【2014东营二模】山东省东营市2014届高三第二次模拟 数学理 Word版含答案

保密★启用前 试卷类型：A教学质量检测 理科数学注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间为120分钟， 满分150分．2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上．3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答，否则不予评分．第Ⅰ卷 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置． 1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN = ( )A ．）（1,0 B ．]1,0[ C ．)1,0[ D ．]1,0( 2．“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件又不必要条件 3．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于 （ ）A ．142B ．45C ．56D ．674．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A ．48cm 3 B ．98cm 3 C ．88cm 3 D ．78cm 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-6．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减．则ω的取值范围是 （ ）A ．15[,]24B ． 13[,]24C ． 1(0,]2 D ．(0,2]7．函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( )x D ．3()()()22f x x x x ππ=--8小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为 （ ） A ． 480 B ． 481 C ． 482 D ． 4839． 偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ,且在]1,0[∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方程xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(在]3,2[-上的根的个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A B C D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x ___ ____ 吨． 12．设8280128()x a a a x a x a x -=++++，若685-=+a a ，则实数a 的值为 ．13．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-0306k y x x y x ，且y x z 42+=的最小值为6，则常数k = ．14．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．15．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=, ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．17．（本小题满分12分）在对某渔业产品的质量调研中，从甲，乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）． 下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品．（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲，乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ．21006542098874286438210乙地甲地18．（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由． （Ⅲ）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．19．（本小题满分12分）设数列{}n a 为等差数列，且145=a ，720a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，132(2,)n n S S n n N -=+≥∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （Ⅱ）若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=,n T 为数列{}n c 的前n 项和，n T m <对*n N ∈恒成立，求m 的最小值．20．（本小题满分13分）如图，已知椭圆134:22=+y x C ，直线l 的方程为4=x ，过右焦点F 的直线'l 与椭圆交于异于左顶点A 的Q P ,两点，直线AP ，AQ 交直线l 分别于点M ，N ． （Ⅰ）当29=⋅AQ AP 时，求此时直线'l 的方程； （Ⅱ）试问M ，N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）设函数ax xxx f -=ln )(． （Ⅰ）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围．教学质量检测 理科数学参考答案一．选择题：DADBD ACCCB 二．填空题：11．20； 12．21； 13．－3； 14．43π； 15．21三．解答题：16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A B A 6cos 6cos 22cos 2cos ππ 得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭……………………………………………………………3分 化简得23sin =B ………………………………………………………………………………………………5分 故323ππ或=B ．………………………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为b a ≤，所以3B π=，……………………………………………………………………………７分由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，得C c A a sin 2,sin 2==， 故A A A A C A c a cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-π6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ……９分因为b a ≤，所以323ππ<≤A ，266πππ<-≤A ，……………………………………………………10分 所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3,236sin 321πA c a ． ……………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）甲厂抽取的样品中优等品有7件，优等品率为710，……………………………………2分 乙厂抽取的样品中优等品有8件，优等品率为84105=．…………………………………………………4分 （Ⅱ）ξ的取值为1，2，3．………………………………………………………………………………6分12823101(1)15C C P C ξ⋅===，21823107(2)15C C P C ξ⋅===，157)3(3100238=⋅==C C C P ξ……………………9分所以ξ的分布列为…………………………………………………………………………………………………………………10分故的数学期望为17712123.1515155Eξ=⨯+⨯+⨯=（） …………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：方法一：（Ⅰ）∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD ， ∴BD ⊥平面APC ………………………………………………………2分 ∵FG ⊂平面PAC ，∴BD ⊥FG ……………………………………………………………………3分 （Ⅱ）当G 为EC 中点，即AG=34AC 时，FG ∥平面PBD ，……………………………………………4分 连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE ，………………………………………………5分 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故FG ∥平面PBD ．……………………………………………6分 （Ⅲ）作BH ⊥PC 于H ，连接DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ，∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 是二面角B －PC －D 的平面角．即,32π=∠BHD ………………………………………………………………………………………7分 ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………………………………8分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π，tan BEBHE EH∴∠==而BE EC =，,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC …………………………………………10分,22tan =∠∴PCA ……………………………………………………………………………………11分 ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22………………………………………………………12分 方法二：（Ⅰ）以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E …………1分 ∵11(1,1,0),(,,)222a BD FG m m =-=---，110022BD FG m m ⎛⎫⎛⎫⋅=--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………2分 ∴BD ⊥FG ………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而11,,22EP a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由F G E P λ=，可得：11222m a a λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12λ=-，34m =，…………………………………………………………………………………5分 33,,044G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，34AG AC =，故当34AG AC =时，FG//平面PBD ………………………6分（Ⅲ）设平面PBC 的一个法向量为(),,u x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC ⎩⎨⎧==-+∴0y az y x ，取1z =，得)1,0,(a =，……………………8分 同理可得平面PDC 的一个法向量)1,,0(a =，设,所成的角为θ，则,21|32cos||cos |==πθ ,21111,21||||22=+⋅+∴=a a v u 1=∴a …………………………………………10分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22…………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 数列{}n a 为等差数列，公差，易得21=a ， 所以 13-=n a n ……………………………………………………………………………………1分 由132n n S S -=+，得32n n n S S b =-+，即22n n b S =－， 所以21222()b b b =-+，又123b =2分 由132n n S S -=+， 当3n ≥时,得1232n n S S --=+, 两式相减得：1123()n n n n S S S S ----=-，即13n n b b -=，所以)3≥…………………4分，所以{}n b 是以……………5分6分8分9分11分∵nT m<对n N+∈恒成立，∴2≥m∴m的最小值是2………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）①当直线PQ的斜率不存在时，由)0,1(F可知PQ方程为1=x代入椭圆134:22=+yxC得)23,1(),23,1(-QP又)0,2(-A),23,3(),23,3(-==∴274AP AQ⋅=不满足……………………………………2分②当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为)0)(1(≠-=kxky代入椭圆134:22=+yxC得01248)43(2222=-+-+kxkxk…………………………3分设),(),,(2211yxQyxP得2221222143124,438kkxxkkxx+-=+=+…………………………4分222121221221439)1()1)(1(kkxxxxkxxkyy+-=++--=--=2943274)(2)2)(2(222121212121=+=++++=+++=⋅kkyyxxxxyyxx26±=∴k故直线'l的方程；()126-±=xy………………………………………………6分（Ⅱ）AP 的方程为11(2)2y y x x =++与l 的方程：4x =联立 得：116(4,)2y M x + 同理得226(4,)2y N x +…………………………………………………8分12121212126636222()4M N y y y y y y x x x x x x ∴⋅=⋅=+++++ ①k 不存在时，3336()22912(11)4M N y y ⋅⋅-⋅==-+++………………………………………………9分 ②k 存在时，2222223243494121643434M N k k y y k k k k -+⋅==--++++………………………………………12分M ，N 两点的纵坐标之积为定值9- …………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得x ＞0，x ≠1．因f (x )在(1)+∞，上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1)+∞，上恒成立． ………………1分所以当(1)x ∈+∞，时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x xx -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-，………………………………2分 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-． 所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………………………………………4分（Ⅱ）命题“若存在212,[,],x x e e ∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有()min max ()f x f x a '+≤”． …………………………………………………5分 由（Ⅰ），当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有min 1()4f x ≤”． ………………………………………………6分①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[,]e e 上为减函数，则min ()f x =2221()24e f e ae =-≤，故21124a e -≥． ……………………………………………8分②当a <14时，由于'2111()()ln 24f x a x =--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（ⅰ）0a -≥，即0a ≤，'()0f x ≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是，min 1()()4f x f e e ae e ==-≥>，矛盾．……………………………………………10分 （ⅱ）0a -<，即104a <<，由'()f x 的单调性和值域知， 存在唯一20(,)x e e ∈，使'()0f x =，且满足：当0(,)x e x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数； 所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(,)x e e ∈…………………………………………12分 所以，2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾．………………………13分 综上，得21124a e≥-………………………………………………………………………………14分。