二次函数与一元二次方程、二次函数知识总结

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教学课题二次函数与方程、二次函数知识总结

教学目标理解掌握二次函数与一元二次方程得关系，掌握根与系数得关系，掌握本章知识结构。

教学重难点知识理解掌握。

课堂教学过程课堂教学过程

课前

检查作业完成情况: 优□良□中□差□建议:

教学内容

一、二次函数与一元二次方程：

（一)思考与探索:二次函数y＝x２-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=０有怎样得关系？

１、从关系式瞧二次函数y＝x2-2ｘ－3成为一元二次方程x2-2x-３=０得条件就是什么？

２、反应在图象上：观察二次函数y＝x２-2ｘ－3得图象，您能确定一元二次方程

ｘ2-2x-3＝０得根吗?

3、结论:

一般地，如果二次函数y=ax２+ｂｘ＋ｃ得图象与ｘ轴有

两个公共点（x１,0)、(x2,0),那么一元二次方程aｘ2+ｂ

x+ｃ=０有两个不相等得实数根ｘ=x1、ｘ=ｘ2。反过来也

成立。

４、观察与思考:

观察下列图象:

(1)观

察函

数y=

x2-6x

＋9与

y=

x2-2x

+3得图象与x轴得公共点得个数;

(２)判断一元二次方程x２-6x+9=0与ｘ2-2x+3=０得根得情况；

（３)您能利用图象解释一元二次方程得根得不同情况吗?

（二)归纳提高:

一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bｘ+ｃ=０得根有如下关系:

1、如果二次函数y＝ax2+ｂx+c图象与x轴有两个交点(m,0)、(n,0)，那么一元二次方程ax２+bx+c=0有实数根ｘ１= ,x2= 、

2、如果二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c图象与ｘ轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2＋bx＋ｃ=0有实数根ｘ1=x2= 、

3、如果二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程aｘ2＋bx+c=0

实数根、

反过来,由一元二次方程ax２+bx+c=0得根得情况可以判断二次函数y＝ax2+bx+ｃ图象与x轴得交点个数。

当Δ＝>0时,一元二次方程ax2+ｂｘ+c＝0得根得情况就是，此时二次函数y=aｘ２+bx+ｃ图象与x轴有交点;

当Δ==0时,一元二次方程ax２+ｂｘ+c=0得根得情况就是 ,此时二次函数ｙ＝ax2+ｂx+ｃ图象与x轴有交点；

当Δ=<0时，一元二次方程ax2+bx＋c=0得根得情况就是 ,此时二次函数y=ａx2+bx+c图象与ｘ轴有交点、

例1.如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(３,0),

则方程得根为: 。

例2.直接说出下列二次函数得图象与ｘ轴公共点得个数

(１)y=ｘ2-2x; （2)y＝x2-２ｘ-３．

例3、已知抛物线得顶点在x轴上,则= ；若抛物线与x轴有两个交点,则得范围就是;与轴最多只有一个交点,则得范围就是

例4、已知抛物线y＝ｘ2-2x－３

①与y轴得交点坐标为＿_______,与x轴得交点坐标为_＿__＿___，

②当ｙ>0时，ｘ得取值范围就是＿_＿_＿__,当ｙ＜0时, x得取值范围就是＿_＿_＿__,

当ｘ<0时, y得取值范围就是__＿__＿_

例５、如图,在同一坐标系中一次函数得图像与坐标轴交于B、C,二次函数得图像与坐标轴交于Ａ、B、Ｃ三点,且对称轴平行于y轴、

（1）分别求出图中一次函数与二次函数得解析式；

（2）根据图像指出当x为何值时,一次函数与二次函数得

值均随x得增大而增大?

（3）根据图像指出当x什么范围时，一次函数得值大于

二次函数得值？

(三)自主探究

问题1：想一想,如何根据图象确定二次函数ｙ=ax2+ｂ

x+c(ａ≠0)中a、ｂ、c得符号,

（1)a得符号与抛物线得＿＿____＿____有关，有什么结论?

__＿_＿__＿_＿＿_＿＿＿__＿___＿___＿_＿_______＿＿_

（2)抛物线y=ａx2+bｘ+ｃ(a≠0)与y轴得交点坐标就是___＿____

因此抛物线与ｙ轴得交点:

①在y轴正半轴上时,c与0得大小关系就是_＿_＿＿_＿_＿__；

②在y轴负半轴上时，c与0得大小关系就是_________＿_；

③在原点时,c与0得大小关系就是__＿____＿_。

(3)对称轴与＿＿___ 有关,如何确定ｂ得符号?

例1、(1）二次函数y=ax2＋bx+c(ａ≠0)得图象如图所示,那么您

能判断出以下量得符号吗？a＿＿_0;b＿＿_0;c＿___0；ａ

bc___0、2ａ+b_＿_0、a＋b+c___０、ａ-b+c＿＿_０、b2-4ａｃ

___０、4ａ+２ｂ+ｃ＿___0。

(２）在同一坐标系中，直线 y=ax+b(a≠0）与抛物线y＝

ax2+bx+c(ａ≠０）得图象可能就是（ )

A B C Ｄ

课堂检测：

１、已知:抛物线y=ａｘ２+bx+c（a≠０)得图象如下左图，判断下列式子与０得大小关系（1）a__＿____0 (２)b_______0 (3)c _＿_＿___0 (４)ａ＋b+c__＿_＿_＿0 (5)a-ｂ+c＿______0 (6)ｂ2－4ａc _＿_0, （7)2a+b___＿___０ (8)2a－ｂ__＿＿___０

２、抛物线ｙ=aｘ２+bx+c(a≠0)得图象如上右图所示,则下列关于ａ、b、c间得关系判断正确得就是( ）

A、ａb<0

B、abc＞０

C、a+b＋ｃ＞０

D、ａ-b+c＜0

3、抛物线ｙ=aｘ2+ｂx+c(a≠０)得图象如右下图,则ac与0得大小关系就是（ )

A、＜

B、≤

C、>

D、≥

4、函数ｙ＝ａｘ2＋bx+c(ａ≠0)得图象如右上图，下列结论中①abc>０

②ａ+b+ｃ<0 ③ｂ＝２a ④ａ－ｂ+c>０正确得个数有（）

Ａ、0个B、1个Ｃ、2个

D、3个

二次函数知识梳理

１、二次函数得概念及图象特征

二次函数:如果,那么y叫做x得二次函数.

通过配方可写成，它得图象就是以直线为对称轴,以为顶点得一条抛物线.

2、二次函数得性质

值函数得图象及性质

＞0 ⑴开口向上,并且向上无限伸展;

⑵当时,函数有最小值;

当x＜时,y随x得增大而减小;

当x＞时,y随x得增大而增大.

[来源:]

＜0 ⑴开口向下,并且向下无限伸展;

⑵当x＝时,函数有最大值;

当x＜时,y随x得增大而增大; 当x＞时,y随x得增大而减小.

３、二次函数图象得平移规律

抛物线可由抛物线平移得到、由于平移时，抛物线上所有得点得移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动得情况、因此有关抛物线得平移问题,需要利用二次函数得顶点式来讨论.

4、 a、b、ｃ及得符号与图象得关系

⑴a→决定抛物线得开口方向;a＞0、开口向上；a<0,开口向下．

⑵a、ｂ→决定抛物线得对称轴得位置:

ａ、ｂ同号，对称轴(<０=在ｙ轴得左侧;