第十五章运筹学课件层次分析法

ek｝是收敛的，记其极限为e.且 a2 … an)
于是取权重系数wi=ai
例1：评价影视作品
• 在电视节上评价影视作品，用以下三个 评价指标：
•
x1表示教育性
•
x2表示艺术性
•
x3表示娱乐性
• 有一名专家经成对，赋值：
• x1/x2=1 x1/x3=1 /5 x2/x3=1/3
• 于是得到逆对称矩阵
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤
成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
C :C a
i
j
ij
A
(aij )nn , aij

0,
a ji

1 aij
选 择
1 1/ 2 4 3 3
（3）组合权向量
0.595 (3) 0.276
0.128
0.082 0.236 0.682
0.299 0.245
0.455
0.429 0.429 0.142
0.634 0.192 0.174
0.264
0.167 0.167 0.667
0.476 0.054 0.098
权向量C对U 0.264 0.476 0.054 0.098 0.109
5.072 0.018 0.016
准则C
方案P
权 向
P1
量 P
P2
对 C
P3
C1 C2 C3 C4 C5
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167 0.122 0.682 0.142 0.174 0.667
wi0 , wi 1
i 1
对权重系数的量化过程
（1）成对比较 从 x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献
（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”
0.788 3

0.172 0.665
0.467
0.155
e2 0.565 , e2 3.014, e2 0.184
1.991
0.661
0.471
0.156
e3 0.559 , e3 3.018, e3 0.185
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5
B1 1/ 2 1
2

1/ 5 1/ 2 1
1 1/ 3 1/8
B2


3
1
1/ 3
8 3 1
…Bn
最大特征根 1
2
… n
权向量
w1(3)
w2(3)
… wn(3)
（2）考虑第3层对第2层 由1–9尺度得
0.58
组合权向量 第3层对第2层的计算结果
k1
0.595
w(3) 0.277 k 0.129
k
3.005
2 0.082 0.236 0.682
3.002
3 0.429 0.429 0.142
3
4 0.633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
3.009 3
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110

2
1
7
5
5

A~成对比较阵
旅 A 1/ 4 1/ 7
游 地

1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
1 2
1/ 2 1
1/ 3
1

A是正互反阵
3 1 1
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
成对比较阵和权向量
1 1/ 2 4
成对比较的不一致情况
A


Saaty的结果如下
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR<0.1时，通过一致性检验
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根=5.073
w1
w1

w1
w2
w2
w2
A


w1
w2


w1
wn

w2
wn


的正互反阵A称一致阵，如

wn
wn

wn

w1
w2
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
• A的归一化特征向量可作为权向量
CI k 0.003 0.001 0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
旅游决策问题计算结果
λ
(2) m
CI(2)
CR(2)
1 2 5
1 1 3 1 8
1 1 3
B1 1 2
1
2 B2 3
1
1 3
B3


2
1 3
1 5 1 2 1
8 3 1
1 3 1 3 1
1 3 4
1 1 1 4
B4 1 3 1 1 B5 1 1 1 4
当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
（2）建立逆对称矩阵
由xi/xj建立n阶方阵A (3) 迭代
按下列方法求向量迭代序列：
e0=( 1/n 1/n … 1/n)T
e’k=Aek-1 || e’k||为Aek-1 的n个分量之和
ek= e’k / || e’k|| , k=1,2, …
数列｛ 记e=(a1
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
w2
Hale Waihona Puke Baidu
A


w1
w2


w1
wn

w2
wn


w (w1, w2 ,wn )T ~ 权向量

w n
w n

w n

w1 w2
wn
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n
组合权向量
P对U 0.299 0.245 0.455
λ
(3) m
3.006 3.002 3 3.009 3
CI(3) 0.003 0.001 0 0.005 0
CR(3)
RI(3)
0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
0.019
再谈层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2
1
7

a 1/ 2 (C :C ) 一致比较
12
12

不一致
a 4 (C :C )
13
13
a23 8 (C2 : C3)
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
W ( 1) w1, w2 ,wn
令aij wi / wj
w1
w1

w1
w2
w2
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
“选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。
• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。
1.998
0.659
0.473
0.156
e4 0.561 , e4 3.028, e4 0.185
1.994
0.659
• 由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是 w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659
层次分析法简介
一、层次分析法基本原理
分解
建立
实际问题
多个因素
层次结构
确定 诸因素的相 计算 对重要性
判断
权向量
综合决策
二、层次分析法基本步骤
一、确定权系数
设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。 其线性组合：
y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。
w1,w2,
… n
wn是权重系数，其满足：
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。
层次分析法简介
• 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪 70年代提出的一种决策方法。它是将半 定性、半定量问题转化为定量问题的有 效途径，它将各种因素层次化，并逐层 比较多种关联因素，为分析和预测事物 的发展提供可的定量依据。
• 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。 主要用于确定综合评价的权重系数。层 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
• 相应的综合评价公式是
• Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 • 如果用同样的分制来给作品的三个指
标评分，由以上公式算出的便是作品综 合评分y。
例2. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、费用、居 住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
1 4 1 1
4 4 1
(3) max
(3.006, 3.002, 3, 3.009, 3)
权向量矩阵
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 W (3) 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167
0.128 0.682 0.142 0.174 0.667
Ci
:
C
的重要性
j
相同
稍强
5 6 78 9 强 明显强 绝对强
aij = 1,1/2, ,…1/9 ~ Ci : C j 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。
0.109
（4）组合一致性检验
0.264 0.476
CI (3) 0.003 0.001 0 0.005 00.054 0.00176
0.098 0.109
RI (3) 0.58 CR(3) 0.016 0.00176 0.019 0.1
对于不一致(但在允许范围内)的成对
比较阵A，建议用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
• 便于定性到定量的转化：
尺度 aij
1 2 34
1
3
e0


1 3
1

3

1 1 1

5
A


1
1
1 3
5 3 1




0.733 e1 Ae0 0.788 3
e1 4.511
0.733 0.162
1
e1

4.511
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
的权向量为 w( 2)

(w1(
2)
,,
w( 2 ) n
)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2

2
1
A 1/ 4 1/ 7

1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5

1 1/ 2 1/ 3
2
1
1

3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1