第八章二重积分习题答案

第八章二重积分习题答案

练习题

1.设D

：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义

计算d D

x y

解：d D

x y

=20

r

d π

θ⎰⎰

=222

01()2d a r π

θ=--⎰⎰

2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22

1

26d rdr π

θπ=⎰

⎰

练习题

1.2d D

x σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.

解：2d D

x σ⎰⎰=22

222301

001515

cos [cos2]84

d r dr d d πππθθθθθπ=

+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd y

x D

)3

41(--

⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y

x D

)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰

=2

22

(1)84x dx --=⎰

3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.

解：

2

2

2

42

20

2320(42)

28

(2)|33

x x x

D

A dxdy dx dy x x x x -===-=-

=⎰⎰⎰⎰⎰

4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22

22220

(4)(4)48D

V x y d d r rdr d π

π

σθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰

习 题 八

一．判断题

1.d D

σ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）

2.二重积分 100f(x,y)d y

dy x ⎰⎰交换积分次序后为1

1

f(x,y)d x

dx x ⎰

⎰ （×）

二．填空题

1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =

⎰⎰

12π12π.

2.二重积分d d D

xy x y ⎰⎰的值为

112

，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.

112

3.二重积分10

(,)y

dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为

1

1

(,)x

dx f x y dy

⎰

⎰ . 11

(,)x

dx f x y dy ⎰⎰

4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.0

5.

交换积分次序

1

d (,)y f x y dx ⎰

=

2

1

1

(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰

.

2

1

1

(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰

6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22

1D

dxdy

x y ++⎰⎰

=_ln 2πln2π

三. 选择题

1.设1ln D

I =⎰⎰（x y +）d d x y ，2D

I =⎰⎰（x y +）2d d x y ，3D

I =⎰⎰（x y +）d d x y ，其中D 是由

直线0x =，0y =，12

x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）.

2.设 1

1

2 0 d sin d y I y x x =⎰⎰，则I 等于（ A ）.

A

)1cos 1(2

1

- B 1cos 1- C 1sin 1+ D 积不出来

3.设D

f ⎰⎰（x ，y ） 1

1 0

d d d x

x y x f -=⎰⎰

（x ，y ）d y ，则改变其积分次序后应为（ D ）.

A 1 1

0 0d x y f -⎰⎰（x ，y ）d x

B 1 1 0 0

d x

y f -⎰⎰（x ，y ）d x

C 1

1

d y f ⎰⎰（x ，y ）d x D . 1

1 0

d y

y f -⎰⎰

（x ，y ）d x

4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B

）时D

π=

A 1 B

C

D

四 计算二重积分

1.计算二重积分2D

dxdy ⎰⎰，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.

解：2dxdy =⎰⎰22

1

26d rdr π

θπ=⎰

⎰

2.计算二重积分(6)D

x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。

解：150

(6)(6)x

x

D

x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰

1

23100

76767633

x dx x ==

=⎰

解：

1

20

3dy xy dx ⎰

123033()22y y dy =-⎰3410

3111

()2348

y y =-= 4.()D

x y d σ+⎰⎰计算二重积分，

2,1,D y x x x ==其中由曲线轴围成. 解：

2

1

()()x o

D

x y d dx x y dy σ+=+⎰⎰⎰⎰

1

344510

1117

()()241020

x x dx x x =+

=+=⎰ 解：

11

0xy xy

o D

xe d dx xe dy σ=⎰⎰⎰⎰

1

100

(1)()2x x e dx e x e =-=-=-⎰ 6.

x y

D

e

dxdy +⎰⎰其中区域 D 是由 0,1,0,1x x y y ==== 围成的矩形；

解：

21

1

)1(-==⎰⎰⎰⎰+e dy e dx e dxdy e

o

y x

D

y

x

解：

2

2

2

40

x x x

D

xdxdy dx xdy -=⎰⎰⎰

⎰2

23342

0418(43)()

32

3

x x dx x x =-=-=

⎰ 8. ()D

x y d σ+⎰⎰计算二重积分，1,1D y x ≤≤其中由曲线围成.

解：

1

1

1

1

()()D

x y dxdy dx x y dy --+=+⎰⎰⎰

⎰

1

2

1

1

1

20xdx x --===⎰

解：

12220

x

D

x ydxdy dx x ydy =⎰⎰⎰⎰1

45

10

2225

5

x dx x ==

=

⎰ 10.2,D

xy dxdy ⎰⎰计算二重积分

()202

p

y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。

解：

2

22

2p

D

xy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰

3537222

2

2

5

20

0243721

p p

p p x dx p x ===⎰