逻辑函数的运算和卡诺图
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交换率 结合率 分配率 吸收率 0－1率 互补率 重叠率 非非率 反演率
A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A(B+C)=AB+AC A+AB=A A+1=1,A+O=A
AB=BA A(BC)=(AB)C A+(BC)=(A+B)(A+C) A(A+B)=A A· 0=0,A· 1=A
A A 1
3 2
ABCD ABC D ABC
m4+m5 m7+m6
ABC D ABCD ABC ABCD ABC D ABC
A
AB
11 m 3
ABCD ABCD ABCD ABCD
m7
m15 m11
2 6 从上述分析中可以看出： 二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子 。 四个“0”维块相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。
数字电路中广泛采用二进制，二进制的特点是逢二进一，
用0和1表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成 八进制、十进制和十六制。 数字电路的输入变量和输出变量之间的关系可以用逻辑代 数来描述，最基本的逻辑运算是与运算、或运算和非运算。
本章小结
逻辑函数有四种表示方法：真值表、逻辑表达式、逻 辑图和工作波形图。这四种方法之间可以互相转换，真值
卡诺图化简原则：
1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。 2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。 3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。 4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。
有“约束”的逻辑函数的化简
“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约”的概 念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的 (随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许） 出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关 项或任意项，在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中 用∑d（ ）表示。
表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。
而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时， 应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻 辑函数。
本章小结
本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法是利用逻 辑代数的公式和规则，经过运算，对逻辑表达式进行化简。
它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结
（1）常量之间的关系
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 1=0
Байду номын сангаас
或
请特别注意 与普通代数 不同之处
这些常量之间的关 系，同时也体现了逻辑 代数中的基本运算规则， 也叫做公理，它是人为 规定的，这样规定，既 与逻辑思维的推理一致， 又与人们已经习惯了的 普通代数的运算规则相 似。
（2）常量与变量之间的关系
定理：任何逻辑函数 y都可以用最小项之和的形式表示。 而且这种形式是唯一的。 1、 真值表法：
将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最 小项之和。 例：将F ABC BC AC表示为最小项之和的形式。 解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,
AC缺变量B, BC和AC不是最小项。 所以 F 是一般与－或式，不是最小项之和的标准形式。
01
11 10
01
11
ABCD ABC D
10
1 1 1 1 1 1 1 1
m13 m12
ABC 是 m13 和 m12 的公因子 所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。
同理：在 A=0， B=D=1 所对应的区域填1。
在 A=1，C=1 所对应的区域填1。
以四变量为例说明卡诺图的化简方法: 若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。 “0”维块： 表示四个变量一个也没有被消去。 AB 将相邻“0”维块相加，可以将两 00 01 11 10 CD 项合并为一项，并消去一对因子。 ABC D ABC D ABC D ABC D 00 相邻项 “0”维块相加 “1”维块 “2”维块 “3”维块 m0 m4 m12 m8 m0+m1 ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D ABCD ABC 01 m1 m5 m13 m9 AB m +m
果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运 算技巧。图解化简法是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其 优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以 上），则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时， 将两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。
解： F ABC A ABC B B AC
ABC ABC ABC ABC ABC
m0 m7 m3 m6 m4
m 0.3.4.6.7
原取1 反取0
卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图 来表示逻辑函数？ A B C F m 真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺 图。方法是：把真值表中输出为 1 的最 小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ， 把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺 图对应小方格内填 0 。 填有1 的所有小 方格的合成区域就是 该函数的卡诺图。 例：已知真值表为
列：F 真值表：
ABC ABC BC AC F
F ABC BC AC
由最小项性质①、知：每 个最小项等于1的自变量取值是 惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变 量组合相加即可。其输入变量组 合中，1表示原变量 ,0表示反 变量
摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为 最小项之和的形式。 例1： F ABC BC AC
“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或“无关项”、“禁 止项”
§2.5.6 有“约束”的逻辑函数的化简
例 2.5.3：如图电路，A、B、C、D 是十进制数 x 的 8421BCD 编码， 当 x≥5 时输出 F 为1。求 F 的最简 与或表达式。 A 解：列真值表 B F C 画卡诺图 D
证：AB AC BC BCDE AB AC BC 1 DE
积项，则第三个乘积 项是多余的。可消去
AB AC BC AB AC
交叉互换律：
P14六式-2
A C A B A A AB AC BC 证右：
0 AB AC BC AB AC
反演律：P14注意
常用公式 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的 基本定律，得出一些常用公式。 说明：两个乘积项相加 吸收律： AB AB A 时，若乘积项分别包含 （互补率） B B 1
证：AB AB A B B A 1 A
吸收律：A AB A B
②所有最小项之和为1。
2n 1 i 0
mi 1
证： ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB AB AB AB A A 1 ③任意两个最小项的乘积为0。 mi m j 0
证： ABC ABC AB(C C ) 0 ④具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消 去一对因子。 相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量， 则称这两个最小项具有相邻性。 例： ABC＋ABC AB(C＋C ) AB
加对乘的分配率： A+BC = (A+B)(A+C) 证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC =(A+AC+AB)+BC
=A(1+C+B)+BC = A+BC
1、最小项 (1) 定义： 最小项是一个与项。 (2) 特点： n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式 出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量 有 2n 个最小项。 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的 值等于1。 原取1, 例如：在三变量A、B、C的最小项中： 反取0. 当A=1、B=0、C=1时，乘积项ABC = 1。 如果将ABC的取值101看作一个二进制数， 所对应的十进制数就是5。 一般将ABC这个最小项记做m5。 按照上述约定，作出三变量最小项编号表。
B和/B两个因子。而其 余因子相同。则两项定 能合并成一项，消去 B 和/B两个因子。
证：A AB A A A B 1 A B A B
说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好 是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。
冗余律： 证：AB AC BC AB AC A ABC AB AC ABC ABC 若两个乘积项中分别 AB1 C AC 1 B 包含A和 A两个因子， AB AC 而这两个乘积项的其 P14 推论：AB AC BCDE AB AC 余因子组成第三个乘
AB
C
i
0 0
0 0
0 1
0 1
m m
0 1
0
0 1
1
1 0
0
1 0
1
0 1
m
m m
2
3 4
1
1
0
1 1
1
0 1
0
1 1
m
m m
5
6 7
00
01
11
10
1
0
1
0
1
0
1 1
1
0
1
直接观察法：（填公因子法）
例：F ABC ABD AC
ABC ABC D D
AB CD 00 00
00 01
× ×
× ×
11
10
1
1
如何处理约束项
CD
AB
00
01 1 1 1
11
10 1 1
00 01 11 10
F ABC ABD ABC
CD
AB
00
01 1 1 1
11 × × × ×
10
00
01 11
1
1 ×
将约束项当作任意项处理， 可0可1
10
×
F BD BC A
本章小结
最小项
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
使最小项为1的变量取值 A 0 0 B 0 0 C 0 1
对应十进制数 编号 0 1
0
0 1 1 1 1
1
1 0 0 1 1
0
1 0 1 0 1
2
3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3
ABC
m4 m5 m6 m7
最小项的重要性质 ①在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且 仅有一个最小项的值为1。
C D ABC D ABCD ABC D 10 AB m m m14 m10
八个“0”维块相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。
1、将函数化简为最小项之和的形式。 2、画出表示该函数的卡诺图。 3、画合并圈。 将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全 部被覆盖为止。 4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。
普通代数结 果如何？
（3）与普通代数相似的定理
交换律 结合律 A· B = B· A A· （B· C）=（A· B）· C A+B =B+A A +(B+C)=(A+B)+C
分配律
A· （B+C）=A· B + A· C
A+(BC)=(A+B)(A+C)
（4）特殊的定理 De · morgen 定理
x 5 6 7 8 9 -
A B C D 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 1 1 1 × × × × × ×
CD
AB
00
01 1
11
10 1 1 × ×
A A
A+A=A
A A 0 A· A=A
A B A B
AB A B
包含率 AB AC BC AB AC A B A C B C A B A C
与 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1 0=1
A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A(B+C)=AB+AC A+AB=A A+1=1,A+O=A
AB=BA A(BC)=(AB)C A+(BC)=(A+B)(A+C) A(A+B)=A A· 0=0,A· 1=A
A A 1
3 2
ABCD ABC D ABC
m4+m5 m7+m6
ABC D ABCD ABC ABCD ABC D ABC
A
AB
11 m 3
ABCD ABCD ABCD ABCD
m7
m15 m11
2 6 从上述分析中可以看出： 二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子 。 四个“0”维块相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。
数字电路中广泛采用二进制，二进制的特点是逢二进一，
用0和1表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成 八进制、十进制和十六制。 数字电路的输入变量和输出变量之间的关系可以用逻辑代 数来描述，最基本的逻辑运算是与运算、或运算和非运算。
本章小结
逻辑函数有四种表示方法：真值表、逻辑表达式、逻 辑图和工作波形图。这四种方法之间可以互相转换，真值
卡诺图化简原则：
1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。 2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。 3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。 4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。
有“约束”的逻辑函数的化简
“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约”的概 念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的 (随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许） 出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关 项或任意项，在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中 用∑d（ ）表示。
表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。
而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时， 应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻 辑函数。
本章小结
本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法是利用逻 辑代数的公式和规则，经过运算，对逻辑表达式进行化简。
它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结
（1）常量之间的关系
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 1=0
Байду номын сангаас
或
请特别注意 与普通代数 不同之处
这些常量之间的关 系，同时也体现了逻辑 代数中的基本运算规则， 也叫做公理，它是人为 规定的，这样规定，既 与逻辑思维的推理一致， 又与人们已经习惯了的 普通代数的运算规则相 似。
（2）常量与变量之间的关系
定理：任何逻辑函数 y都可以用最小项之和的形式表示。 而且这种形式是唯一的。 1、 真值表法：
将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最 小项之和。 例：将F ABC BC AC表示为最小项之和的形式。 解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,
AC缺变量B, BC和AC不是最小项。 所以 F 是一般与－或式，不是最小项之和的标准形式。
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11 10
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ABCD ABC D
10
1 1 1 1 1 1 1 1
m13 m12
ABC 是 m13 和 m12 的公因子 所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。
同理：在 A=0， B=D=1 所对应的区域填1。
在 A=1，C=1 所对应的区域填1。
以四变量为例说明卡诺图的化简方法: 若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。 “0”维块： 表示四个变量一个也没有被消去。 AB 将相邻“0”维块相加，可以将两 00 01 11 10 CD 项合并为一项，并消去一对因子。 ABC D ABC D ABC D ABC D 00 相邻项 “0”维块相加 “1”维块 “2”维块 “3”维块 m0 m4 m12 m8 m0+m1 ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D ABCD ABC 01 m1 m5 m13 m9 AB m +m
果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运 算技巧。图解化简法是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其 优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以 上），则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时， 将两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。
解： F ABC A ABC B B AC
ABC ABC ABC ABC ABC
m0 m7 m3 m6 m4
m 0.3.4.6.7
原取1 反取0
卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图 来表示逻辑函数？ A B C F m 真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺 图。方法是：把真值表中输出为 1 的最 小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ， 把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺 图对应小方格内填 0 。 填有1 的所有小 方格的合成区域就是 该函数的卡诺图。 例：已知真值表为
列：F 真值表：
ABC ABC BC AC F
F ABC BC AC
由最小项性质①、知：每 个最小项等于1的自变量取值是 惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变 量组合相加即可。其输入变量组 合中，1表示原变量 ,0表示反 变量
摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为 最小项之和的形式。 例1： F ABC BC AC
“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或“无关项”、“禁 止项”
§2.5.6 有“约束”的逻辑函数的化简
例 2.5.3：如图电路，A、B、C、D 是十进制数 x 的 8421BCD 编码， 当 x≥5 时输出 F 为1。求 F 的最简 与或表达式。 A 解：列真值表 B F C 画卡诺图 D
证：AB AC BC BCDE AB AC BC 1 DE
积项，则第三个乘积 项是多余的。可消去
AB AC BC AB AC
交叉互换律：
P14六式-2
A C A B A A AB AC BC 证右：
0 AB AC BC AB AC
反演律：P14注意
常用公式 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的 基本定律，得出一些常用公式。 说明：两个乘积项相加 吸收律： AB AB A 时，若乘积项分别包含 （互补率） B B 1
证：AB AB A B B A 1 A
吸收律：A AB A B
②所有最小项之和为1。
2n 1 i 0
mi 1
证： ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC AB AB AB AB A A 1 ③任意两个最小项的乘积为0。 mi m j 0
证： ABC ABC AB(C C ) 0 ④具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消 去一对因子。 相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量， 则称这两个最小项具有相邻性。 例： ABC＋ABC AB(C＋C ) AB
加对乘的分配率： A+BC = (A+B)(A+C) 证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC =(A+AC+AB)+BC
=A(1+C+B)+BC = A+BC
1、最小项 (1) 定义： 最小项是一个与项。 (2) 特点： n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式 出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量 有 2n 个最小项。 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的 值等于1。 原取1, 例如：在三变量A、B、C的最小项中： 反取0. 当A=1、B=0、C=1时，乘积项ABC = 1。 如果将ABC的取值101看作一个二进制数， 所对应的十进制数就是5。 一般将ABC这个最小项记做m5。 按照上述约定，作出三变量最小项编号表。
B和/B两个因子。而其 余因子相同。则两项定 能合并成一项，消去 B 和/B两个因子。
证：A AB A A A B 1 A B A B
说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好 是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。
冗余律： 证：AB AC BC AB AC A ABC AB AC ABC ABC 若两个乘积项中分别 AB1 C AC 1 B 包含A和 A两个因子， AB AC 而这两个乘积项的其 P14 推论：AB AC BCDE AB AC 余因子组成第三个乘
AB
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直接观察法：（填公因子法）
例：F ABC ABD AC
ABC ABC D D
AB CD 00 00
00 01
× ×
× ×
11
10
1
1
如何处理约束项
CD
AB
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01 1 1 1
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00 01 11 10
F ABC ABD ABC
CD
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11 × × × ×
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1 ×
将约束项当作任意项处理， 可0可1
10
×
F BD BC A
本章小结
最小项
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
使最小项为1的变量取值 A 0 0 B 0 0 C 0 1
对应十进制数 编号 0 1
0
0 1 1 1 1
1
1 0 0 1 1
0
1 0 1 0 1
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3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3
ABC
m4 m5 m6 m7
最小项的重要性质 ①在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且 仅有一个最小项的值为1。
C D ABC D ABCD ABC D 10 AB m m m14 m10
八个“0”维块相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。
1、将函数化简为最小项之和的形式。 2、画出表示该函数的卡诺图。 3、画合并圈。 将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全 部被覆盖为止。 4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。
普通代数结 果如何？
（3）与普通代数相似的定理
交换律 结合律 A· B = B· A A· （B· C）=（A· B）· C A+B =B+A A +(B+C)=(A+B)+C
分配律
A· （B+C）=A· B + A· C
A+(BC)=(A+B)(A+C)
（4）特殊的定理 De · morgen 定理
x 5 6 7 8 9 -
A B C D 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 1 1 1 1 × × × × × ×
CD
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10 1 1 × ×
A A
A+A=A
A A 0 A· A=A
A B A B
AB A B
包含率 AB AC BC AB AC A B A C B C A B A C
与 0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1 0=1