高等代数与解析几何第七章习题答案

习题7.4

习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明：

（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则

A 不可对角化。

证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有

n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无

关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。

（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=n B λλλO

2

1

，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而

E a a a a B nn 112211

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=O

，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与

假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值

s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明：

（1）s V V V +++Λ21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有

021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。

现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++---000

1212111221121s s s s s s

s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为

)0,,0,0(11

1

),,,(11221

1

121ΛΛ

M M

M Λ

ΛΛ=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=---11221

1111

1

s s s s s B λλλλλλΛ

M M

M Λ

Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有

)0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。

这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得

s V V V +++Λ21是直和。

（2）)(⇒因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕⊇Λ21。又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得

s V V V V ⊕⊕⊕⊆Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。

)(⇐因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：

i

id i i ααα,,,21Λ，s i ,,2,1Λ=，其中n d d d s =+++Λ21，进而得V 的基：

1

11211,,,d αααΛ,,,,,,2

22221ΛΛd αααs

sd s s ααα,,,21Λ。又知基向量中的每一个向

量都是σ的特征向量，故得σ有n 个线性无关的特征向量，所以σ可对角化。

习题7.4.3设D 是n 阶对角阵，它的特征多项式为

s c s c c D )()()()(2121λλλλλλλ---=∆Λ，

其中s λλλ,,,21Λ两两不同。设

}|)({DB BD F M B V n =∈=，

证明：V 是)(F M n 的子空间，且

22

221dim s c c c V +++=Λ。

证明：对V B A ∈∀,，即DA AD =，DB BD =，F l k ∈∀,，有

)()()()()()()()(lB kA D DB l DA k BD l AD k D lB D kA D lB kA +=+=+=+=+，

所以V lB kA ∈+，即V 是)(F M n 的子空间。

设⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=s c s c

c E E E D λλλO

2

1

21，则由习题3.2.2知与D 可交换的矩阵只能是准对角矩阵，即⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=s B B B B O

2

1

，其中i B 为i c 阶方阵，s i ,,2,1Λ=。进而对V B B B B s ∈⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=∀O

2

1，都可由i 行，j 列元素为1，其余元素全为零的n 阶方阵