卢卡斯数列
鲁卡斯数列表
NewPanderKing抬头是山，路在脚下！斐波那契数列斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作―比萨的列昂纳多‖。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(见图)（又叫―比内公式‖，是用无理数表示有理数的一个范例。
）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近黄金分割数0.618证明:a[n+2]=a[n+1]+a[n]两边同时除以a[n+1]得到：a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x,则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x所以x=1+1/x即x²=x+1所以极限是黄金分割比.奇妙的属性随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
费氏数列和卢卡斯数列
费氏数列和卢卡斯数列
费氏数列是一个重要的数学序列，它也被称为Fibonacci数列，
以意大利数学家莱昂纳多·费氏在1202年发现和提出的。
费氏数列是
这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，这些数字之
间的关系是当前数字是前两个数字之和。
卢卡斯数列是数学家J. H. Lucas在1876年发现的另一个重要数
学序列，也称作Lucas数列。
第一个数字是2，第二个数字是1，之后
每个数字都是前两个数字之和，所以它的数列是：2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，... 等等。
它和费氏数列一样，符合通项公式：
an=an-1+an-2 ，但是它也有自己特有的规律性和应用领域。
费氏数列是一个重要的数据结构，它能帮助我们理解很多自然界
事物的发展方式。
它是一种自然的几何模型，能够定义很多连续的等
比数列，如椭圆形和锥形等。
在计算机科学领域，费氏数列也被广泛
应用，包括搜索算法，查找表等。
卢卡斯数列也能帮助我们解决很多复杂的数学问题。
它被用来推
断素数，它有不错的数学性质，比如满足费氏数列的性质公式，在多
数数学分析中也会有所用处。
它还可以用来求解线性系统方程，求解
积分，求解微分方程以及处理相关的数学问题等。
由斐波那契数列和卢卡斯数列到一般递归数列
由斐波那契数列和卢卡斯数列到一般递归数列
斐波那契数列和卢卡斯数列是两个著名的数列，在数学和计算机科学中被广泛应用。
这两个数列都是通过递归的方式定义的，其中斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=2)
而卢卡斯数列的定义与斐波那契数列类似，只是初始值不同：
斐波那契数列和卢卡斯数列都具有递归性质，即每一项都是由前两项相加得到。
这种
递归定义为我们提供了一种计算数列中任意项的方法，可以通过递归调用函数来计算。
斐波那契数列和卢卡斯数列的递归定义只适用于较小的数值，当数列中的项数很大时
会产生很多重复的计算，导致计算复杂度增加。
为了解决这个问题，可以使用一般递推公
式来计算数列中的任意项。
一般递推公式可以通过斐波那契数列和卢卡斯数列的递归定义推导得出。
对于斐波那
契数列，可以得到以下一般递推公式：
同样地，对于卢卡斯数列，可以得到以下一般递推公式：
L(n) = [(1+√5)^n + (1-√5)^n] / (2^n)
这些一般递推公式可以大大减少计算复杂度，提高计算效率，特别是对于大数计算来
说尤为重要。
斐波那契数列和卢卡斯数列是两个常见的递归数列，在数学和计算机科学中广泛应用。
通过一般递推公式，可以更高效地计算数列中的任意项，并减少重复计算带来的性能损失。
这些数列的研究不仅有助于数学理论的发展，也为实际问题的求解提供了可靠的数学工
具。
费氏数列和卢卡斯数列
费氏数列和卢卡斯数列
费氏数列是一个具有独特性质的数字序列，也称为斐波纳契数列，从第三项起，每一项都等于前两项之和。
例如：
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34......。
它最初由意大利数学家帕特里
克·费氏发现，故而得名。
卢卡斯数列是一种具有特殊性质的数字序列，它由一组等差数列
构成，并且每一项的值都是前一项的平方根的再平方根。
它的形式是：4,2,1,4/3,16/9,256/81,65536/6561......。
它最初是由法国数学家
路易·卢卡斯提出的，又叫卢卡斯等比数列。
费氏数列和卢卡斯数列都是具有某种特殊性质的数列，它们对数
学研究有重要意义，在研究数学上也被广泛应用。
费氏数列的特性可以用递归的方法来描述，它的递推公式如下：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中n >= 2，F(0) = 0，F(1) = 1。
得出第n
项费氏数列的值等于n-2项值加n-1项值之和。
卢卡斯数列的特点也可以用递推的方法来描述，它的递推公式如下：U(n)=√[U(n-1)]，其中n >= 2，U(1) = 4。
得出第n项卢卡斯数
列的值等于n-1项值的平方根的再平方根。
由此可见，费氏数列和卢卡斯数列都是特殊的数列，它们在数学
研究上有其独特的作用，给我们带来不少启发。
卢卡斯数列与斐波那契数列的一个关系
卢卡斯数列和斐波那契数列是两个非常有趣的数列，它们在数学中都有着重要的地位。
虽然它们看起来有点不同，但它们之间也存在着一些关系。
首先，我们来看看卢卡斯数列和斐波那契数列的定义。
卢卡斯数列定义为：U(0)=1，U(1)=1，U(n)=U(n-1)+U(n-2)（n>1）。
斐波那契数列定义为：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>1）。
从定义来看，我们可以发现，卢卡斯数列和斐波那契数列的定义是类似的，只是它们的初始值不同。
因此，我们可以确定，卢卡斯数列和斐波那契数列之间存在着一定的关系。
接下来，我们来看看卢卡斯数列和斐波那契数列之间的更深层次的关系。
首先，我们可以将卢卡斯数列的定义改写为：U(n)=U(n-1)+U(n-2)+1（n>1）。
这样，我们可以发现，卢卡斯数列的定义和斐波那契数列的定义实际上是相同的，只是斐波那契数列的最后一项为1，而卢卡斯数列的最后一项为2。
此外，我们还可以发现，卢卡斯数列和斐波那契数列之间还存在着另一种关系，即：U(n)=F(n)+2（n>1）。
这表明，卢卡斯数列的每一项都比斐波那契数列的每一项多2。
最后，我们还可以发现，卢卡斯数列和斐波那契数列之间还存在着另一种关系，即：U(n)=F(n-1)+F(n-2)+2（n>2）。
这表明，卢卡斯数列的每一项都是斐波那契数列前两项之和再加2。
总之，卢卡斯数列和斐波那契数列之间存在着多种关系，其中最重要的一种是：U(n)=F(n)+2（n>1）。
这表明，卢卡斯数列的每一项都比斐波那契数列的每一项多2。
这种关系可以用来解决许多数学问题，因此卢卡斯数列和斐波那契数列之间的关系是非常重要的。
LnCas数列的若干性质
LnCas数列的若干性质邹泽民(梧州师专数学系广西贺州542800)[摘要]本文给出和论证了卢卡斯数列的有关通项公式、前n项和公式等相关性质。
[关键词]递归;叠加;卢卡斯数列;数学归纳法卢卡斯数列Ln:2,1,3,4,7,11,18,,可由下列递归关系生成:L0=2,L1=1,当n\1时有L n+1=L n+L n-1(n I N)首先给出它的通项公式及其证明[命题1]卢卡斯数列Ln的通项公式为L n=(1+52)n+(1-52)n(n=0,1,2,,,)(Ñ)证明用数学归纳法i)当n=0,1,2时,(Ñ)式显然成立; ii)假设当n[K时,(Ñ)式成立即有L K=(1+52)K+(1-52)K且L K-1=(1+52)K-1+(1-52)K-1则当n=K+1时,有L K+1=L K+L K-1=(1+52)K+(1-52)K+(1+52)K-1+(1-52)K-1=(3+52)(1+52)K-1+(3-52)(1-52)K-1=(1+5)2(1+5)K-1+(1-5)2(1-5)K-1=(1+52)(K+1)+(1-52)K+1即当n=K+1时,(Ñ)式也成立综合i)、ii)知,(Ñ)式对一切n=0,1,2,,,都成立。
运用递归叠加求和,于是由递归关系L n+1=L n+L n-1令n=1,2,3,,,n-1代入分别有L2=L1+L0L3=L2+L1,,L n=L n-1+L n-2[收稿日期]1998-07-03叠加求和得L 2+L 3+,,+L n =(L 1+L 2+,,+L n-1)+(L 0+L 1+,,+L n-2)从而有S n +1-(L 0+L 1)=S n+1-(L 0+L n )+[S n+1-(L n-1+L n )]即:S n+1=2L n +L n-1-L 1=L n +(L n +L n-1)-1=L n +L n+1-1故:S n+1=L n+2-1 (n=0,1,2,3,,,)也即S n =L n+1-1 (n I N) 于是有[命题2]卢卡斯数列L n :2,1,3,7,11,18,,(n=0,1,2,,,)的前n 项和公式为S n =L n+1-1(n I N)(Ò)其中S n =L 0+L 1+L 2+,,+L n-1=6n-1K=0L K证明 用数学归纳法i)当n=1,2,3时,(Ò)式显然成立;ii)假设n=K 时,(Ò)式成立即有S K =L K+1-1则当n=K +1时有S K+1=S K +L K =L K+1-1+L K =L K+2-1=L (K+1)+1-1即当n=K +1时,(Ò)式也成立综合i)、ii)知,(Ò)式对一切自然数n I N 都成立。
卢卡斯数列在股市的时间周期（值得收藏）
卢卡斯数列在股市的时间周期（值得收藏）卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。
■ 法国数学家爱德华·卢卡斯卢卡斯以研究斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，……）而著名，他曾给出求斐波那契数列第n项的表达式。
卢卡斯数列（1，3，4，7，11，18，……）就是以他的名字命名。
卢卡斯数列与斐波那契数列的区别在于把第2项改成了3，递推公式不变（从第三项起每一项是前两项之和）。
令人惊讶的是，卢卡斯数列相邻两项之比居然和斐波那契数列一样，趋于黄金比例0.61803398…卢卡斯数列：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123……，也具有斐波那契数列相同的性质。
这两个数列，都是从第三个数开始，等于前面两个数字相加之和。
类似的数列还有无限多个，被称之为斐波那契—卢卡斯数列。
n12345678910斐波那契数列F(n)11235813213455卢卡斯数列L(n)13471118294776123F(n)*L(n)138215514437798725846765一、数列的特点卢卡斯数列与菲波那切数列是兄弟数列，例如卢卡斯数列中：1、3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、843、 1364、 2207、 3571、 5778、 9349 等。
因为卢卡斯数列与斐波那契数列具有相同的性质：1、从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
1+3=4；4+3=7；7+4=11。
这与斐波那契数列相同。
2、而且从7开始面相邻的两数之间的比值就非常接近0.618这个比率，7/11=06.36；11/18=0.611；18/29=0.620；29/47=0.617;5778/9349=0.618。
所以在股市中卢卡斯数列也经常被验证。
二、在股市中的验证与应用指数的运行，是有循环周期的，不管你承认也好，不承认也好，它都客观地存在着。
特殊数列（长期项目）
特殊数列（长期项⽬）前排提醒： L A T E X 可能过多，请耐⼼等待加载斐波那契数列（Fibonacci ）可能不是很特殊，但是确是最为常见的，看名字就知道明显是个叫做斐波那契的⼈发现的，全名 莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）（意⼤利）。
定义： f 0=0,f 1=1,f n =f n −1+f n −2(n ≥2)⽣成函数 F (x )=11−x −x2通项公式： f n =1√5[(1+√52)n −(1−√52)n ]，推导⽅式有很多种，这⾥使⽤最简单的两种特征⽅程法：(都是⾃⼰盲猜的，有误请指正)数列中特征⽅程法本质上就是构造等⽐数列，只不过完全看不出来（瞎猜）f n =f n −1+f n −2⟺f n −f n −1−f n −2=0可以看出 f n 、f n −1、f n −2 形式⼀样，我们可以直接盲猜设其为 f n =aq n （虽然很假但是我想不到其他数列了），则aq n +2−aq n +1−aq n =0⟺aq n (q 2−q −1)=0⟺aq n (q −1+√52)(q −1+√52)=0有 f 1,n =a (1+√52)n ,f 2,n =a (1−√52)n 将特解线性组合得通解 f n =Af 1,n +Bf 2,n将 f 0=0,f 1=1 代⼊：Aa +Ba =0(1)Aa 1+√52+Ba 1−√52=1(2)解(1):a (A +B )=0∵再将两个结论代⼊原数列：\begin{aligned} f_n = \ &Aa(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n+Ba(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n \\ =\ & Aa[(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^n] \\ =\ & \dfrac{1}{\sqrt5}\l eft[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \end{aligned}⽣成函数法：f_n 的普通型⽣成函数为 F(x)，则 F(x) = x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...+f_n x^n+...利⽤⽆穷项的特性，显然有 F-Fx=Fx^2+x \iff F=\dfrac{x}{1-x-x^2}然后因式分解、裂项：\begin{aligned} F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2} = \dfrac{x}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)} ,解得 \phi_1=\dfrac{1+\sqrt5}{2}, \phi_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2}\\ &=x(\dfrac{a}{1-\p hi_1x}+\dfrac{b}{1-\phi_2x})=x(\dfrac{a+b-x(a\phi_2+b\phi_1)}{(1-\phi_1x)(1-\phi_2x)}) \\ \iff &\begin{cases} a+b=1\\a\phi_2+b\phi_1=0\end{cases}, 解得\be gin{cases} a=\dfrac{5+\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5+1}{2}\\ b=\dfrac{5-\sqrt5}{10}=\dfrac{1}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5-1}{2} \end{cases} \\ \iff F(x) &=ax\dfrac{1}{1-\phi_1x}+bx\dfrac{1}{1-\phi_2x} \\ &=ax(1+\phi_1x+\phi_1^2x^2+...+\phi_1^nx^n+...)+bx(1+\phi_2x+\phi_2^2x^2+...+\phi_2^nx^n+...) \\&=\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1+\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1+\sqrt5}{2})^nx^n+...) \\ &-\dfrac{1}{\sqrt5}(\dfrac{1-\sqrt5}{2}x+(\dfrac{1-\sqr t5}{2})^2x^2+...+(\dfrac{1-\sqrt5}{2})^nx^n+...) \end{aligned}据此，我们很容易看出 f_n = \dfrac{1}{\sqrt5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]很好，这样最简单的通项公式就推导完了⼀些性质：与黄⾦分割⽐的关系：\large \lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{f_{n-1}}{f_{n}} = \dfrac{\sqrt5-1}{2}\rm{Proof:}f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \iff \dfrac{f_n}{f_{n-1}}=1+\dfrac{f_{n-2}}{f_{n-1}}，设极限 \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f_n}{f_{n-1}}存在且为 x 。
费氏数列和卢卡斯数列
费氏数列和卢卡斯数列
费氏数列，又称费氏队列，是一个重要的数学序列，它是由古埃及数学家菲力浦·费尔维（Fibonacci）在1202年《论数》中首次提出的。
费氏数列是一个递归数列，公式如下：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
其中F(1)=1，F(2)=1，即费氏数列的第一位和第二位为1，而从第三位以后，每一位数字都是前面两位数字之和。
费氏数列的应用非常广泛，它可用来表示一些金融数据，进行图形分析、生物学研究以及编程。
例如，在金融投资中，费氏数列可以用来分析投资者在未来可能承受的风险。
在生物学研究中，它也被用作花瓣L-型分裂模型的理论模型，可以表示某些物种的繁殖方式。
此外，费氏数列也可以用来快速计算，例如快速获取斐波那契数，计算算法复杂度将低至O(log n)，是一种很快的计算算法。
卢卡斯数列是一种无限等差数列，又称卢卡斯队列或谢尔宾斯基数列。
它是由以色列数学家扎玛·卢卡斯（Tamar Lukas）在1878年首次提出的。
它是一个等差数列，其构成公式如下：
U(n)=U(n-1)+d
其中U(1)=a，d为等差，a为首项。
卢卡斯数列的应用也非常广泛，可用来求解多种数学问题，例如数值积分、求极限、求方程根以及求一元多项式的根等。
此外，卢卡斯数列也可以用来表示一些金融数据，例如计算未来的投资收益、预测未来的股价等。
此外，卢卡斯数列还可以用来表示任意一个等差数列，可以快速求解其几何级数的和。
lucas数列和fibonacci数列的几个性质
lucas数列和fibonacci数列的几个性质
卢卡斯数和斐波那契数是两个密切相关的整数序列，它们具有几个有趣的性质。
以下是它们的一些属性：
1.两个序列都由递归关系定义。
斐波那契数列中的第n项定义为前两项之和，即F（n）=F（n-1）+F（n-2）。
卢卡斯数的定义类似，但起点不同，即L（n）=L（n-1）+L（n-2）。
2.斐波那契数列以0和1开头，而卢卡斯数列以2和1开头。
3.两个序列都与黄金比率有关，黄金比率是一个近似等于1.61803398875的数学常数。
斐波那契序列和卢卡斯序列中连续项的比率随着项的增大而接近黄金比率。
4.这两种序列在各个领域都有应用，包括计算机科学、生物学和艺术。
5.斐波那契数列有许多有趣的性质，出现在数学和科学的许多不同领域。
它的一些属性包括：
*斐波那契数列中的每三个数字都是偶数。
*前n个斐波那契数之和等于第（n+2）个斐波纳契数减1。
卢卡斯数列公式
卢卡斯数列公式卢卡斯数列是一个在数学中挺有趣的存在。
它和我们熟悉的斐波那契数列还有着千丝万缕的联系呢。
卢卡斯数列的公式是：Ln = Ln-1 + Ln-2 ，其中 L1 = 1 ，L2 = 3 。
咱们先来说说这个公式到底是咋回事儿。
比如说，从最开始的 1 和3 出发，第三个数就是前两个数相加，也就是 1 + 3 = 4 ，这就是 L3 。
然后 3 + 4 = 7 ，这就是 L4 ，以此类推。
记得我曾经给一群小朋友讲卢卡斯数列的时候，有个小家伙特别有意思。
他瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这数列有啥用啊？又不能当糖吃！”我笑着告诉他：“宝贝儿，虽然它不能变成糖，但它能帮我们解决很多好玩的数学问题呢！”就像搭积木一样，卢卡斯数列的每一个数字都是在前两个数字的基础上搭建起来的。
这就像是我们盖房子，一层一层往上垒，每一层都依赖着下面的基础。
在实际生活中，卢卡斯数列也有它的用武之地。
比如说，在植物的生长规律中，在一些经济模型里，甚至在计算机编程中，都能看到它的身影。
有一次，我在公园里散步，看到花坛里的花朵排列得特别有规律。
仔细一琢磨，嘿，这不就有点像卢卡斯数列的那种递增感觉嘛！花朵从少到多，一层一层，就像是数列中的数字在不断累加。
咱们再深入研究研究这个公式。
它所展现出来的那种规律性和稳定性，真的让人惊叹。
每一个数字的出现都不是偶然，而是前面数字共同作用的结果。
而且，卢卡斯数列和斐波那契数列还有着很奇妙的相似之处。
它们就像是数学世界里的两兄弟，虽然有些细微的差别，但都充满了魅力。
比如说，当我们计算卢卡斯数列的一些比值时，会发现它们也逐渐趋近于某个特定的值，就像斐波那契数列一样。
这是不是很神奇？学习卢卡斯数列，不仅仅是记住那个公式，更重要的是理解其中蕴含的数学思想。
它教会我们如何去观察规律，如何去推理，如何去发现那些隐藏在数字背后的秘密。
想象一下，如果我们把卢卡斯数列看作是一场冒险之旅，每一个数字都是一个新的关卡，等待着我们去攻克，去探索。
卢卡斯数列
卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。
与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。
两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。
但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。
所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同。
卢卡斯数可以定义如下：
前几个卢卡斯数是：
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... （OEIS中的数列A000032）
延伸到负数
用L n-2 = L n - L n-1的公式，我们可以把卢卡斯数延伸到负数。
这样我们得到以下数列：
(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)
一般地，我们有
•
与斐波那契数的关系
卢卡斯数与斐波那契数有以下关系：
•
•，因此，当趋近于无穷大时，趋近于。
•
•
通项公式为：
其中是黄金分割比。
卢卡斯素数
卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。
最小的几个卢卡斯素数为：
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... （OEIS中的数列A005479）
除了n = 0、4、8、16的情况外，如果L n是素数，则n是素数。
但是，它的逆命题不成立。
[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列：斐波那契—卢卡斯数列
![[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列：斐波那契—卢卡斯数列](https://img.taocdn.com/s3/m/ff03f3cc227916888586d7b5.png)
[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列：斐波那契—卢卡斯数列[斐波那契数列]斐波那契—卢卡斯数列:斐波那契—卢卡斯数列篇一 : 斐波那契—卢卡斯数列:斐波那契—卢卡斯数列-定义，斐波那契—卢卡斯数卢卡斯数列_斐波那契—卢卡斯数列 -定义,)斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质:从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。
凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。
一般地，符合f = f+ f，f=f- f的整数数列f，都是斐波那契—卢卡斯数列。
为区别不同的斐波那契—卢卡斯数列，我们根据前两项来标定斐波那契—卢卡斯数列，如斐波那契数列:F[1,1];卢卡斯数列:F[1,3];数列1，4，5，9.，14，23…:F[1,4];特别地，常数数列0，0，0…:F[0,0]，作为下述斐波那契—卢卡斯数列群的单位元素。
别名斐波那契—卢卡斯序列，推广斐波那契数列，推广卢卡斯数列，推广兔子数列等。
斐波那契—卢卡斯数列群任意2个或2个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
n12345678910…F[1,4]n14591423376097157…F[1,3]n13471118294776123…F[1,4]n-F[1,3]n0112358132134…F[1,4]n+F[1,3]n27916254166 107173280…卢卡斯数列_斐波那契—卢卡斯数列 -斐波那契—卢卡斯数列的性质一些等式 f+f=f*1f+f+f+…+f=f*4f+f+f+…+f=f*11f+f+f+…+f=f*29f+f+f+…+f=f*76注意:1，4，11，29，76，…是卢卡斯数列的奇数项。
有趣的斐波那契数列例子
斐波那契数列斐波那契的发明者,是数学家Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是;他被人称作“比萨的列昂纳多”;1202年,他了珠算原理Liber Abacci一书;他是第一个研究了和数学理论的人;他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的地区,列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学;他还曾在、、、和研究;斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和;斐波那契数列通项公式通项公式见图又叫“比内公式”,是用表示的一个范例;注：此时a1=1,a2=1,an=an-1+an-2n>=3,n∈N通项公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设Fn为该数列的第n项n∈N+;那么这句话可以写成如下形式：F0 = 0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2 n≥2,显然这是一个递推数列;方法一：利用特征方程线性代数解法线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=1+√5/2,,X2=1-√5/2;则Fn=C1X1^n + C2X2^n;∵F1=F2=1;∴C1X1 + C2X2;C1X1^2 + C2X2^2;解得C1=1/√5,C2=-1/√5;∴Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1}√5表示5;方法二：待定系数法构造等比数列1初等待数解法设常数r,s;使得Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2;则r+s=1, -rs=1;n≥3时,有;Fn-rFn-1=sFn-1-rFn-2;Fn-1-rFn-2=sFn-2-rFn-3;Fn-2-rFn-3=sFn-3-rFn-4;……F3-rF2=sF2-rF1;联立以上n-2个式子,得：Fn-rFn-1=s^n-2F2-rF1;∵s=1-r,F1=F2=1;上式可化简得：Fn=s^n-1+rFn-1 ;那么：Fn=s^n-1+rFn-1;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2Fn-2;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 + r^3Fn-3;……= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1F1;= s^n-1 + rs^n-2 + r^2s^n-3 +……+ r^n-2s + r^n-1;这是一个以s^n-1为首项、以r^n-1为末项、r/s为公比的的各项的和;=s^n-1-r^n-1r/s/1-r/s;=s^n - r^n/s-r;r+s=1, -rs=1的一解为s=1+√5/2,r=1-√5/2;则Fn=1/√5{1+√5/2^n+1 - 1-√5/2^n+1};方法三：待定系数法构造等比数列2初等待数解法已知a1=1,a2=1,an=an-1+an-2n>=3,求数列{an}的通项公式;解:设an-αan-1=βan-1-αan-2;得α+β=1;αβ=-1;构造方程x^2-x-1=0,解得α=1-√5/2,β=1+√5/2或α=1+√5/2,β=1-√5/2;所以;an-1-√5/2an-1=1+√5/2an-1-1-√5/2an-2=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1`````````1;an-1+√5/2an-1=1-√5/2an-1-1+√5/2an-2=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1`````````2;由式1,式2,可得;an=1+√5/2^n-2a2-1-√5/2a1``````````````3;an=1-√5/2^n-2a2-1+√5/2a1``````````````4;将式31+√5/2-式41-√5/2,化简得an=1/√5{1+√5/2^n - 1-√5/2^n};与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是的数列,通项公式却是用无理数来表达的;而且当n时an-1/an越来越逼近数;1÷1=1,2÷1=2,3÷2=,5÷3=...,8÷5=,…………,89÷55=…,…………233÷144=…75025÷46368=…;..越到后面,这些比值越接近黄金比.证明:an+2=an+1+an;两边同时除以an+1得到：an+2/an+1=1+an/an+1;若an+1/an的极限存在,设其极限为x,则limn->∞an+2/an+1=limn->∞an+1/an=x;所以x=1+1/x;即x²=x+1;所以极限是黄金分割比;奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等,有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷,把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数;比如钢琴上白键的8,黑键上的5都是斐波那契数,因该把它看做巧合还是规律呢随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值……从第二项开始,每个奇数项的都比前后两项之积多1,每个项的平方都比前后两项之积少1;注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是列的本身的奇偶,比如第四项3是奇数,但它是偶数项,第五项5是奇数,它是奇数项,如果认为数字3和5都是奇数项,那就误解题意,怎么都说不通多了的一在哪如果你看到有这样一个题目：某人把一个88的方格切成四块,拼成一个513的,故作惊讶地问你：为什么64=65其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到;斐波那契数列的第n项同时也代表了{1,2,...,n}中所有不相邻正的个数;斐波那契数列fn,f0=0,f1=1,f2=1,f3=2……的其他性质：0+f1+f2+…+fn=fn+2-1;1+f3+f5+…+f2n-1=f2n;2+f4+f6+…+f2n =f2n+1-1;4.f0^2+f1^2+…+fn^2=fn·fn+1;0-f1+f2-…+-1^n·fn=-1^n·fn+1-fn+1;m+n-1=fm-1·fn-1+fm·fn;利用这一点,可以用程序编出时间复杂度仅为Olog n的程序;怎样实现呢伪代码描述一下7.fn^2=-1^n-1+fn-1·fn+1;2n-1=fn^2-fn-2^2;n=fn+2+fn-2;2n-2m-2f2n+f2n+2=f2m+2+f4n-2m n〉m≥-1,且n≥1斐波那契数列2n+1=fn^2+fn+1^2.在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列将杨辉三角依次下降,成如图所示排列,将同一行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……公式表示如下：f1=C0,0=1 ;f2=C1,0=1 ;f3=C2,0+C1,1=1+1=2 ;f4=C3,0+C2,1=1+2=3 ;f5=C4,0+C3,1+C2,2=1+3+1=5 ;f6=C5,0+C4,1+C3,2=1+4+3=8 ;F7=C6,0+C5,1+C4,2+C3,3=1+5+6+1=13 ;……Fn=Cn-1,0+Cn-2,1+…+Cn-1-m,m m<=n-1-m斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个数有且只有一个被2整除,每4个数有且只有一个被3整除,每5个数有且只有一个被5整除,每6个数有且只有一个被8整除,每7个数有且只有一个被13整除,每8个数有且只有一个被21整除,每9个数有且只有一个被34整除,.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5,13,89,233,1597,28657第19位不是斐波那契数列的素数无限多吗斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,,99875,27965,16730,33695,49325,72910…斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21………………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现;例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子假定没有折损,直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数;叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回;叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数;在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为源自希腊词,意即叶子的排列比;多数的叶序比呈现为斐波那契数的比;斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值,斐波那契数列：|11-12|=|22-13|=|33-25|=|55-38|=|88-513|=…=1卢卡斯数列：|33-14|=|44-37|=…=5F1,4数列：|44-15|=11F2,5数列：|55-27|=11F2,7数列：|77-29|=31斐波那契数列这个值是1最小,也就是前后项之比接近最快,我们称为黄金特征,黄金特征1的数列只有斐波那契数列,是独生数列;卢卡斯数列的黄金特征是5,也是独生数列;前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列;而F1,4与F2,5的黄金特征都是11,是孪生数列;F2,7也有孪生数列：F3,8;其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列,称为孪生斐波那契—卢卡斯数列; 广义斐波那契数列斐波那契数列的黄金特征1,还让我们联想到佩儿数列：1,2,5,12,29,…,也有|22-15|=|55-212|=…=1该类数列的这种称为勾股特征;数列Pn的递推规则：P1=1,P2=2,Pn=Pn-2+2Pn-1.据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：fn = fn-1 p + fn-2 q,称为广义斐波那契数列;当p=1,q=1时,我们得到斐波那契—卢卡斯数列;当p=1,q=2时,我们得到佩尔—勾股弦数跟边长为整数的有关的数列集合;当p=-1,q=2时,我们得到等差数列;其中f1=1,f2=2时,我们得到自然数列1,2,3,4…;自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1等差数列的这种差值称为;具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1;当f1=1,f2=2,p=2,q=1时,我们得到等比数列1,2,4,8,16……相关的数学问题1.排列组合有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶,有两种登法；登上三级台阶,有三种登法；登上四级台阶,有五种登法……1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法;类似的,一枚均匀的硬币掷10次,问不连续出现正面的可能情形有多少种答案是1/√5{1+√5/2^10+2 - 1-√5/2^10+2}=144种;2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时,Fn/Fn+1的极限是多少这个可由它的通项公式直接得到,极限是-1+√5/2,这个就是黄金分割的数值,也是代表的和谐的一个数字;3.求递推数列a1=1,an+1=1+1/an的通项公式由可以得到：an=Fn+1/Fn,将斐波那契数列的通项式代入,化简就得结果;3.兔子繁殖问题关于斐波那契数列的别名斐波那契数列又学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“”;一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来;如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对两个月后,生下一对小兔民数共有两对三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对－－－－－－依次类推可以列出下表：经过月数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12幼仔0 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89成兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列;这个数列有关十分明显的特点,那是：前面相邻两项之和,构成了后一项;这个数列是意大利数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个的通项公式,除了具有an+2=an+an+1的性质外,还可以证明通项公式为：an=1/√5{1+√5/2^n-1-√5/2^n}n=1,2,3.....数学游戏一位拿着一块边长为8英尺的地毯,对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块,再把它们缝成一块长13英尺,宽5英尺的长方形地毯;”这位匠师对魔术师之差深感惊异,因为两者之间面积相差达一平方英尺呢可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的这真是不可思议的事亲爱的读者,你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢实际上后来缝成的地毯有条细缝,面积刚好就是一平方英尺;自然界中的巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支,也有许多应用;例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝;所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发；此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”;这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列;这个规律,就是生物学上着名的“鲁德维格定律”;另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部这些植物懂得斐波那契数列吗应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样;这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉;叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的,每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是……的,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生;向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条;数字谜题三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝,要截成n小段n>2,每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少分析：由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边;截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条就是2为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和,依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10;我们看到,“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用,正是这个最1产生了斐波那契数列,如果把1换成其他数,递推关系保留了,但这个数列消失了;这里,三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系;在这个问题中,144>143,这个143是斐波那契数列的前n项和,我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去,如果加到其他数上,就有3条线段可以构成三角形了;影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知,于是在电影这种通俗艺术中也时常出现,比如在风靡一时的里它就作为一个重要的符号和情节线索出现,在魔法玩具城里又是在店主招聘会计时随口问的问题;可见此数列就像黄金分割一样流行;可是虽说叫得上名,多数人也就背过前几个数,并没有深入理解研究;在电视剧中也出现斐波那契数列,比如：日剧考试之神第五回,义嗣做全国模拟考试题中的最后一道~社会文明中的斐波那契数列艾略特波浪理论1946年,艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作,自然法则——宇宙的秘密;艾略特坚信,他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分;波浪理论的优点是,对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号,而传统的技术分析方法只有事后才能验证;艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力,从而有助于解释特定的形态为什么要出现,在何处出现,以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题;另外,它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位;波浪理论的数学基础,就是在13世纪发现的费氏数列;波浪理论数学结构8浪循环图·8浪循环图说明·波浪理论的推动浪,浪数为51、2、3、4、5,调整浪的浪数为3a\b\c,合起来为8;·8浪循环中,前5段波浪构成一段明显的上升浪,其中包括3个向上的冲击波及两个下降的调整波;在3个冲击波之后,是由3个波浪组成的一段下跌的趋势,是对前一段5浪升势的总调整;这是艾略特对波浪理论的基本描述;而在这8个波浪中,上升的浪与下跌的浪各占4个,可以理解为艾略特对于股价走势对称性的隐喻;·在波浪理论中,最困难的地方是：波浪等级的划分;如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性,不仅需要形态上的支持,而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断;·换句话说,波浪理论易学难精,易在形态上的归纳、总结,难在价位及时间周期的判定;波浪理论的数字基础：斐波那契数列波浪理论数学结构——斐波那契数列与黄金分割率·这个数列就是斐波那契数列;它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字；前一个数字大约是后一个数字的倍；前一个数字约是其后第二个数字的倍；后一个数字约是前一个数字的倍；后一个数字约是前面第二个数字的倍；·由此计算出常见的黄金分割率为和外：、、、、、、、、、·黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值;黄金分割比率在时间周期模型上的应用·未来市场转折点=已知时间周期×分割比率·已知时间周期有两种：1循环周期：最近两个顶之间的运行时间或两个底之间的运行时间2趋势周期：最近一段升势的运行时间或一段跌势的运行时间·一般来讲,用循环周期可以计算出下一个反向趋势的终点,即用底部循环计算下一个升势的顶,或用顶部循环计算下一个跌势的底;而用趋势周期可以计算下一个同方向趋势的终点或是下一个反方向趋势的终点;时间循环周期模型预测图时间趋势周期模型预测图时间周期与波浪数浪的数学关系·一个完整的趋势推动浪3波或调整浪3波,运行时间最短为第一波1浪或A浪的倍,最长为第一波的倍;如果第一波太过短促,则以第一个循环计算A浪与B浪或1浪与2浪;·及的周期一旦成立,则出现的行情大多属次级趋势,但行情发展迅速;·同级次两波反向趋势组成的循环,运行时间至少为第一波运行时间的倍;·一个很长的跌势或升势结束后,其右底或右顶通常在前趋势的或倍时间出现;黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话,则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间,都将会趋向于一致;也就是说,当推动浪中的浪3在走势中成为延伸浪时,则浪1与浪5的升幅和运行时间将会大致趋同;假如并非完全相等,则极有可能以的关系相互维系;·浪5最终目标,可以根据浪1浪底至浪2浪顶距离来进行预估,他们之间的关系,通常亦包含有神奇数字组合比率的关系;·对于ABC调整浪来说,浪C的最终目标值可能根据浪A的幅度来预估;浪C的长度会经常是浪A的倍;当然我们也可以用下列公式预测浪C的下跌目标：浪A浪底减浪A乘;·在对称三角形内,每个浪的升跌幅度与其他浪的比率,通常以的神奇比例互相维系;黄金分割比率在价格幅度模型上的应用·：浪4常见的回吐比率、部份浪2的回吐比率、浪B的回吐比率;·：大部份浪2的调整幅度、浪5的预期目标、浪B的调整比率、三角形内浪浪之间比率;·：常见是浪B的调整幅度;·：浪3或浪4的回吐比率,但不多见;·与：·：浪3与浪1、浪C与浪A的比率关系;推动浪形态·推动浪有五浪构成;第一浪通常只是由一小部分交易者参与的微弱的波动;一旦浪1结束,交易者们将在浪2卖出;浪2的卖出是十分凶恶的,最后浪2在不创新低的情况下,市场开始转向启动下一浪波动;浪3波动的初始阶段是缓慢的,并且它将到达前一次波动的顶部浪1的顶部;推动浪浪5未能创新高低,市场将会出现大逆转推动浪的变异形态——倾斜三角形·倾斜三角形为推动浪中的一种特殊型态比较少见,主要出现在第5浪的位置;艾略特指出,在股市中,一旦出现一段走势呈现快速上升或赶底的状况,其后经常会出现倾斜三角形型态调整浪形态·调整是十分难以掌握的,许多艾略特交易者在推动模式阶段上赚钱而在调整阶段再输钱;一个推动阶段包括五浪;调整阶段由三浪组成,但有一个三角形的例外;一个推动经常伴随着一个调整的模式;·调整模式可以被分成两类：·简单的调整：之字型调整N字型调整·复杂的调整：平坦型、不规则型、三角形型调整浪的简单与复杂调整的交替准则调整浪的变异形态：强势三角形调整浪的变异形态：前置三角形各段波浪的特性·在8浪循环中,每段波浪都有不同的特点,熟知这些特点,对波浪属性的判断极有帮助,·第1浪：大部分第1浪属于营造底部形态的一部份,相当于形态分析中头肩底的底部或双底的右底,对这种类型的第1浪的调整第2浪幅度通常较大,理论上可以回到第1浪的起点;小部份第1浪在大型调整形态之后出现,形态上呈V形反转,这类第1浪升幅较为可观;在K线图上,经常出现带长下影线的大阳线;从波浪的划分来说,在5-3-5的调整浪当中,第1浪也可以向下运行,通常第1浪在分时图上应该显示明确的5浪形态;·第2浪：在强势调整的第2浪中,其回调幅度可能达到第1浪幅度的或,在更多的情况下,第2浪的回调幅度会达到100%,形态上经常表现为头肩底的右底,使人误以为跌势尚未结束;在第2浪回调结束时,指标系统经常出现超卖、背离等现象;第2浪成交量逐渐缩小,波幅较细,这是卖力衰竭的表现;出现传统系统的转向信号,如头肩底、双底等;·第3浪：如果运行时间较短,则升速通常较快;在一般情况下为第1浪升幅的倍;如果第3浪升幅与第1浪等长,则第5浪通常出现扩延的情况;在第3浪当中,唯一的操作原则是顺势而为;因为第3浪的升幅及时间经常会超出分析者的预测;通常第3浪运行幅度及时间最长;属于最具爆发性的一浪;大部分第3浪成为扩延浪;第3浪成交量最大;出现传统图表的突破信号,如跳空缺口等;·第4浪：如果第4浪以平坦型或N字型出现,a小浪与c小浪的长度将会相同;第4浪与第2浪经常是交替形态的关系,即单复式交替或平坦型、曲折型或三角形的交替;第4浪的低点经常是其后更大级数调整浪中A浪的低点;经常以较为复杂的形态出现,尤其以三角形较为多见;通常在第3浪中所衍生出来的较低一级的第4浪底部范围内结束;第4浪的底不会低于第1浪的顶;·第5浪：除非发生扩延的情况,第5浪的成交量及升幅均小于第3浪;第5浪的上升经常是在指标出现顶背离或钝化的过程中完成;在第5浪出现衰竭性上升的情况下,经常出现上升楔形形态;这时,成交量与升幅也会出现背离的情况;如果第1、3浪等长,则第5浪经常出现扩延;如果第3浪出现扩延浪,则第5浪幅度与第1浪大致等长;市场处于狂热状态;·第6浪A浪：A浪可以为3波或者5波的形态;在A浪以3波调整时,在A浪结束时,市场经常会认为整个调整已经结束;在多数情况下,A浪可以分割为5小浪;市场人士多认为市场并未逆转,只视为一个较短暂的调整;图表上,阴线出现的频率增大;·第7浪B浪：在A浪以3波形态出现的时候,B浪的走势通常很强,甚至可以超越A浪的起点,形态上出现平坦型或三角形的概率很大;而A浪以5波运行的时候,B浪通常回调至A浪幅度的至;升势较为情绪化,维持时间较短;成交量较小;·第8浪C浪：除三角形之外,在多数情况下,C浪的幅度至少与A浪等长;杀伤力最强;与第3浪特性相似,以5浪下跌;股价全线下挫;人类文明的斐波那契演进古老的<马尔萨斯理论>已经显灵马尔萨斯认为：每当社会财富快速积累,人口快速增长,就会出现：战争、瘟疫、饥荒、自然灾害来削减人口;2000年科技泡沫达到繁荣的极限,到处都是财富神话然后盛极而衰,全球经济急转直下转入衰退、长期萧条;于是：911、阿富汗战争、伊拉克战争、SARS、印度洋海啸、飓风袭击美利坚、禽流感、寒流袭击欧罗巴;这一切集中在一起接二连三地发生2000年是自上世纪30年代全球经济大萧条后,一个长达约70年的经济增长周期的结束点,后面将是一个长期萧条周期;上世纪30年代全球经济大萧条导致了二次世界大战,被艾略特称之为：底部战争;现在又是一个与上世纪30年代全球经济大萧条同级别的经济萧条周期,2000年来的经济萧条将持续至2021年才会结束预测附在下面;后面是否又会发生被艾略特称之为的：底部战争至少有不良苗头：哈马斯执政、伊朗核问题纠缠,世界将走向何方是否还记得那个着名的：1999年7月之上误差了2年恐怖大王从天而降911使安哥鲁摩阿大王为之复活美国发动反恐战争这期间由马尔斯借幸福之名统治四方唯一待验证社会群体心理、群体行为、群体价值观,乃至国际政治、经济、军事,一切皆是自相似系统分形几何运行阶段的反映和结果;1、自2000年来的全球经济萧条将持续至2021年,说明未来将是长期萧条;2、之前会有若干次小级别、温和的经济扩张和收缩,2010、2011、2018年是拐点;3、2021年是一个黑暗的年份,人们悲观、恐惧、绝望的情绪会达到一个极点;到时绝大多数经济学家会一致悲观接着柳岸花明经济开始复苏,经济学家们又挨了一记大耳光;首先,列出一组计算公式：公元1937年–公元1932年X + 公元1982年= 公元2000年公元1966年–公元1942年/ + 公元1982年= 公元1999年公元1837年–公元1789年X + 公元1932年= 公元1998年公元1325年–公元950年X –公元1650年–公元1490年+ 公元1789年–公元1650年+ 公元1789年= 公元2000年其中：公元950年商业革命的起点公元1325年商业革命的结束点公元1490年资本主义革命的起点公元1650年资本主义革命的结束点公元1789年工业革命的起点公元1837年公元1789年后第一轮经济扩张的结束点公元1932年自公元1929年资本主义世界股灾的结束点公元1937 年公元1929年股灾后第一轮经济扩张的结束点公元1942年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的起点公元1966年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的结束点公元1982年70年代全球经济滞胀的结束点、、是斐波那契比率,来源于斐波那契数列前2个计算公式的含义：自上世纪30年代资本主义世界经济大萧条以来,新的一个自公元1932年开始的上升5浪的经济扩张周期已经结束,结束点为公元2000年;那么接着是一个调整期经济。
卢卡斯数列的规律
卢卡斯数列的规律
卢卡斯数列（Lucas sequence）是数学中非常有趣的一类数列，它定义为：
L(0) = 2，L(1) = 1
也就是说，卢卡斯数列的前两项为2和1，后面的每一项都等于其前两项之和。
首先，我们可以通过计算前面几项数值来看出一些规律。
L(8) = L(7) + L(6) = 47
2. 卢卡斯数列中的每一项都是一个整数。
3. 卢卡斯数列中的每一项都等于斐波那契数列对应项的值加上其前面一项的值，即L(n) = F(n+1) + F(n-1)，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4. 卢卡斯数列的增长速度非常快，每一项相较于前一项都会呈现一个很大的增长。
6. 卢卡斯数列中的每一项都可以用递推公式L(n) = (P^n + (1-P)^n)/sqrt(5)，其中P=(1+sqrt(5))/2。
7. 卢卡斯数列中的每个数都可以被分解成若干个斐波那契数之和的形式，例如：
L(11) = L(10) + L(9) = F(11) + F(10) + F(9) + F(8) = 144 + 89 + 55 + 34 = 322
通过这些规律，我们可以更好地理解卢卡斯数列，并且运用它在数学学科中做些有趣的事情，例如数论、组合数学、图论、代数学等领域。
总结一下，卢卡斯数列是一个非常有趣的数列，其规律可以帮助我们更好地理解它的性质和特点，同时还可以在数学中发挥出其广泛的应用价值。
卢卡斯数列和斐波那契数列的区别
卢卡斯数列和斐波那契数列的区别卢卡斯数列和斐波那契数列，这俩数列就像数学这个大花园里的两朵奇花，各有各的妙处。
咱先来说说斐波那契数列吧。
这个数列可有名了，就像数学界的大明星。
它是从0和1开始的，后面的数呢，就是前面两个数相加得到的。
像0、1、1、2、3、5、8、13这样的数，就像是搭积木一样，一块一块往上垒，每一块都依赖前面两块的大小。
这数列在大自然里可常见了，就拿向日葵来说吧，向日葵花盘上的葵花籽排列就符合斐波那契数列的规律。
你看，大自然就像一个神奇的数学家，悄无声息地把斐波那契数列用到了自己的设计里。
这数列给人的感觉就像是一条缓缓流淌的小溪，数字之间的联系非常的自然和流畅。
再看看卢卡斯数列呢，它也是由两个初始数开始的，不过这俩初始数是2和1。
它后面的数也是由前面的数按照一定规律生成的，也是前两个数相加得到后面的数。
但是呢，因为初始数不一样，整个数列就和斐波那契数列有了很大的区别。
卢卡斯数列的数像是一群特立独行的小家伙，它们和斐波那契数列的数虽然有相似的生成规则，可表现出来的数字组合却大不相同。
如果把斐波那契数列比作是一群温顺的绵羊，那卢卡斯数列就像是一群矫健的骏马，虽然都在数字的草原上奔跑，可姿态和速度都不一样。
斐波那契数列的数增长起来呢，就像是一个慢慢加速的小推车，开始的时候很慢，越到后面速度越快。
卢卡斯数列的增长感觉就像是火箭发射，初始的时候就有一定的速度，然后也快速地发展。
你要是把这两个数列的数放在一起对比，就像把东方的水墨画和西方的油画放在一起，虽然都是画，可风格、色彩、笔触都不一样。
斐波那契数列在很多领域都有应用，像是建筑设计啊，美学啊。
卢卡斯数列也不示弱，在一些数学研究和计算机算法里也有它的身影。
比如说在某些加密算法里，卢卡斯数列就像是一个忠诚的卫士，默默地守护着信息的安全。
从数字的特性上看，斐波那契数列的数字特性更像是一种和谐的韵律，就像音乐里的和弦，每个数字之间配合得非常巧妙。
由斐波那契数列和卢卡斯数列到一般递归数列
由斐波那契数列和卢卡斯数列到一般递归数列
数列是指按照一定规律排列起来的数的序列，是数学中重要的概念之一。
数列不仅在
数学领域发挥着重要的作用，而且在计算机科学、物理学、经济学等多个领域都有着重要
的应用。
最著名的数列之一是斐波那契数列（Fibonacci Sequence），它是数学中一个经典的
递推序列。
斐波那契数列的前两项为0和1，从第三项开始，每一项均为前两项的和，依
次类推。
因此，斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……
斐波那契数列不仅在数学中有着广泛的应用，而且在计算机科学中也有着非常重要的
作用。
比如，在计算斐波那契数列时，可以使用递归算法或迭代算法，而递归算法则是计
算机科学和编程中必学的内容。
除了斐波那契数列和卢卡斯数列外，数学中还有很多其他的递归数列。
递归数列的生
成方式要么是根据前两项生成后面的所有项，要么是根据前k项生成后面的所有项。
其中，前两项是数列的种子，其余项均是种子的和、积或其他操作。
一些递归数列的生成方式如下：
以前两项为基础生成后续项：
1. 题目描述：数列的前两项为a和b，从第三项开始，每一项等于前两项的和加上一个正整数k，即：a(n)=a(n-1)+a(n-2)+k。
总之，递归数列是数学中一个非常重要的概念，它不仅具有理论研究意义，而且有着
广泛的实际应用，特别是在计算机科学等领域。
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先定义整数 P 和 Q 使 D = P2 - 4Q > 0，
从而得一方程 x2 - Px + Q = 0，其根为 a, b，
现定义卢卡斯数列为：
Un(P,Q) = (an - bn) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = an + bn
其中 n 为非负整数，得 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、......
结论：下一轮牛市结束时间为：2011年的9月。
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卢卡斯数列
卢卡斯数列 (Lucas Sequence) 和费波拿契数列 (Fibonnacci Sequence) 有莫大的关系。故本人在介绍费波拿契数以後也得为卢卡斯数列多添一章。
【背景】弗朗索瓦·爱德华·阿纳托尔·卢卡斯（Fran?ois édouard Anatole Lucas，1842年4月4日－1891年10月3日，法语发音为(IPA)[f?ɑ?swa edua? anat?l lyka]）法国数学家，受教育是在巴黎高等师范。先是在巴黎天文台工作，随后成为一个专业数学家。这期间他曾在陆军服役。卢卡斯的死很不寻常。在法国科学进步协会（Association fran?aise pour l'avancement des science）的年度会议的宴会上，一个侍者掉了一个餐盘，其中一个瓷碎片将他的脸划破。过后几天，他就死于可能由败血症引起的严重皮肤感染。卢卡斯以研究斐波那契数列而著名。卢卡斯数列就是以他的名字命名。他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式。卢卡斯创造出检验素数的方法。后来德里克·亨利·莱默完善了他的方法，就是我们用来验证梅森素数的卢卡斯-莱默检验法。他还对休闲数学感兴趣，发明了汉诺塔问题。
我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式：
Ln2 - Ln-1Ln+1 = 5 (-1)n
L12 + L22 + ...... + Ln2 = LnLn+1 - 2
Lm+n = (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn 为费波拿契数)
Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2
本轮牛熊月K线分析
1,998点起头4个月,在千点上下震荡,第1个数字是4,
2,之后连续4根月阳线,7个月后到达1300下方,第2个数字是7,
3,在第11个月后,来到阶段1700下方,然后大盘在此调整震荡,此时上涨幅度近70%,第4个数字是11,
而 Vn 为卢卡斯数 (Lucas Number)，
即 2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。
若取 (P,Q) = (2,-1)，我们便有 Un 为佩尔数 (Pell Number)，
联系到当前年中国上证指数如何来看待呢？
如果本轮牛市从05年6月的998点算起,到07年10月6124点。
卢卡斯数字解释：卢卡斯数字和神奇数字系列,都是以加数形式增长.卢卡斯数字是神奇数字的1.328倍,在趋势分析上的应用,和费数大同小异.在时间周期方面,主要是用以数算市场逆转的时间,两套数字序列往往可起互补长短的作用.
13963 2919 奥基斯 (Mike Oakes) 2002
12251 2561 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) 2001
10691 2235 都伯纳 (Harvey Dubner) / 凯勒 (Wilfrid Keller) 1995
Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n
卢卡斯素数龙虎榜
n 数位 发现者 年份
56003 11704 欧文 (Sean A. Irvine) / 禾达 (Bouk de Water) 2006
51169 10694 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst)
下一个卢数是123,对应的时间是2011年09月,离现在还有33个月,会不会是下一波的阶段低点呢?
从07年11月趋势扭转之后,到08年10月18XX点,几乎单边下跌了11个月,(前文已经说过,卢数意味着变盘),11月之后就开始止跌回升,在11这个卢数之后的数字是18,7个月后会不会产生阶段变盘的重要因素呢?也就是09年的6月.在之前巧合(二)里面猜想中,已经提到09年7月会不会是另外一个重要的时间窗口,由于卢数的提前变盘预示,09年6月会不会另外一个重要的变盘转折点?综合近期国内和国际的金融与经济形势,是不是可以得出一个这样的推断,09年第1季度末,就得非常小心谨慎?
即 0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。
而 Vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (Pell - Lucas Number) (详见另文《佩尔数列》)，
即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。
U2n+1 = Un+1Vn - Qn 、 V2n+1 = Vn+1Vn - PQn
若取 (P,Q) = (1,-1)，我们便有 Un 为费波拿契数，
即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。
若我们考虑的是拟素数，即那些通过费马小定理 (Fermat's Little Theorem) 逆命题测试的数，这有很大机会是素数，或可能是卡迈克尔数 (Carmichael Number)。那我们可把 n 推至 202667。但正因为 n 很大，要判断该数的素性的确不易。
以上所说的就是不仅仅是这些。
2001
44507 9302 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 伦斯 (John Renze) 2005
36779 7687 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 伦斯 (John Renze) 2005
此等全都是数学界很有名的数列。
卢卡斯数的性质
卢卡斯数 (简记 Ln) 有很多性质和费波拿契数很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。
所以卢卡斯数有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，当中的平方数只有 1 和 4，这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的。而素数，即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。
35449 7409 禾达 (Bouk de Water) 2001
19469 4069 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) 2002
19449 3020 都伯纳 (Harvey Dubner) / 凯勒 (Wilfrid Keller) 1995
我们有下列和卢卡斯数列相关的恒等式：
Um+n = UmVn - anbnUm-n 、 Vm+n = VmVn - anbnVm-n
Um+1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm+1 = P*Vm - Q*Vm-1 (取 n = 1)
U2n = UnVn 、 V2n = Vn2 - Qn
4,在调整4个月后,又开始发力向上,在18个月后大盘冲到2700下方开始震荡调整,第5个数字是18,
5,此后大盘就一鼓作气,在29个月后见顶6124点,到达本轮牛市至高点,此后开06月起,到07年10月,时间周期刚好是76个月(4*12个月+4个月),本轮牛市高点离上轮高点整整76个月,这个76也是卢数的又一个数字.而在(三)中也描述了本轮牛市上涨的数字巧合,