小波分析课件_第五章_正交小波变换的快速算法.

k
j }
。
先从底层的 V1 V 0 W 0 开始考虑，假定已 知 {ck1}、{hn}和 {gn}，求 {ck 0}和 {d k 0}。由于{(t n)} 是标准正交的，有：
c
n
0
(
f
0,
0,
n)
(
f
0
w0,
0,
n)
(
f
1,
0,
n)
( k
c
k
1 1,
k,
0,
n)
k
c
1 k (1,
k,
0,
n)
c(n
l
)
/
2
j hl
~ ~ cn
j
1
21/ 2 d(n l
l)/ 2
j gl
cn
j
1
~ cn
j
1
~ ~ cn
j
1
f j1 (t) V j1 f j (t) V j
～ j 1
cn
～ j 1
c n1
h2
h3 h0
k
2n
21/
2 m
c
2n
1 mg
m
一般情况下有：
cn j
21/ 2 k
ck
j1 hk2n
21/
2
m
c
2
nm
j
1 hm
d
n
j
21/ 2 k
ck
j 1g k 2 n
21/ 2 m
c2nm
j 1g m
cn j
(f
j, j,n)
(f
j
w j, j,n)
(f
j1 ,
j
,n
)
(
k
c
k
j1 j1,k , j ,n)
字计算与分析处理来说，需要的是离散数据。也就
是说，f j(t)和w j(t) 需要用离散数据来表示，显然它
们分别与c j和 d j 有一一对应关系。
k
k
●2 、分解算法
分解算法的目的就是在{(t n)}是标准正交条件
下，由已知的上一尺度的
{c
k
j
1 }
、{hn}和{gn}，求
下一尺度的
{c k
j}和{d
k
ck
j
(
j,k
,
j1,n)
k
d
k
j
(
j,k
,
j1,n)
又
(
j,
k
,
j
1,n
)
(2
j
/
2(2
jt
k),
2(
j
1) /
2(2
j
1t
n))
21/
2 (x) R
(2x
n
2k)dx
21/
2m hm
R
(2x
m)
(2x
n
2k)dx
21/
2m hm
R
(x
m)(x
n
2k
)dx
21/ 2hn 2k
( j,k , j 1,n) (2 j / 2 (2 jt k),2( j 1)/ 2(2 j 1t n)) 21/ 2 (x)(2x n 2k)dx R
以在上 理公 解式 了反 上映 述出分如解何过由程{的ck j 具1}求体取做{c法k j基} 和础{d上k j，} 。可
以用算子来表示计算过程。令 C j {cn j} ，D j {dn j} 根据这种定义可以有：C j HC j 1 ，D j GC j 1 ，将 此过程递推，可得：C j H M jCM ，D j GH M j 1CM。
第五章 正交小波变换的快 速算法
本章介绍正交小波变换的快速算法。算 法理论不需具体的尺度函数和小波函数形 式，只用到分析信号的有关数据和双尺度 方程的传递系数 {hn}和{gn} 。
5.1 Mallat算法
●1、尺度空间的有限分解及数据表征
多分辨分析（MRA）表明对于任意的时域信 号 f (t)，可以分解成无数小波分量的直和。实际应用 过程中，只能已知采样得到的信号序列，可将它看 成某一尺度下的近似函数 f n(t) V n，由此可得尺度 空间的有限分解：
C0
H
C1 H C2
G
G
D0
D1
CM 1 H CM G
DM 1
运算量分析
假设细密层CM有N个数据，M-1层上 CM 1 和 DM 1 各有N/2个数据，假设{hn}和{gn}分别有A个 数据，那么，用 CM 计算CM 1 和DM 1 需要 2AN/2次运算；相应地，从M-1到M-2层需要2AN/4
次运算。要得到 C j 和 D j （0 j M 1 ）需要的运
算次数为
11
1
2AN ( 2
22
2M j )
●3. 回复算法
回复算法的目的就是在{(t n)}是标准正交条
下，由已知的{c
k
j }
、{d
k
j }
，构造出{c k M }（ 0
j M 1）。
过程如下：
cn j1 ( f j1, j1,n) ( f j w j, j1,n) ( f j, j1,n) (w j, j1,n)
k ), (2
j1 t
2n
m ))
k2nm
mk2
n
21/
2
k
ck
j 1hk 2 n
21/ 2 m
c2nm
j1hm
f j1(t) Vj1
h2 h1 h0 h1 h2 h3
c2n2j1c2n1j1c2n j1
c j1 2n1
c j1 2n2
c j1 2n3
f j (t) Vj
cj n1
cj n
cj n1
(t) V 0
n
由上式可知，待分解信号 f n(t) V n 本身频率
范围有限，分解出来的各分量中 f j(t) 为相应尺度
下的低频分量，f 0(t)为最低频分量，w j(t)则为相应
尺度下的带通分量。由上述分解过程得到的 f 0(t)
和各 w j(t) 的频带总和等于 f n(t)的频带范围。
以上表示方法仍为时间t的连续函数，而对于数
k
c
k 1(21
/
2 (2t
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k
), (t
n))
k
c
k 1(21 /
2 (2t
k
),
m
hm(2(t
n)
m))
21/
2 k
c
k
1 m
h m( (2t
k
), (2(t
n)
m))
k 2n m
m
k
2n21/
2 k
c
1 k hk
2n
21/
2 m
c
2n
1 m hm
同理可得：
d
n
0
21/
2 k
c
1 kg
Vn Wn1Vn1Wn1Wn2Vn2 Wn1Wn2 W0V0
其中：f j(t) c k j j, k (t),
k
f j(t) V j
w j(t) d k j j, k (t),
k
(t) hn (2t n),
n
w j(t) W j
(t) V 0
(t) g n (2t n),
21/
2 m
gm
R
(2x
m)(2x
n
2k)dx
21/
2 m
gm
R
(
x
m)(x
n
2k)dx
21/ 2gn 2k
因此有：
c
n
j1
k
c
k
j
21/
2hn2k
d k
k
j
21/
2gn2k
21/
2
k
c
k
j hn2k
d k
k
j gn2k
令l n 2k ，可将上式整理如下：
~ cn
j
1
21/
2 l
证明过程：
k
c
k
j1( j1,k , j ,n)
k
ck
j 1( 2(
j1)/ 2 (2
j1 t
k ), 2 j / 2 (2
j
t
n ))
k
ck
j 1( 2(
j1)/ 2 (2
j1 t
k ),
2j/2 m
hm (2(2
j
t
n)
m ))
2(
j1)/ 22 j / 2 k
ck
j1 m
hm(
(2
j1 t