高中数学 1-2-2-2分段函数与映射课件 新人教A版必修1
数学必修Ⅰ人教新课标A版1-2-2-2分段函数及映射课件(35张)
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
分段函数 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系， 这样的函数通常叫做分段函数．
映射 设 A、B 是两个_非__空___集合，如果按某一个确定的_对___应__关__系__，使对于集 合 A 中的_任___意__一个元素 x，在集合 B 中都有_唯__一___确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应__f_：__A_→__B____为从集合 A 到集合 B 的一个映射．
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. ∵f－52＝－52＋1＝－32，且－2<－32<2， ∴ff－52＝f－32＝－322＋2×－32＝94－3＝－34.
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
[归纳升华] 1．求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求 值．当出现 f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止． 2．求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的 值，切记代入检验.
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
学案·新知自解
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练案·学业达标
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第一章 集与函数概念
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f(x)＝x22x＋，1x，<11.≤x≤5， ②f(x)＝xx＋ 2，1x，≥x2∈. R，
高一人教A版数学必修1课件1.2.2.2分段函数与映射
M,y∈N.
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
解析:对于①,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以①不
②画一次函数 y=-x 的图象,取其在区间(0,+∞) 内的图象,其他部分
删去不要;③这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象(如
图所示).
由此可得,画分段函数
������1(������),������∈������1, y= ������2(������),������∈������2, (D1,D2,…,两两的交集是空集) 的图象的步骤
是映射;对于③,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所
以③不是映射;对于②④,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对
应,所以②④是映射.故选D.
答案:D
题型一 题型二 题型三 题型四
反思判断一个对应是不是映射,依据是映射的定义.判断方法为: 先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若不是,则 不是映射;若是,再看对应元素是否唯一,若唯一,则是映射;若不唯一, 则不是映射.
【做一做 1】 已知函数 f(x) =
������,������ ≥ ������ + 1,������
0, <
0,
则f(1)等于(
)
A.0
B.1
C. 2 D. 2
解析:∵x=1>0,∴f(1) = 1 = 1.
答案:B
12
2.映射 (1)定义:一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确 定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一 个映射. 归纳总结满足下列条件的对应f:A→B为映射: (1)A,B为非空集合; (2)有对应关系f; (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对 应.
人教A版数学必修一1.2.2.2分段函数及映射
思考
你能说出函数与映射之间的异同吗?
(1)函数是特殊的映射，映射不一定是函数，映射是函数 的推广；
(2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，而对于映射， A和B不一定是数集。
回顾本节课你有什么收获 解析式
图像
分段函数的概念
映射的 概念
核心概念
分段函数 的函数值
昨天是已经走过的，明天是即将走过的， 惟有今天正在走过……
1.已知
f
(x)
x
f
3 [ f (x
4)]
(x 9) (x 9)
求的f 值15.,f 7
解： f 15 12,f 7 6
v/cm·s-1 2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30
是时间t的函数,它的图象如右图，
用解析式表示出这个函数. 10
t+10,(0≤t<5)
例2画出函数图像y.
x 1, 2
x 2
y
y x2 4x 4
x
O
2
y x 1
2
3.求分段函数的解析式 例3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
x+2,(x≤－1)；
例1已知函数f(x)=
x2,(－1＜x＜2)；
2x,(x≥2).
((f21))3若求 f的6f,(f值x3)12;=,3f,14求12,fx,的f5值5.3
解：（1）
数学必修Ⅰ人教新课标A版1-2-2-2分段函数及映射课件(37张)
第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．
所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．
(2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋x－2 x＝1；
当－2<x<0时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x.
∴f(x)＝11，－x，
0≤x≤2， －2<x<0.
②函数f(x)的图象如图所示，
③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [答案] (1)[－1,2] [－1,1)
[活学活用] 4－x2，x＞0，
已知函数f(x)＝2，x＝0， 1－2x，x＜0.
(1)求f(f(－2))的值； (2)求f(a2＋1)(a∈R)的值； (3)当－4≤x＜3时，求f(x)的值域．
解：(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5， ∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21. (2)当a∈R时，a2＋1≥1＞0，∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－ 2a2＋3(a∈R)． (3)①当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x， ∴1＜f(x)≤9； ②当x＝0时，f(x)＝2； ③当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2， ∴－5＜f(x)＜4. 故当－4≤x＜3时，函数f(x)的值域是(－5,9].
[类题通法] 1．求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入 该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求 值，直到求出值为止． 2．求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应 求出自变量的值，切记代入检验．
第二课时 分段函数与映射
分段函数 [提出问题] 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5 千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站 和终点站)有11个汽车站．
必修1课件：1-2-2-2 分段函数与映射【
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
(3)解不等式f(x)＞a：
x∈I ， 1 f(x)＞a⇔ f1x＞a， x∈I ， 2 或 f2x＞a.
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自主预习 1．当自变量 x 在不同的取值区间(范围)内取值时，函数 的对应法则也不同的函数为 分段函数． 分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的 不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比 较重要的一种函数．
)
[答案]
D
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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6．某班连续进行了 5 次数学测试，其中智方同学 成绩 如表所示，在这个函数中，定义域是 {1,2,3,4,5} {85,88,86,93,95} . 次数 1 2 88 3 93 4 86 5 95 ，值域是
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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思路方法技巧
第一章
1.2
1.2.2 第2课时
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1
分段函数及其应用
新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.2第2课时分段函数及映射.pptx
④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是 答案： A
是一对多，不满足对应元素 唯一性.
是一对多，不满足对应元素 唯一性.
a3，a4无对应元素、不满足 取元任意性.
[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键 是什么？ ①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有 元素与它对应； ②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯 一． [注意] ①映射允许多对一，一对一，不允许 一对多．
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中 没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在 集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
解析： 图①，图②符合映射定义，图③集合 M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应， 故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每 一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不 能构成映射．
3x＋5，x≤0，
x＋5，0＜x≤1， －2x＋8，x＞1.
(1)求 f32，fπ1，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求 f(x)的最大值．
f(x) ＝
解析： (1)∵32＞1，∴f32＝－2×32＋8＝5. ∵0＜π1＜1，∴f(π1)＝π1＋5＝5ππ＋1. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意所 给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式 求得． (2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由 里到外”的顺序，层层处理．
1. 已 知 函 数 f(x) ＝
x＋1， x≤－2， x2＋2x， －2＜x＜2， 2x－1， x≥2.
高一数学同步课件：1-2-2-2分段函数及映射(新人教A必修1)
第2镌分段函数及映射时•【课标要求】•1.通过具体实例，了解简单的分段函数, 并能简单应用.• 2. 了解映射的概念.•【核心扫描】• 1.分段函数的图象及求值.（重点）• 2.对映射概念的理解.（难点）01» 新知探究教材为本探究学习• 3.通过分段函数的学习体会分类讨论的思•新知导学• 1・分段函数如果函数y = f(x), xG/4,根据自变量x在力中不同的取值诡魅有着不同的则称这样的函数为分段函数.温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值域”的并集.• 2.映射•设力、B是聲个______ 的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合力中的任n蠹雌个元素x ,在集合B冲黑筋的元秦y与之对应，那么就祿对应为从集合力到集合B的一个映射.•互动探究•探究点1 “分段函数是几个函数”这句话正确吗？•提示不正确，分段函数是一个函数z而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已.•探究点2映射一定是函数吗？•提示映射是函数的推广,而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集力到非空数集B的映射，对映射而言,A , 3不一定是菲空数集,所以映射不一定是函数,函数一(2)(2013-成都高一检测)已知函数/(x) = x2+l(x^0), 一2x(x<0),= 10,贝!)x= _________［思路探索］判断自变量满足的范围分段函数确定适宜的函数式字母变量冬分类讨论-求值2解析⑴当兀=3>1时，于(3)=3<1,(2\ (2\ 13・•・/(/⑶)=闱=［寸+1=&•(2)当兀$0 时，/(x)=x2+l = 10, Ax=3(舍去一3)；当兀V0 时，f(x)=—2x=109 Ax=—5.综上知，兀的值为一5或3・答案(1)D (2)-5 或3•［规律方法］1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得・若题目含有多层5.应按“由里到外”的顺序层层处理.• 2 .如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想.x—2, IxlWl, 【活学活用1】⑴已知函数/（兀）=1+兀2,比＞i,x+1, x^O,（2）已知函数于（兀）=］丄、x<0,若/（兀）=2,则x=1 1 1若x<0,由匚|=2,得x = +y 舍去兀= 综上可知，兀=1或X=—2* 答案(l)y (2)1 或一*解析⑴由于t W1,所以r 3) 訝=4—沪 i+〔—「 I 2丿(2)若由兀+1=2,得x =1 ；29类型二分段函数的图象与解析式°【例2】⑴(2013讪头高一检测)作/(对=兀+¥的图象. (2)如图，根据函数y=/(x)的图象，写出它的解析式.［思路探索］(1)去绝对值号，化简/(兀)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象.(2)根据图象列出每一段的解析式,合在一起形成介兀)的解析式.[x+l(x>0), 一 ~ t解(听尸L_gvo),图象如图・⑵当OWxWl 时，/(x)=2x；y/当 1 VxV2 时，/(x)=2；r当x^2时，/(x)=3.o X>-12x, OWxWl,/故 /(兀)=(2, 1<X<293, x^2.•［规律方法］1 •对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数的图象・•2・由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题・•3 •根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式.x2, —lWxWl,【活学活用2】已知并）=1,—或*_].（1）画出/（对的图象；⑵求/（兀）的定义域和值域.解⑴利用描点法，作出/（兀）的图象，如图所示.（2）由条件知，函数/（X）的定义域为R.由图象知，当一lWxWl时，/&）=”的值域为[0,1], 当兀＞1或兀V —1时，/（x） = 1, 歹类型三映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合〃的映射:(1)A=N\ 对应关系兀f lx-31；(2)A = ｛平面内的圆｝, B = ｛平面内的矩形｝,对应关系/：“作(3)A = ｛高一⑴班的男生｝, B=R9对应关系/：每个男生对应自己的身高；(4)A = {xlOWxW2}, B={ylOWyW6}, 对应关系X—j=|x.•［思路探索］根据映射的定义，只要检验对力中的任何元素，按对血关系匚是否社B申都有唯一的元素与之对应.•解(1)力中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而0GB,故不是映射.-(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合力中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射.-(3)对力中任何一个元素，按照对应关系f,在B 中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射.• (4)是映射，因为力中每一个元素在f：x-^y=x •［规律方法］判断对应f ：力是否是力到B 的映射,必须做到几点:(1)明确集合力z B 中的元素・⑵根据映射定义判断力中每个元素是否在£申能找至！］睢一确定的对应元臺z 可以“一对一”，也可以“多对一”，但“一对多”不是映射.【活学活用3】判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？(2)A=Z, B = Q,对应关系/： x-*j=p (3)设A = ｛矩形｝, B = ｛实数｝,对应关系/：矩形和它的面积对 应. •解(1)对于集合力中任意一个非负数在集合 B 中都有唯一元素1与之对应，对于力中任意 一个负数在(1)A=R, B = {O,1},对应关系于： [1(x^0),ba vo ),集合B中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射.•(2)集合力中的元素0在集合B中没有元素与之对应，故不是映射.•(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f是从集合力到集合B的映射.易错辨析忽略分段函数各区间上的范围致误【示例】己知函数金J若f(x)=3f求" 的值.［错解］由”一1=3,得x=±2；由2x+l=3，得x=l,故x的值为2, —2或1.［错因分析］要紧扣"分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，求值时不能忽视兀的取值范围. •［正解］当沧0时，由0 —1=3,得x=2或x=-2（舍去）；当xvO时，由2x+1=3,得X— 1 （舍去），故x=2.•［防范措施］（1）分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数体现了数学的分类讨论思想分段求解”是解决分段函数问题的基本原则・•⑵“对号入座”，根据自变量取值的范围 ,准确确定相应的对应关系,转化为一般函数在指定区间上的问题・不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因■03» 感悟提升总结评价反思提高 C D•课堂达标 是映射的是•解析结合映射的定义可知A、B、C均满足M 中任意一个数x,在2中有唯一确定的y 与之对应,而D中元素1在2中有m , b两个元素与之对应,故不是映射・•答案D• 2.函数r=|x|的图象是)•解析C-101\xD •••B选项正确.答案Bfx2+l(x^0),3.函^/(X)=|2_X(_2^X<0)的值域是 ---------------- •解析当xMO时，/(x&l, 当一2WxV0 时，2V/(x)W4, .V(x)1 或2V/(x)W4,即/(兀)的值域为［1, +8).答案［1，+8)4-已知从集合A到集合〃的映射是/1：x-2x-l,从B到C的映射是力：丁〜召，则从A~c的映射为____________ 解析依题设2(2^1=占•••A-C的映射为兀一吕亍答案x4x—1⑴求于(2), /[/⑵]的值；(2)^/(x 0) = 8,求兀o 的值.5. 己知函数/3)=“ x 2—4, 0WxW2 2x, x>2.解(l)T0WxW2 时，/(x)=x2—4,•\/(2)=22-4=0,加2)]=/(0)=02_4=_4・⑵当0Wx()W2时，由-Vo—4=8,得x0=±2^3(舍去)；当兀0>2时，由2xo=8,得Xo=4.•・兀0=4・•课堂小结• 1.对映射的定义，应注意以下几点：•⑴集合力和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.•(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.• 2.理解分段函数应注意的问题：•(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏. •(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.•(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画岀来，从而得到整个函数的图象.。
高中数学 1.2.2.2分段函数与映射课件 新人教版必修1
2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是 由几个函数构成的吗？
提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几 个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样 而已．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一 个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范 围．
3．分段函数分几段，其图象就有相应的几个吗？ 提示：分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时 只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分 别画在不同的坐标系中．
的图象如图，观察图象得函数的值域为[1，＋∞)．
(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段 函数
－2x＋1 x≤－1， y＝3 －1<x≤2，
2x－1 x>2.
它的图象如图．
观察图象，显然函数值y≥3，所以函数的值域为[3， ＋∞ ).
映射问题
【例3】 下列对应关系中，哪些是从集合A到集合
通法提炼 1分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的 范围，代入相应的解析式求得.2多层“f”的问题，要按照 “由里到外”的顺序，层层处理.3已知分段函数的函数值 求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变 量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判 断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
映射
设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．
4．如何判断一个对应是不是映射？ 提示：只要检验对于A中的任意一个元素，按对应关系 f，是否在B中有唯一确定的元素与之对应即可．若是，则 这个对应是映射，否则，不是映射．
数学新课标人教A版必修1教学课件：1.2.2.2第2课时 分段函数及映射
栏目导引
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关___系_，则称这 样 的函数为分段函数． 2．映射 设 A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应 关 系f，使对于集合A中的任__意__一__个__元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应 ，那么就称对应f_：__A_→__B_为 从集合A到集合B 的一个映射．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中 没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在 集合B中没有元素与之对应，故选D. 答案： D
栏目导引
解析：
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时 f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时， f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
必修1 第一章 集合与函数的概念
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
④ 不是 ⑤ 不是 ⑥ 不是 答案： A
是一对多，不满足对应 元素 唯一性.
是一对多，不满足对应 元素 唯一性.
a3，a4无对应 元素、不满足 取元任意性.
高中数学1.2.2.2分段函数及映射课件新人教A必修1
(4)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有元素与之 对应．
(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的元素 与之对应，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是 “一对多”．
2．分段函数 分段函数是一种重要的函数，不要把一个分段函数看成几 个函数，它的主要特点是：它在定义域的不同子集上的对应法 则不同，其解析式必须用几个式子表示，它有广泛的应用.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍 去．
当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. 所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意． 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 映射的概念
典例剖析
【例1】 下列从集合A到集合B的对应中为映射的是 ()
A．A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3| B．A＝R，B＝{0,1}，对应关系 f：x→y＝0 x≥0
1 x<0
C．A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}， 对应关系f：x→y＝± x D．A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝1x
自 1.两个非空的 唯一确定的元素 我 2.分段函数 校
3.并集 并集 对
Hale Waihona Puke 思考探究 映射与函数有什么区别与联系？ 提示 区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其 他集合，函数中集合A，B必须是数集． 联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广.
名师点拨 1.映射 (1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组 成的集合以及其他元素的集合． (2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不 相同的． (3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素 与之对应，而且这个元素是唯一确定的．这种集合A中元素的 任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 1.2.2 第2课时分段函数及映射
解析答案
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围. 解 f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无 交点.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 已知 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，. (1)画出 f(x)的图象；
类型二 研究分段函数的性质 例2 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|. (1)求f(x)的值域；
解析答案
(2)解不等式：f(x)>0；
解 f(x)>0，即x≤－1，
①
4>0
或－－12<x＋x≤2>3，0
②
或 x－>43>，0
③
解①得x≤－1，解②得－1<x<1，解③得x∈∅. 所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).
2.函数与映射的关系 映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的 映射. 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.
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第一章 1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射
学习目标
1.会用解析法及图象法表示分段函数； 2.给出分段函数，能研究有关性质； 3.了解映射的概念.
问题导学
题型探究Βιβλιοθήκη 达标检测问题导学新知探究 点点落实
知识点一 分段函数 思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0， 则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对 应算不算函数？
高中数学1-2-2-2分段函数与映射课件新人教A版必修
自主预习 1．当自变量 x 在不同的取值区间(范围)内取值时，函数 的对应法则也不同的函数为 分段函数． 分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的 不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比 较重要的一种函数．
2．设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于 集合 A 中的 任何 一个元素，在集合 B 中有 唯一 确定的元素 和它对应，那么这样的对应(包括 A、B 以及对应关系 f)叫做集 合 A 到 B 的映射，记作 f：A→B .
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
③唯一性：集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
(3)f(m)>m⇔
m≤－2， m＋1>m，
或
m≥2， 2m－1>m
⇔m≤－2，或
m≥2，
m>1
⇔m≤－2，或m≥2.
所以，所求m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
x＋1 x>0 已知f(x)＝π x＝0
0 x<0
，求f(f(f(－3)))．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是分段函数；②本例是求值问题．
(3)解不等式f(x)＞a： f(x)＞a⇔xf1∈xI＞1，a， 或xf2∈xI＞2，a.
[例1] (2012～2013山东潍坊一中高一月考试题)已知函
数f(x)＝xx2＋＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
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[解析]
由于
y
＝
|x
－
1|
＋
|x| x
＝
－ 2－x，x，(x(＜0＜0)x，＜1)， x，(x≥1)，
其图象如图所示：
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• 总结评述：函数的图象可以是一些线 段，一段曲线，甚至是一些点．表示函 数的式子也可以不止一个，这类用几个 式子表示的函数叫做分段函数．分段函 数是一个函数，而不是几个函数，必须 分段画出函数图象，尤其需注意特殊 点．
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• ①方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B的映射与从B到A的映射是不同的；
• ②任意性：集合A中的任意一个元素都有 象，但不要求B中的每一个元素都有原象；
• ③唯一性：集合A中元素的象是唯一的， 即不允许“一对多”但可以“多对一”．
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• [分析] 图象法是表示函数的方法之一， 画函数的图象时，以定义域、对应法则为 依据，采用列表、描点法作图．
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(3)假设 A 中的元素(x，y)与 B 中元素(a，a2)对应，则有
x＋y＝a， xy＝a2；
∴x、y 应是方程 z2－az＋a2＝0 的两个实数根，
所以 Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到 a 为实数可知：当
且仅当 a＝0 时，B 中形如(a，a2)的元素在 A 中存在相对应的
• [分析] 由对应法则，可以根据A中元素与 B中元素的对应关系建立起关于x、y的方 程组．其中第(3)问整理即课件是判断相应的方程组
[解析] (1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以 A 中元素(－2,3)的象是(1，－6)；
(2)设 B 中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应 法则有xx＋ y＝y－＝23， ； 所以 x、y 是方程 z2－2z－3＝0 的两个根， 解得xy＝＝3－，1； 或xy＝＝－3；1， 即 B 中元素(2，－3)的原象为 (3，－1)和(－1,3)两个；
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下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( ) A．A＝B＝N*，对应法则 f：x→y＝|x－3| B．A＝R，B＝{0,1}，对应法则 f：x→y＝10，，((xx≥＜00)) C．A＝B＝R，对应法则 f：x→y＝± x D．A＝Z，B＝Q，对应法则 f：x→y＝1x
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• [答案] B • [分析] 判断两个集合之间的对应是否为
映射，只要按照对应法则f判断，对于集 合A中的任何一个元素，在集合B中是否 有惟一的元素和它对应．
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• [解析] 在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于 是A中有一个元素在B中没有元素和它对应， 故不是映射；在C中，集合A中的负数在B 中没有元素和它对应，故也不是映射；(或 者x＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中， 集合A中元素为0时，其倒数不存在，因而 0在B中无对应元素，故同样不是映射；B 符合定义，故选B.
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• 1．当自变量x在不同的取值区间(范围)内 取值时，函数的对应分法段则函数也不同的函数为 ．
• 分段函数是一个函数，不是几个函数，只
是在定义域的不同范围上取值时对应法则
不同，分段函数是普遍存在又比较重要的
一种函数．任何
唯一
• 2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种
对应关系f，对于集合f：A中A→的B 一个元素， 在集合B中有 确 定的 元 素 和 它 对 应 ，
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• [例2] 设f：M→N是集合M到集合N的映 射，下列说法中正确的是
•( )
• A．M中每一个元素在N中必有元素与之对 应
• B．N中每一个元素在M中必有元素与之对 应
• C．M中的元素在N中可以有不同元素与之
对应
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• [解析] 在映射中允许集合N中的某些元 素在集合M中没有元素对应，所以B是错 误的；又因为映射中允许集合M中不同 元素对应集合N中相同的元素，就是说可 以“多对一”，因此D也是错误的．M中 元素的象是惟一的，故C错，∴选A.
元素为(0,0)；而当 a≠0 时，这样的元素不存在．ห้องสมุดไป่ตู้
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• 总结评述：在一个给定的映射f： A→B中，A中每一个元素在B中都有唯一 元素与之对应，但B中元素在A中未必有 元素对应，即A中元素对应B中元素的集 合实际上是集合B的一个子集．在涉及元 素的对应问题中，常常需要建立方程组 求解．
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• [例3] 已知集合A＝B＝{(x，y)|x、y∈R}， 给定映射f：A→B，使得集合A中的元素(x， y)与集合B中的元素(x＋y，xy)对应．
• (1)求A中元素(－2,3)的象；
• (2)求B中元素(2，－3)的原象；
• *(3)判断集合A中是否存在元素与B中形如 (a，a2)的元素对应；若存在，求之；若不 存在，说明理由．
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• (1)分段函数的定义域是各段自变量取值集 合的并集；值域是各段函数值集合的并集； 最大(小)值是各段上最大(小)值中的最大 (小)者．研究分段函数常借助图象进行．
• (2)映射f：A→B包含三个要素：原象集合A， 象集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B 的对应法则f.两个集合A、B可以是数集， 也可以是点集或其它集合．对应法则f可用 文字表述，也可以用符号表示．映射是一 种特殊的对应，它具有：
那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)
叫做集合A到B的映整射理课件，记作
.
象
原• 象(2)给定一个集合A到集合B的映射时， a∈A，b∈B如果b和a对应，那么我们把 元素b叫做 ，元素a叫做b的 ．
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• 本节重点：①分段函数概念的理解；② 映射定义理解．
• 本节难点：①函数图象的画法；②分段 函数的理解应用；③用映射理解函数的 定义．
(1)已知(x，y)在映射 f 下的象是(x＋y，x－y)，则象(1,2)
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图中的图象所表示的函数的解析式为( ) A．y＝32|x－1|(0≤x≤2) B．y＝32－32|x－1|(0≤x≤2) C．y＝32－|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[答案] B
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[解析] 可将原点代入，排除选项 A，C，再将点1，32 代入 D 项，不符合，所以选 B.