 2）剪力的数值等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。 3）弯矩的数值等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩代数和。
1．刚架的组成及其特征 ．
刚架是由直杆组成的具有刚结点的结构。静定平面刚架常见的 形式有悬臂刚架（如图3-13所示站台雨棚）、简支刚架（如图3-14 所示渡槽）及三铰刚架（如图3-15所示屋架）等。
(a)
(b)
水 砂 泥 浆
图3-13
图3-14
图3-15
当刚架受力变形时，汇交于该结点的各杆端的夹角保持不变。 这种结点称为刚结点，具有刚结点是刚架的特点。 从变形角度看，在刚结点处各杆不能发生相对转动。从受力 角度看，刚结点可以承受和 传递弯矩，因而在刚架中弯矩是其 主要的内力。
有了弯矩图，剪力图即可根据微分关系或平衡条件求得。对 于弯矩图为直线的区段，可利用弯矩图的斜率来求剪力，如CE 段梁的剪力值为 4+4 FS (CE ) = = 2kN 4 至于剪力的正负号，看按以下方法确定：若弯矩图是从基线 顺时针方向转的（以小于90°的转角），则剪力为正，反之为 负。据此可知，应为正。对于弯矩图为曲线的区段，可利用杆段 的平衡条件来求得其两端剪力。 例如BC段梁，取BC梁为隔离体，由ΣM C = 0和 ΣM B = 0 可分别求得
第3章 静定梁与静定刚架 章
目的要求： 目的要求：熟练掌握静定梁和静定刚架的内力计算和 内力图的绘制方法，熟练掌握绘制弯矩图的叠加法及内力 图的形状特征，掌握绘制弯矩图的技巧。掌握多跨静定梁 的几何组成特点和受力特点。能恰当选取隔离体和平衡方 程计算静定结构的内力。 重 难 点：截面法、微分关系的应用、简支梁叠加法。 点：简支梁叠加法，绘制弯矩图的技巧。
F MA A a l MB Fab l b B MB
MA
图3-4 上述叠加法对直杆的任何区段都是适用的。只需将直杆段的 两端弯矩求出并连以直线（虚线），然后在此直线上再叠加相应 简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法称为区段叠加法或简支梁叠 加法，也简称叠加法。
5．绘制内力图的一般步骤 ．
(1) 求支座反力。 (2) 求控制截面的内力（分段、定点）。所谓控制截面是指 集 中力和集中力偶作用的两侧截面、均布荷载的起点及终点等外力不 连续点所在的截面。用截面法求出控制截面的内力值后在内力图的 基线上用竖标标出。 (3)连线。利用微分关系，将各控制截面之间内力图的形状绘出。 例3-1 试作图3-5(a)所示梁的内力图。 解：1. 求支座反力 ΣMB=0, FA=16 kN(↑)； ΣMA=0, FB=40 kN(↑) 校核：ΣFy=16+40-8-8×4-16=0 2. 绘FS图 (1) 求控制截面的FS值。 FSAR = FSCL= 16kN；FSCR= FSD = 8 kN； FSGL= FSBR= 16 kN； FSBL= FSE = -24 kN
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(a)
F 1 (b) A
F 2 B
C
F 3
F 2 F 1 (c) A F BX B F BY B F BX C F CY
C
F 3
图3-7
2. 多跨静定梁的传力关系
从受力分析看，当荷载作用在基本部分上时，该部分能将荷 载直接传向地基，而当荷载作用在附属部分上时，则必须通过基 本部分才能传向地基。故当荷载作用在基本部分上时，只有该部 分受力，附属部分不受力。而当荷载作用在附属部分上时，除该 部分受力外，基本部分也受力。
2. 刚架的内力计算
(1) 支座反力的计算 当刚架与地基之间是按两刚片规则组成时，支座反力有三个， 可取整个刚架为隔离体，由平衡条件求出反力；当刚架与地基 之间是按三刚片规则组成时，支座反力有四个，除三个整体平 衡方程外，还可利用中间铰处弯矩为零的条件建立一个补充方 程，从而可求出四个支座反力；而当刚架是由基本部分和附属 部分组成时，应先计算附属部分的反力，再计算基本部分的反 力。
R FSB =
4× 4× 2 4 + 2 = 7.5kN 4
L FSC =
4 × 4 × 2 4 + 2 = 8.5kN 4
剪力图作出后，可由结点平衡来求支座反力。取结点为隔离 体，由 ΣFy = 0 可得：
FC = 8.5 + 2 = 10.5kN( ↑ )
图3-12
§3-3 静定平面刚架
(2) 根据微分关系，可绘出M图如图3-4(c) 所示。在 均布荷载作用区段DE，剪力图有变号处，在FS=0处对应 截面M值应有极值，必须求出。欲求M的最大值，可由图
x 4 x = 3-5(b)中求出截面所在位置x值，由 8 24 得，x
= 1 m。
取AI段为隔离体，由ΣMI=0，可得：MI= 16×3-8×28×1×1/2 = 28 kNm。
图3-10
l
例3-3 如图3-11(a)所示为一两跨静定梁，承受均布荷载q，试确定铰 D的位置，使梁内正、负弯矩峰值相等。 解：(1) 画层叠图，如图3-11(b)所示。 (2) 求各单跨梁的反力。 由本题题意可看出，只需求出FDy便可 得出铰D的位置。设铰D距B支座的距离为x，由ΣMA=0，可得出 FDy = q(l-x)/2，如图3-11(c)所示。 (3) 绘M图。如图3-11(d)所示，从图中可以看出，全梁的最大正 弯矩发生在AD梁跨中截面，其值为q(l-x)2/8；最大负弯矩发生在 B支座处，其值为q(l-x)x/2+qx2/2。
1 1 1 q (l x ) 2 = q (l x ) x + qx 令正负弯矩峰值相等，即 8 2 2
2
可得
x = 0.172l 铰D的位置确定后，可作出弯矩图，如图3-11(e)所示，正负 弯矩的峰值为0.0857q2。
q
(a)
A D l-x l x
B
G
l
(b)
q
(c)
FDX=0 A FAY D FDY= D B C 1 q(l-x) 2 q
3. 多跨静定梁的计算步骤
由上述传力关系可知，计算多跨静定梁的顺序应该是先附属 部分，后基本部分。即由最上层的附属部分开始，利用平衡条件 求出约束反力后，将其反向作用在基本部分上，如图3-7(d)所示。 这样便把多跨静定梁拆成了若干根单跨梁，按单跨梁作内力图的 方法，即可得到多跨静定梁的内力图，从而可避免解联立方程。
dF S = q(x) dx dM =F S dx d 2M = q(x) 2 dx
（3-1）
（2）内力图形的形状与 ） 荷载之间的关系 由上述微分关系的 几何意义可得出以下对 应关系： 1）在均布荷载作用的梁 段，q(x) = q(常数)，FS图 为斜直线，M图为二次抛 物线，其凸向与q的指向 相同。在FS = 0处，弯矩 图将产生极值。
例3-3 作图3-10(a)所示多跨静定梁的内力图。 解：(1) 画层叠图。ABC与DEF部分为基本部分， CD部分为附属部分。将附属部分画在上层，基本部 分画在下层，得到图3-10(b)所示的层叠图。 (2) 求反力。先求附属部分BC的反力，将其反向作用 在基本部分上，然后再求基本部分的反力，如图310(c)所示。 (3) 作内力图。首先求出各单跨梁控制截面的M、FS值， 然后按微分关系联线，也可用叠加法作弯矩图。其 内力图如图3-10(d)、(e)所示。
§3-2 多跨静定梁
1．多跨静定梁的组成 ．
多跨静定梁是由若干根梁用铰相联，并通过若干支座与基 础相联而组成的静定结构。图3-7(a)为用于公路桥的多跨静定梁， 其计算简图如图3-7(b)所示。 从几何组成看，多跨静定梁各部分可分为基本部分和附属 部分。如上述多跨静定梁中的AB和CD部分均直接用三根链杆 与基础相联，它们不依赖于其他部分的存在而能独立维持几何 不变性，称为基本部分。而BC梁必须依赖AB、CD部分才能维 持几何不变。必须依赖其他部分才能维持几何不变的部分，称 为附属部分。为了清晰地表示各部分之间的支承关系，可将基 本部分画在下层，而将附属部分画在上层，这样得到的图形称 为层叠图，如图3-7(c)所示。
(a) A FAx FAy (b) A FAx FAy F 1 K FS M FN FB F1 K F2 B
图3-2
3．利用微分关系作内力图 ．
表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。内力图常 用平行于杆轴线的坐标表示截面位置(此坐标轴常称为基线)，而 用垂直于杆轴线的坐标(亦称竖标)表示内力的数值而绘出的。弯 矩图要画在杆件的受拉侧，不标注正负号；剪力图和轴力图将 正值的竖标绘在基线的上方，同时要标注正负号。绘内力图的 基本方法是先写出内力方程，即以变量x表示任意截面的位置并 由截面法写出所求内力与x之间的函数关系式，然后由方程作图。 但通常采用的是利用微分关系来作内力图的方法。 （1）荷载与内力之间的微分关系 ） 在荷载连续分布的直杆段内，取微段dx为隔离体，如图3-3所 示。若荷载以向下为正，x轴以向右为正，则可由微段的平衡条件 得出微分关系式
4．用叠加法作弯矩图 ．
当梁同时受几个荷载作用时，用叠加法作弯矩图很方便。此时 可不必求出支座反力。如要作图3-4所示简支梁的弯矩图，可先绘出 梁两端力偶MA、MB和集中力F分别作用时的弯矩图，再将两图的竖 标叠加，即可求得所求的弯矩图，如图3-4所示。
实际作图时，先将两端弯矩MA、 MB绘出并联以直线，如图中虚 线所示，再以此虚线为基线绘 出简支梁在荷载F作用下的弯 矩图。值得注意的是竖标Fab/l 仍应沿竖向量取(而不是从垂直 于虚线的方向量取)。最后所得 的图线与水平基线之间的图形 即为叠加后所得的弯矩图。