平行线等分线段定理精品教案

平行线等分线段定理

【教学目标】

1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形。

2．熟练掌握任意等分线段的方法。

3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法。【教学重难点】

重点是平行线等分线段定理及证明；

难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用。

【教学过程】

一、从特殊到一般猜想结论

1．复习提问，学生口答。

（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC．

说明：

①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明。

②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题。

（2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC．

教法：

①引导学生用语言叙述该命题。

若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段。

②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？

二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理

1.用化归的方法证明定理。

以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理。

已知：如图4-79（a），l1∥l2∥l3，AB=BC．求证：A1B1=B1C1．

分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？

方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过A l作AC的平行线交l2于D，交l3于E，利用复习题（1）的方法来证明。

方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过B1作EF//AC分别交l1，l3于E，F，利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明。

2．用运动的观点掌握定理的变式图形。

（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作【教学准备】，演示A l C1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明。

说明：

（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论。

（2）强调图4－80（c）中截得的A1B1＝B1C1，与AC与A1C1的交点D无关，让学生认清定理的基本图形结构。

（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用。

3．用特殊化的方法研究推论。

对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：

推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰。

在图4-81中，∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．

推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

在图 4－82中，

∵△ABC中， AE＝EB， EF//BC，

∴AF＝FC．

让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键。

三、运用定理解决问题

1．n等分任意一已知线段的作图。

例1已知：如图4-83，线段AB．求作线段AB的五等分点。

分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．

2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明。

例2（l）如图4-84 M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交BD于E，AN交BD于F，求证： BE＝EF＝FD．

（2）如图 4－85． AB⊥j于B． CD⊥j于 C，E为 AD中点。求

证：△EBC是等腰三角形。

教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题。

例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点。求证：∠MAB＝∠MBA．

（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线l引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’。图中能分解出几个基本图形图？l上的线段之间有何等量关系？

四、师生共同小结

1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法。

2．怎样n等分一条已知线段？

3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理。五、作业

课堂【教学设计】说明

本【教学过程】设计需1课时完成。

1.利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；

（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点。

2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明。这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强。

3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用。因此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固。

4．定理还可用以下方式引入：

（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行

直线l1，l2，l3，l4…分别被直线m，n所截。若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将 n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？