人教版高中数学(理科)选修几种常见函数的导数
新人教A版高中数学(选修22)1.2.1《几种常见函数的导数》word教案
1.2．1 几种常见函数的导数
一、教学目标：熟记公式(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1，( x2 )¢＝2x，
．
二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.[来
三、教学过程：
（一）公式1：(C )¢＝0 (C为常数)．
证明：y＝f(x)＝C, Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝C－C＝0,
也就是说，常数函数的导数等于0．
公式2：函数的导数
证明：（略）
公式3：函数的导数
公式4：函数的导数
公式5：函数的导数
（二）举例分析
例1. 求下列函数的导数．
⑴⑵⑶
解：⑴
⑵
⑶
练习
求下列函数的导数：
⑴y＝x5；⑵y＝x6；（3）（4）（5）
例2．求曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积。
例3．已知曲线上有两点A（1，1），B（2，2）。
求：（1）割线AB的斜率；（2）在[1，1+△x]内的平均变化率；
（3）点A处的切线的斜率；（4）点A处的切线方程
例4．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．
（三）课堂小结
几种常见函数的导数公式网]
(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1 ，( x 2 )¢＝2x，．
（四）课后作业。
人教版高中数学选修2-2《1.2.1 几个常用函数的导数》
（1）y x 2 , 1 ( 2) y x (3) y x
根据我们以上5个函数的导数，能否推广？ 若
y f ( x) x (n Q ) ，则 f ( x) nx
n *
n 1
三、导数的意义
分别画出三个函数的图像并从几何和物理 两个角度出发研究
（ 1 ）y c (2) y x (3) y x
y
O
y=x2
x
从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.
从物理的角度理解：
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
四、探究：P13
0
y y lim lim 0 0 x 0 x x 0
这就是说，常数的导数等于零 2 、求函数 y x 的导数。
解：
y f ( x x) f ( x) x x x 1, x x x y y lim lim 1 1. x 0 x x 0
根据我们求以上2个函数的导数的过程， 如何求函数的导数？
1.算比值：
y f ( x x) f ( x) x x 2.取极限： y lim y lim f ( x x) f ( x) x 0 x x 0 x
下面我们小组研究以下3个常用函数的导数。
物理意义： 物体在某一时刻的瞬时速度。
y f ( x x) f ( x) lim lim 3、函数 y=f(x) 的导数： y x 0 x x 0 x
二、几种常见函数的导数
x x x
【精品】高三数学 3.2几种常见函数的导数(第一课时)备课资料 大纲人教版选修
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是x x x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ， ∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x n∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -n ∴xy y x ∆∆='→∆0lim =-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim=-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆， xx x x x y ∆∆∆+=∆∆2sin )2cos(2, ∴x y y x ∆∆='→∆0lim =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,=-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x . ［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim0 =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率. ［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？ ［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K). 图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10co s t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ.［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数. (1)31xy =;(2)3x y =.(1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法)课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
人教版高中数学(理科)选修几种常见函数的导数1
几种常见函数的导数教学目标（1）掌握常见函数的导数的公式，能运用公式求曲线上一点处的斜率．教学重点，难点（1）常见函数的导数的公式及其运用．教学过程一．问题情境1．情境：（1）求函数)(x f y =的导数的一般方法是：①求函数改变量)()(x f x x f y -∆+=∆；②求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；③求当0x ∆→时，yx ∆∆无限趋近的值()f x '；④得结论导函数()f x '．（2）求下列函数的导函数①()f x kx b =+， ②2()f x x =， ③1()f x x =．二．学生活动①解： ()()y k x x b kx b k x ∆=+∆+-+=∆，y k x ∆=∆，当0x ∆→时，y k x ∆→∆， 所以()f x k '=．特别地，当0k =时，有()0f x '=， 当1,0k b ==时，有()1f x '=．②解： 22()(2)y x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆，2y x x x ∆=+∆∆，当0x ∆→时，2y x x ∆→∆，所以()2f x x '=．③解： 11()x y x x x x x x ∆∆=-=-+∆+∆，1()y x x x x ∆=-∆+∆，当0x ∆→时，21y x x ∆→-∆， 所以21()f x x '=-．三．建构数学1．求导公式：（1）()kx b k '+=，（2）0C '=（C 为常数），（3）1x '=，（4）2()2x x '= （5）211()x x '=-．2．基本初等函数的求导公式：（1）1()(x x αααα-'=为常数）， （2）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠，（3）11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a '==>≠，（4）()x x e e '= （5）1(ln )x x '=， （6）(sin )cos x x '=， （7）(cos )sin x x '=-．四．数学运用1．例题：例1．曲线3y x =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？ 解：设曲线3y x =上一点00(,)P x y 的切线平行于直线13-=x y ，它的斜率为3k =，∵2()3f x x '=，∴2033x =，01x =±，∴(1,1)P 或(1,1)P --． 例2．证明：过曲线1xy =上的任何一点00(,)P x y （00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数． 解：由1xy =，得1y x =，∴211()y x x ''==-， ∴0201()k f x x -'==，过点00(,)P x y 的切线方程为00201()y y x x x --=-， 令0x =得00002000112(0)x y y x y x x x +-=-+==，令0y =得220000000(0)2x x x y x x y x =--=+=，∴过00(,)P x y （00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积0012222S x x =⨯⨯=是一个常数．2．练习： 直线12y x b =+能作为函数()y f x =图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由．（1）1()f x x =；（2）()sin f x x =；（3）()x f x e =．五．回顾小结：1．常见函数的求导公式．。
高中常用函数导数表
高中常用函数导数表导数是微积分中非常重要的概念，通过求导可以求得函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们会接触到许多常用的函数，它们的导数有着特定的形式。
了解这些常用函数导数的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一份高中常用函数导数表，方便大家参考和记忆。
1. 常数函数：f(x) = C，其中C为常数导数：f'(x) = 0对于常数函数来说，其函数值始终保持不变，因此导数恒为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数导数：f'(x) = nx^(n-1)幂函数是指以x为底的n次幂的函数，它的导数是通过幂函数的指数降低1，并乘以原幂函数的系数。
3. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = a^x * ln(a)指数函数的导数是原函数的结果乘以底数a的自然对数值ln(a)。
4. 对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))对数函数的导数是1除以x乘以底数a的自然对数值ln(a)。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)导数：f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec²(x)三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系式求得，请注意tan(x)的导数是sec²(x)，其中sec(x)表示secant函数。
6. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)，f(x) = arctan(x)导数：f'(x) = 1 / √(1 - x²)，f'(x) = -1 / √(1 - x²)，f'(x) = 1 / (1 + x²)反三角函数的导数也可以通过基本的反三角函数关系式求得，请注意arctan(x)的导数是1除以1 + x²。
人教版高中数学(理科)选修对数函数与指数函数的导数
●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。
数学人教A选修2----1几种常见函数的导数1
补充：若函数f
(
x)
x2, x 1
在x 1处连续
ax b, x 1
且可导，求a, b的值
一、几种常见函数的导数
公式一 C’ = 0 (C为常数)
证明: y f (x) C
y f (x x) f (x) C C 0
y 0 x
f ' (x) C ' lim y 0 x0 x
2019/11/22
复习提问：
1、y f (x)在点x0处的导数 :
f x x f 0
f '(x ) lim x 0
x0 f '(x0 ) f ' x xx0
x0
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
2、y f (x)的导函数(导数)
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈N*)
证明：y f (x) xn
y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn
C1n
x n 1x
C
2 nxn2 (x)2来自...
C nn
(x)n
xn
C1n
x n 1x
C
2 n
例1、求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(3)
y
1 x2
练习1、P115 1，2
(4) y 3 x
例2、1已知y x3,求y x2;
2质点运动方程是S
1 t5
, 求质点在t
2时的速度;
3求曲线y sin x在点A , 1 处的切线方程
人教版高中数学(理科)选修几种常见函数的导数
几种常见函数的导数教学目的1．通过复习提问使学生巩固反函数的概念；2．使学生掌握反函数求导法那么及其推导方法；3．使学生会用反函数求导公式推导并熟练掌握四个反三角函数的求导公式．教学重点和难点反函数的求导法那么和四个反三角函数的求导公式是本节课的重点．本节课的难点是反函数的求导．教学过程一、复习提问1．什么叫函数 y＝f(x)的反函数？(请一名学生回答．因为反函数是高中一年级所学内容，学生已经生疏，可能答得不好，可由其他学生补充或纠正，最后教师应准确地给学生讲述反函数概念．另外，上一节课应布置学生预先复习反函数概念．)如果给定函数y＝f(x)的对应关系f是一一对应，那么f的逆对应f-1所确定的函数x＝f-1(y)就叫做函数y＝f(x)的反函数．强调指出：这里所说的函数关系f应是一一对应，否那么就没有逆对应f-1，也就不可能有反函数x＝f-1(y)．2．以下函数有反函数吗？假设有请写出它的反函数表示式：(1)y＝2x－3；(2)y＝x n(n为正整数)．(请一名学生板演．)n为偶数时，函数关系不是一一对应，故没有反函数．二、引入新课为求反函数的导数，自然会想到互为反函数的两个函数的导数之间有无关系，如果有，其规律是什么？为此，我们先就提问第2题的两个实例进行探讨．(1)求y＝2x－3的导数．y x'＝2．(2)求函数y＝x n(n为奇数)的导数y x'＝nx n-1．观察：由(1)可见那么(2)是否也有同样的规律呢？不妨试一试：讲解新课如果Δy≠0，上等式显然成立．事实上，当Δx≠0时，一定有Δy≠0(为什么？请学生思考并回答)．否那么不等至此，我们可以肯定上面所提出的反函数的求导法那么如下：或记作2．几何解释(图2－7)：由导数的几何意义可知'＝tanβ．y x'＝tanα，xy3．反三角函数的导数有了反函数的求导法那么，我们就可以求得反三角函数的导数了．由反函数的求导法那么有因此我们得到公式：追问：在(3)处为什么要陈述这些条件？没有这些条件可以吗？'应是x的函数，因此必须将y还原为x的表达式．因为导数yx用类似的方法，可求得另外三个反三角函数的求导公式：(这三个公式的证明由学生课下完成．)追问：题目所给的条件x＞0，在解题过程中用于何处？例4求y＝arctan2x的导数．四、课堂练习求以下函数的导数：(请两名学生分别板演1、2两题和3、4两题，其余学生做在课堂练习本上．最后教师带领全体学生订正学生所做练习题．)五、小结1．反函数求导法那么：2．根据反函数求导法那么求得四个反三角函数的求导公式：这里要注意两点：(1)反正弦函数和反余弦函数的导数不包括x＝－1和x＝1两个点；(2)反正弦函数的导数与反余弦函数的导数只差一个符号；反正切函数与反余切函数的导数也只差一个符号．六、布置作业1．试证明后三个反三角函数的求导公式．2．求以下函数的导数：3．求以下函数的导数：。
求导公式大全高中数学
求导公式大全高中数学
导数是高中数学非常重要的概念，主要用来度量函数增长率的变化。
常见的导数有如下几个：
1. 一次函数的导数：假设 y=ax+b ，则导数为： dy/dx=a 。
2. 多次函数的导数：假设 y=ax^n+bx^(n-1)+…+c ，则导数为：dy/dx=anx^(n-1)+ (n-1)bx^(n-2)+…。
3. 指数函数的导数：假设 y=a^x，则导数为： dy/dx=a^x*ln(a) 。
4. 对数函数的导数：假设 y=lnx，则导数为： dy/dx=1/x 。
5. 指数函数与对数函数的混合函数的导数：假设 y=a^x*lnx，
则导数为： dy/dx=a^x*ln(a) + a^x/x 。
6. 三角函数的导数：假设 y=sin x，则导数为： dy/dx=cos x 。
7. 反三角函数的导数：假设 y=tan x，则导数为： dy/dx=sec^2 x 。
对于更复杂的函数，可以使用定义和法则的方法来计算导数，比如极限法则、链式法则以及导数法则。
不过，求导需要一定的计算能力和数学推导能力，所以要想比较快速地掌握求导技巧，建议可以多练习一些解题题目，并参考一些宝典类教材，以加深对求导的理解。
- 1 -。
人教版高中数学选修2-2 第一章1.2.1几个常见函数的导数教学课件 (共15张PPT)
x 0
x
lim 3( x x) 3x lim 3 3 O
x
x 0
x
x 0
探究（三）: y x 幂函数型函数的导数
例3： 求函数y f ( x) x2的导数。
解：y ' lim f ( x x) f ( x)
y y x2
x0
x
( x x)2 x2
lim
x 0
x
2x x (x)2
(或记作y ')称为f ( x)的导函数，简称导数。
f ( x+x) f ( x)
f '( x) y ' lim
x0
x
2.几个常用函数的导数：
若y c(c为常数)，则y ' 0 若y x，则y ' 1
若y x2，则y ' 2x 若y x，则y ' 1
2x
若y
1 ，则y ' x
lim
x 0
x
O
x
lim(2x x) x0
2x
几何意义：
y ' 2x表示y x2图象上各点处的切线的斜率都为2x； 且随x的变化，斜率在变化；
例4：求函数y f ( x) 1 的导数。 x
解：y' lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim
x0
x
1
x x
1 x
lim
x0
x( x x x )
lim
1
x0 x x x
1 2x
归纳各题的结果
(x2 ) 2x21 2x
( 1 ) x
( x 1 )
(1) x 11
1 x2
(
【高中数学选修】常用函数的导数及导数公式PPT教学课件(推荐)
特别地，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的 导数，即
[Cf(x)]＝Cf (x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 . (uv)uvuv
公 式 4 .若 f ( x ) co s x , 则 f '( x ) sin x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ((a>0且0a)≠;1)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
人教版2017高中数学(选修1-1)3.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 探究导学课型PPT课件
【过关小练】 1.函数f(x)=0的导数是 A.0 C.不存在 ( ) B.1 D.不确定
【解析】选A.常数函数的导数为0.
2.已知函数f(x)= 1 ,则f′(-2)=
(
) D.- 1
x A.4 B. 1 4 【解析】选D.因为f′(x)=
所以f′(-2)=
C.-4
1 1 ( )＝－ 2 ， x x
-sinx (5)若f(x)=ax,则f′(x)=_____(a>0); (6)若f(x)=ex,则f′(x)=__; axlna ex
1 (7)若f(x)=logax,则f′(x)=______(a>0,且a≠1); xln a 1 (8)若f(x)=lnx,则f′(x)=___. x
【合作探究】 1.函数y=x2与y= 1 的导函数能否看作一类函数的导数?
3.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数与基本初
等函数的导数公式
【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材,了解几个常用函数的导数的得 出过程,并初步识记基本初等函数的导数公式.
【知识链接】 1.导数的公式:f′(x)=
2.用导数的定义求导数的步骤: (1)求函数的增量Δy. (2)求平均变化率
提示:函数f(x)=logax的导数公式为f′(x)=(logax)′= ,当a=e时,
上述公式就变为(lnx)′=
.
即f(x)=lnx的导数公式是f(x)=log 1 ax的导数公式的特例.
1 xln a
x
【拓展延伸】正、余弦函数导数的周期性 若令f1(x)=sinx,fk+1(x)=[fk(x)]′(k∈N*),f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx, f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,于是可知函数fk+1(x)=[fk(x)]′(k∈N*)的 结果具有周期性.
人教课标版高中数学选修2-2《几个常用函数的导数》教学课件
1 2
,
5) 4
的切线方
例2：求过点P ( 5 , 6) 作曲线y x2 的切线方程。
2
例3：对任意的x R,
f
'( x)
1 x2
,
且f (1) 0,求f (x)
O
x
图1.2 3
所以 y` lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y` 2x 表示函数 y x2 图象上点 x, y处
切线的斜率为2x
y' 2x 表明: 当x 0时,随着x 的增加, y x2减少得越来越慢; 当x 0时,随着x的增加, y x2增加得越来越快. 若y x2表示路程关于时间的函数, 则 y' 2x,可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
y 无限趋近于f '(x） x
f '(x）
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
3、导函数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导， 就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导 数 f '(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函 数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的 导函数，简称为导数，记作
4. 函数 y f x 1 的导数
因为y
x
f x x f x
11
x x x
x
x
x
x x x
1
xx xx x2 x x ,
所以
y`
lim
x0
y x
高中数学人教版选修几个常用函数的导数课件系列二
导函数 f′(x)＝___0_
f′(x)＝___α_x_α_－__1__
f′(x)＝__c_o_s___x_ f′(x)＝_－__s_in___x f′(x)＝__a_x_ln__a_(_a_>_0_) f′(x)＝__e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝___x __
f′(x)＝__1_ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x_12__
1 f′(x)＝__2___x__
二、基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
• 2．对基本初等函数的导数公式的理解
• 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的 导数公式，只要求能够利用它们求简单函数的导 数，在学习中，适量的练习对于熟悉公式是必要 的，但应避免形式化的运算练习．
自主练习
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；
②sinπ3′＝cos π3；
③若 y＝x12，则 y′＝－1x； ④－ 1x′＝2x1 x. 其中正确的个数是( )
[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等 函数，再利用公式求导．
(1)y′＝－3x－4；(2)y′＝3xln 3；
(3)y＝ x x32＝ x·x34＝x78，
∴y′＝78x－18；
(4)y′＝xln1 5；(5)y＝sin x，y′＝cos x；
(6)y′＝0；(7)y′＝1x；(8)y′＝ex.
解析： y′＝4x3，设切点坐标为(x0，y0)， 由题意知 f′(x0)＝4x03＝－12，
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几种常见函数的导数
教学目的
1．通过复习提问使学生巩固反函数的概念；
2．使学生掌握反函数求导法则及其推导方法；
3．使学生会用反函数求导公式推导并熟练掌握四个反三角函数的求导公式．
教学重点和难点
反函数的求导法则和四个反三角函数的求导公式是本节课的重点．本节课的难点是反函数的求导．
教学过程
一、复习提问
1．什么叫函数 y＝f(x)的反函数？
(请一名学生回答．因为反函数是高中一年级所学内容，学生已经生疏，可能答得不好，可由其他学生补充或纠正，最后教师应准确地给学生讲述反函数概念．另外，上一节课应布置学生预先复习反函数概念．)
如果给定函数y＝f(x)的对应关系f是一一对应，那么f的逆对应f-1所确定的函数x＝
f-1(y)就叫做函数y＝f(x)的反函数．
强调指出：这里所说的函数关系f应是一一对应，否则就没有逆对应f-1，也就不可能有反函数x＝f-1(y)．
2．下列函数有反函数吗？若有请写出它的反函数表示式：
(1)y＝2x－3；(2)y＝x n(n为正整数)．
(请一名学生板演．)
n为偶数时，函数关系不是一一对应，故没有反函数．
二、引入新课
为求反函数的导数，自然会想到互为反函数的两个函数的导数之间有无关系，如果有，其规律是什么？为此，我们先就提问第2题的两个实例进行探讨．
(1)求y＝2x－3的导数．
y x'＝2．
(2)求函数y＝x n(n为奇数)的导数
y x'＝nx n-1．
观察：由(1)可见
那么(2)是否也有同样的规律呢？不妨试一试：
讲解新课
如果Δy≠0，上等式显然成立．
事实上，当Δx≠0时，一定有Δy≠0(为什么？请学生思考并回答)．否则不等
至此，我们可以肯定上面所提出的反函数的求导法则如下：
或记作
2．几何解释(图2－7)：
由导数的几何意义可知
'＝tanβ．
y x'＝tanα，x
y
3．反三角函数的导数
有了反函数的求导法则，我们就可以求得反三角函数的导数了．
由反函数的求导法则有
因此我们得到公式：
追问：在(3)处为什么要陈述这些条件？没有这些条件可以吗？
'应是x的函数，因此必须将y还原为x的表达式．因为导数y
x
用类似的方法，可求得另外三个反三角函数的求导公式：
(这三个公式的证明由学生课下完成．)
追问：题目所给的条件x＞0，在解题过程中用于何处？
例4求y＝arctan2x的导数．
四、课堂练习
求下列函数的导数：
(请两名学生分别板演1、2两题和3、4两题，其余学生做在课堂练习本上．最后教师带领全体学生订正学生所做练习题．)
五、小结
1．反函数求导法则：
2．根据反函数求导法则求得四个反三角函数的求导公式：
这里要注意两点：(1)反正弦函数和反余弦函数的导数不包括x＝－1和x＝1两个点；(2)反正弦函数的导数与反余弦函数的导数只差一个符号；反正切函数与反余切函数的导数也只差一个符号．
六、布置作业
1．试证明后三个反三角函数的求导公式．
2．求下列函数的导数：
3．求下列函数的导数：。