统计学-logistic回归分析

( 0 1 x1 ) ( 0 x0 ) 1 x1
OR e

P odds1 1 /(1 P 1) OR P0 /(1 P0 ) odds0
Y 发病=1 不发病=0
危险因素 x= 1 x= 0 30（a） 10（ b） 70（c） 90（d） a+c b+d 危险因素 x= 1 x= 0 p1 p0 1-p1 1-p0
i
事件发生率很小，OR≈RR。
二、 Logistic回归模型
• Logistic回归的分类
二分类 多分类
条件Logistic回归 非条件Logistic回归
• Logit变换
也称对数单位转换
P logit P= ln 1 P
流行病学概念：
设P表示暴露因素X时个体发病的概率， 则发病的概率P与未发病的概率1-P 之 比为优势（odds）， logit P就是odds 的对数值。
• 多个变量的logistic回归模型方程的线性表达：
P logit(p) ln = 0 1 X 1 2 X 2 m X m 1 P
或
p( y 1/ x1 , x2 xk )
1 1 e
( 0 1 xk .... k xk )
三、参数估计
• 最大似然估计法 （Maximum likehood estimate） 似然函数：L=∏Pi 对数似然函数： lnL=∑(ln P)=ln P1+ln P2+…+ln Pn 非线性迭代方法—— Newton-Raphson法
四、参数检验
• 似然比检验（likehooHale Waihona Puke Baidu ratio test）
0
0 x
logistic回归模型方程的线性表达
对logistic回归模型的概率（p）做logit变 换，
p log it ( p) ln( ) 1 p
方程如下：
线性 关系
y log it ( p) 0 1 x1
Y～（-∞至+∞）
截距（常数）
回归系数
在有多个危险因素（Xi）时
• 分析因素xi为等级变量时，如果每个等级的 作用相同，可按计量资料处理：如以最小或 最大等级作参考组，并按等级顺序依次取为 0，1，2，…。此时， e(bi) 表示xi增加一个等 级时的优势比， e(k* bi)表示xi增加k个等级时 的优势比。如果每个等级的作用不相同，则 应按多分类资料处理。 • 分析因素xi为连续性变量时， e(bi)表示xi增加 一个计量单位时的优势比。
九、logistic回归的应用举例
• 输精管切除术与动脉粥样硬化疾病的研究 • 1．问题的描述 （1）输精管切除术是否与动脉粥样硬化疾病 有关？ （2）如果存在联系，与其他已知的危险因素 相比，输精管切除术的相对重要性有多大？ （3）哪些男性亚群在输精管切除术以后发生 动脉粥样硬化疾病的可能性特别大？
八、logistic回归的应用
1.疾病（某结果）的危险因素分析和筛选
用回归模型中的回归系数（β i）和OR说明 危险因素与疾病的关系。
适用的资料：
前瞻性研究设计、病例对照研究设计、 横断面研究设计的资料。
三类研究计算的logistic 回归模型的β意义是一致。仅常 数项不同。（证明略）
2.校正混杂因素，对疗效做评价 在临床研究和疗效的评价，组间某些因素构成 不一致干扰疗效分析，通过该法可控制非处 理因素，正确评价疗效。 3.预测与判别 预测个体在某因素存在条件下，发生某事件 （发病）的概率，为进一步治疗提供依据。
2.模型中参数的意义
P ln = 0 1 X 1 1 P
Β0（常数项）：暴露因素Xi=0时，个体发病 概率与不发病概率之比的自然对数比值。
P( y 1 / x 0) ln 1 P( y 0 / x 0) = 0
Xi=1与Xi=0相比，发生某结果（如发病）优势比 的对数值。
i
的含义：某危险因素，暴露水平变化时，即
P 1 /(1 P 1) ln OR ln P0 /(1 P0 ) log itP 1 log itP 0
P1（y=1/x=1）的概率 P0（y=1/x=0）的概率
Logistic回归方法
该法研究是 当 y 取某值（如y=1）发生的概率（p）与 某暴露因素（x）的关系。
p( y 1/ x) f ( x),即p f ( x)
P（概率）的取值波动0～1范围。 基本原理：用一组观察数据拟合Logistic模型， 揭示若干个x与一个因变量取值的关系，反映y 对x的依存关系。
通过比较包含与不包含某一个或 几个待检验观察因素的两个模型的对 数似然函数变化来进行，其统计量为G （又称Deviance）。 G=-2(ln Lp-ln Lk) 样本量较大时， G近似服从自由 度为待检验因素个数的２分布。
• 比分检验（score test）
以未包含某个或几个变量的模型为基础， 保留模型中参数的估计值，并假设新增加 的参数为零，计算似然函数的一价偏导数 （又称有效比分）及信息距阵，两者相乘
2.两值因变量的logistic回归模型方程
• 一个自变量与Y关系的回归模型 如：y：发生=1,未发生=0 x 有=1无=0， 记为p（y=1/x）表示某暴露因素状态下，结 果y=1的概率（P）模型。
或
e P( y 1 / x) 0 x 1 e
1 p( y 1 / x) 1 exp[ ( 0 x)]
• Logistic回归模型 Logistic回归的logit模型
logit P=b0 b1 x1 b2 x2 bk xk
Logistic回归模型
( b0 b1 x1 b2 x2 bk xk )
e P ( b0 b1 x1 b2 x2 bk xk ) 1 e
为计算方便，通常向前选取 变量用似然比或比分检验，而向 后剔除变量常用Wald检验。
七、条件Logistic回归
• 对配对/比调查资料，应该用条件 Logistic回归分析。 对于配比资料，第i个配比组 可以建立一个Logistic回归：
logit P=bi b1 x1 b2 x2 bk xk
Logistic回归系数的意义
• 分析因素xi为二分类变量时，存在（暴 露）xi ＝１，不存在（未暴露）xi ＝０， 则Logistic回归中xi的系数bi就是暴露与 非暴露优势比的对数值．即 OR=exp(bi)=e (bi)
• 分析因素xi为多分类变量时，为方便起 见，常用1，2，…，k分别表示k个不 同的类别。进行Logistic回归分析前需 将该变量转换成k-1个指示变量或哑变 量（design/dummy variable），这样指 示变量都是一个二分变量，每一个指 示变量均有一个估计系数，即回归系 数，其解释同前。
e p1 P( y 1/ x 1) 0 x 1 e
0 x
e P( y 0 / x 1) 1 1 p 1 0 x 1 e e p0 P( y 1/ x 0) 0 1 e 0 e P( y 0 / x 0) 1 1 p0 0 1 e
Y 发病=1 不发病=0
a p1 ac
有暴露因素人群中发病的比例
多元回归模型的的 i 概念
P logit(p) ln = 0 1 X 1 m X m 1 P
i 反映了在其他变量固定后，X=1与x=0相比
发生Y事件的对数优势比。 回归系数β与OR X与Y的关联 • β=0，OR=1， 无关 β＞0，OR＞1 ， 有关，危险因素 β＜0，OR＜1， 有关，保护因子
便得比分检验的统计量S 。样本量较大时，
S近似服从自由度为待检验因素个数的 ２分布。
• Wald检验（ wald test）
即广义的t检验，统计量为u
bi u= s bi
u服从正态分布，即为标准正态离差。
Logistic回归系数的区间估计
bi u Sbi
上述三种方法中，似然比检验 最可靠，比分检验一般与它相一致， 但两者均要求较大的计算量；而 Wald检验未考虑各因素间的综合 作用，在因素间有共线性时结果不 如其它两者可靠。
第十六章 logistic回归分析
logistic回归为概率型非线性回归 模型，是研究分类观察结果(y)与 一些影响因素(x)之间关系的一种 多变量分析方法
问题提出：
医学研究中常研究某因素存在条件下某结果是否 发生？以及之间的关系如何？ 因素（X） 疾病结果（Y） x1，x2，x3…XK 发生 Y=1 不发生 Y=0 例：暴露因素 冠心病结果 高血压史(x1)：有 或无 有 或 无 高血脂史(x2)： 有 或 无 吸烟(x3)： 有或无
在患病率较小情况下，OR≈RR
• Logistic回归中的常数项（b0）表示， 在不接触任何潜在危险／保护因素条 件下，效应指标发生与不发生事件的 概率之比的对数值。 • Logistic回归中的回归系数（ bi ）表示， 某一因素改变一个单位时，效应指标 发生与不发生事件的概率之比的对数 变化值，即OR的对数值。
e
( bi u Sbi )
六、 Logistic回归分析方法
基本思想同线性回归分析。
从所用的方法看，有强迫法、前进法、 后退法和逐步法。在这些方法中，筛选变量 的过程与线性回归过程的完全一样。但其中 所用的统计量不再是线性回归分析中的F统计 量，而是以上介绍的参数检验方法中的三种 统计量之一。
多因素Logistic回归分析时， 对回归系数的解释都是指在其它 所有自变量固定的情况下的优势 比。存在因素间交互作用时， Logistic回归系数的解释变得更 为复杂，应特别小心。
根据Wald检验，可知Logistic回归 系数bi服从u分布。因此其可信区间为
bi u Sbi
进而，优势比e(bi)的可信区间为
五、回归系数的意义
单纯从数学上讲，与多元线性 回归分析中回归系数的解释并无不 同，亦即bi表示xi改变一个单位时， logit P的平均变化量。
流行病学中的一些基本概念：
相对危险度（relative risk）: RR=P1/P2
比数 比数比
Odds=P/(1-P) OR=[P１/(1-P１)]/[P２/(1-P２)]
一、基本概念
1.变量的取值 logistic回归要求应变量（Y）取值为分类变量 （两分类或多个分类）
1 Y 0 出现阳性结果 (发病、有效、死亡等） 出现阴性结果 (未发病、无效、存活等）
自变量（Xi）称为危险因素或暴露因素，可为连续 变量、等级变量、分类变量。 可有m个自变量X1， X2，… Xm
• 假设自变量在各配比组中对结果变量 的作用是相同的，即自变量的回归系 数与配比组无关。
• 配比设计的Logistic回归模型
logit P=b1x1 b2 x2 bk xk
其中不含常数项。
• 可以看出此回归模型与非条件Logistic 回归模型十分相似，只不过这里的参 数估计是根据条件概率得到的，因此 称为条件Logistic回归模型。 • 条件Logistic回归的回归系数检验与分 析，和非条件Logistic回归完全相同。
研究问题可否用多元线性回归方法？
ˆ y a b x b x b x 1 1 2 2 m m 1.多元线性回归方法要求 Y 的取值为计量
的连续性随机变量。 2.多元线性回归方程要求Y与X间关系为线 性关系。 ˆ 不能回答“发生与 3.多元线性回归结果 Y 否” logistic回归方法补充多元线性回归的不足
模型描述了应变量p与x的关系
0 x
P概率 1 p( y 1) 1 1 exp[ ( 0 x)]
z 0 1 x
0.5
Β为正值，x越 大，结果y=1发 生的可能性（p） 越大。
-3
-2
-1
0
1
2
3
Z值
图16-1 Logistic回归函数的几何图形
几个logistic回归模型方程