03-第三节 常见的圆周运动问题

4.3 一般性的圆周运动问题

一、考点聚焦

10．匀速率圆周运动．线速度和角速度．周期．圆周运动的向心加速度R v 2 Ⅱ 二、知识扫描 1．变速圆周运动特点： （1）速度大小变化——有切向加速度、速度方向改变——有向心加速度．

故合加速度不一定指向圆心．

（2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心．

2．遵守的动力学规律

（1）向心加速度：a =r

v 2

或a =ω2r （2）力和运动的关系：R f m R T

m R m R v m ma F 2222

2244ππω=====向向 3．处理圆周运动动力学问题般步骤

（1）确定研究对象，进行受力分析，画出运动草图

（2）标出已知量和需求的物理量

（3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合

（4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．

4．实例：典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动

（1）如图4-3-1和4-3-2所示，没有物体支撑的小球，在竖直面内作圆周运动通过最高点 ①临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点v =Rg ．②小球能通过最高点的条件是在最高点v >Rg ．③小球不能通过最高点的条件是在最高点v

（2）如图4-3-3所示，球过最高点时，轻质杆对小球的弹力情况是①小球在最高点v =0时，

图4-3-1 图4-3-2 图4-3-3

是支持力．②小球在最高点0Rg 时，是拉力．

三、好题精析

例1．飞行员驾机在竖直平面内作圆环特技飞行，若圆环半径为1000m ，飞行速度为100m/s ，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍．（g =10m/s 2）

[解析]如图4-3-4所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg 和向上的支持力T 1，合力是向心力即F n1=T 1-mg ；在最高点时，飞行员受向下的重力和向下的压力T 2，合力产生向心力即F n2=T 2+mg ．两个向心力大小相等且F n = F n1=F n2=mv 2/r 则此题有解：

因为向心力F n = mv 2/r

在最低点：T 1-mg = mv 2/r 则T 1=mv 2/r +mg

解得：T 1/mg =v 2/（rg ）+1=2

在最高点：T 2+mg = mv 2/r 则T 2=mv 2/r -mg

解得：T 2/mg =v 2/（rg ）-1=0

即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍，

飞至最高点时，飞行员对座椅无压力．

[点评]竖直面内的非匀速圆周运动，在列动力学方程时，要按照牛顿第二定律列方程的步骤进行，受力分析是关键，列方程只

要在法线方向上用牛顿第二定律．公式F =mV 2/R 是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力的法向分力．

例2．如图4-3-5所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 以不同速率进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部的压力为0．75mg ．求A 、B 两球落地点间的距离．

[解析]两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这

两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A 、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．

对A 球：3mg +mg =m R

v A 2 v A =gR 4 对B 球：mg －0．75mg =m R v B 2 v B =gR 41 s A =v A t =v A g

R 4=4R 图4-3-4

C O B A 图4-3-5

s B =v B t =v B g

R 4=R （2分）∴s A －s B =3R [点评]竖直面内的非匀速圆周运动往往与其它知识点结合起来进行考查，本题是与平抛运动相结合，解这类题时一定要先分析出物体的运动模型，将它转化成若干个比较熟悉的问题，一个一个问题求解，从而使难题转化为基本题．本题中还要注意竖直面内的非匀速圆周运动在最高点的两个模型：轻杆模型和轻绳模型，它们的区别在于在最高点时提供的力有所不同，轻杆可提供拉力和支持力，而轻绳只能提供拉力；本题属于轻杆模型．

例3．一小球质量为m ，用长为L 的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O 点，在O 点正下方L /2处钉有一颗钉子，如图4-3-6所示，将悬线沿水平方向拉直无初速释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间 A ．小球线速度没有变化

B ．小球的角速度突然增大到原来的2倍

C ．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍

D ．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍

[解析]在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，沿切

线方向小球的加速度等于零，因而小球的线速度不会发生变化，故

A 正确；在线速度不变的情况下，小球的半径突然减小到原来的一半，由v =ωr 可知角速度增大为原来的2倍，故

B 正确；由a =v 2/r ，可知向心加速度突然增大到原来的2倍，故

C 正确；在最低点，F -mg =ma ，可以看出

D 不正确．

[点评]本题中要分析出悬线碰到钉子前后的瞬间物理量的变化情况，问题就很好解了，因而，要根据题目的条件分析物理过程后再选用公式，不能随意照套公式．

例4．在质量为M 的电动机上，装有质量为ｍ的偏心轮，偏心轮转动的角速度为ω，当偏心轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零；则偏心轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大? [解析]设偏心轮的重心距转轴ｒ，偏心轮等效为用一长为ｒ的细杆

固定质量为ｍ(轮的质量)的质点，绕转轴转动，如图4-3-7，轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时偏心轮对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即：

F =M ｇ ①

根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F =M ｇ，其向心力为：

F +mg =m ω2r ②

由①②得偏心轮重心到转轴的距离为：

r =(M +m )g /(m ω2) ③

当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大．

对偏心轮有：F '-mg =m ω2r ④

图4-3-6 O L 图4-3-7 m r O