《机械制图》第二章(2) 直线的投影

5. 积聚性
1.从属性:
直线上的点的投影仍在直线的投影上.
C
A
B
b ac
2.平行性:
C
A
D
d
c
a
两平行直线 的 投影仍相互平行.
B
b
3.类似性：
当直线段和平面倾斜于投影面时，它们在该 投影面上的投影为缩小的直线段或平面形的类似 形。
4.实形性
若线段和平面图形平行于投影面,则其投 影反映实长或实形。
da
YH
第三投影判断。
二、相交两直线 的投影特性
d
b k
a
c
X c b
k a
d 当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交， 且交点符合点的投影规律。反之，如果两直线的同面投影都相交,且 交点符合点的投影规律,则此两直线在空间一定相交。
三、 交叉两直线的投影特性
1(2) a
c
X
2
a
1
c
（2）正平线——平行于正立投影面的直线（Y相等）
AB实长
b
Z
AB实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
a
b
a
b
YH
投影特性： 1． ab ⊥OYH轴; a b⊥OYW轴, a b与投影轴倾斜 2． a b=AB, ab<AB, a b <AB 3． 正面投影反映、角的真实大小
（3）侧平线——平行于侧立投影面的直线（X相等）
定理二： 两直线在某一投影面上的投影为直角，
且有一条直线平行于该投影面，则空间两 直线垂直。
例8：判断两直线是否垂直（相交垂直、交叉垂直）
（否）
（相交垂直） （否）
（交叉垂直） （相交垂直）
（否）
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c●
a
d
b
[例题10] 过点E作线段EF 垂直于AB、CD。
5.积聚性
若线段和平面的图形垂直于投影面，其投影积聚 为一点或一直线段。
[例题1.1] 已知如图，且知线段的实长AB，求它的水平投影。 b’
A
B
△y
a’
b1
△y a
△y
b2
[例题5] 过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
X
a
d
先作正面投影
k
b
c●
一点两线，线垂直于轴，等于实长。
在所垂直的投影面上的投影积聚为一点； 其它两投影垂直于相应的投影轴，并反映实 长。
（1）垂直线的投影具有实长性和积聚性
题目
正垂线的投影
铅垂线的投影
侧垂线的投影
讨论：如何判断直线与投影面关系
• 投影面平行线：
– 有一个倾斜于投影轴，两个平行于投影轴的投影
• 投影面垂直线：
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，判断已知点是否在直线上。
例1 判断点K是否在线段AB上。
b
b
k●
k●
V b
a a
a k●
b
k
a K
B
A
X
O
因k不在a b上，
a k
故点K不在AB上。
b
另一判断法?
[例题2] 已知线段 AB 的投影图，试将AB 分成 2﹕1两段， 求分点C 的投影 c、c 。
例：判断图中两条直线是否平行。
Z
(1) b
b
d
d
a
a
AB与CD平行。 对于一般位置直
X
c
O c
YW 线，只要有两组同面
ac
投影互相平行，空间
两直线就平行。
(2)
b c
d
Z
YH
c
AB与CD不平行。
a
a
对于特殊位置直
d
X
b
c
b
d 线，只有两组同面投 O b YW 影互相平行，空间直
线不一定平行,要根据
a
A
a
AB实长
a
b
Z
a
AB实长
b
b
X
O
YW
a
a
b
B
b b
投影特性： 1． ab⊥OX轴 ; ab ⊥OX轴 YH 2． ab =AB 与投影轴倾斜 3．侧面投影反映 、 角的真实大小
总结:投影面平行线的投影特性
一斜二平，斜为实长，反映倾角。
在所平行的投影面上的投影反映实长； 并反映直线与另两投影面倾角。
2.3 直线的投影
基本内容
2.3.1 直线的投影 2.3.2 直线对投影面的相对位置 2.3.3 属于直线上的点 2.3.4 两直线的相对位置 2.3.5直角投影定理
直线的投影作图
Z
b’
b”
a’
X a
a” YW
O
b
YH
连接两点的同面投影即得直线的投影
2.3.1 直线的投影特性
1、直线对一个投影面的投影特性
其它两投影平行于相应的投影轴，且小于 实长。
(3) 垂直面和一般面的投影具有类似性
正平线
侧平线
水平线
一般线
（三） 投影面垂直线
V
铅垂线 AB ⊥ H
X
C A
B
H
Z
正垂线
AC ⊥ V
D
W
Y
侧垂线 AD⊥ W
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线（X,Y相等）
a
AB实长
a
Z
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点－图形特性
2． a bOX ; a b OYW －图形特性 3． a b = a b = AB－度量特性
（2）正垂线— 垂直于正立投影面的直线（X,Z相等）
ab
A
a
ab
z a
b
B
b
X
O
YW
AB实长
a
a
b
b
YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
△x
例1 ：已知线段的实长AB，求它的水平投影。
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
a
ab
[例题2] 已知如图，且知线段的β=30°，求它的水平投影。
[例题3] 已知如图，且知线段的α=30°，求它的水平投影。
AB
b’
b’
β
AB
△y
△z α
a’
a’
ab
b1
b1
△y
a
a
△y 例题1.2
b2
b2 例题1.3
一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
βγ △z
α
△y △x
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角 角
△z
AB
△z
ab
AB
△z
ab
△z
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
AB
b
△y
a
X
ab
b
△y
AB
a △y
AB
△y
ab
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b
B b
a
b
A
a
a
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面 与其余两投影面平行
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
（一）一般位置直线 Z
V
B
W
X
A
Y H
一般位置直线的投影
Z
b
a
b
B b
a
b
a
X
O
Y
b
b A
a
a
a
Y 与H面的夹角α；与V面的角β；与W面的夹角γ 投影特性：1. 三投影均倾斜于投影轴－图形特性
定理一 相交垂直及交叉垂直的两直线，其中有一条直线 平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影 仍反映直角。
一、垂直相交的两直线的投影
a
b
c
X a
c
b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影 AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mn
2.3.6 直角投影定理
d b
b d
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
a c
1(2
)
3 ●
●
●4
c a
2●
●
●
1
3(4 )
d
b
b d
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
两直线相交吗？ 为什么？
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 “交 点”不符合空间一个点的投影 规律。
★ “交点”是两直线上的一 对重 影点的投影，用其可帮助判断 两直线的空间位置。
2． ab OX ; ab OZ
3． ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧立投影面的直线（Y,Z相等）
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
AB实长
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
b YH
总结：投影面垂直线的投影特性
2.3.4 属于直线的点
直线上的点具有两个投影特性：
1．从属性 —— 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2．定比性 —— 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C : C B = a c : c b= ac : c b = ac : c b
c
c
[例题3] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc
ab
ca
c
c
2.3.5 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线的重影点投影及可见性判断
一、平行两直线的投影特性
b
d
d b
c
a
c
X
a
b
b
a
c
a
b
d
c
1．若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。 反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则此两直线在空间也 一定相互平行。
其投影特性取决于直线与三个投影面间的相 对位置。直线对投影面的相对位置有三种情况: 一般位置直线，投影面平行线，投影面垂直线。
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
2.直线在三个投影面中的投影特性
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面平行线
正平线（平行于Ｖ面） 水平线（平行于Ｈ面) 侧平线（平行于W面）
A● M
●
B●
(m)a●(b)
B
●
A●
●b a●
●B
A●
●b a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 投影不反映线段实长
ab=AB*cos
结论：直线的投影由直线的位置决定，投影一般 为线，特殊情况下为点
2.直线在三个投影面中的投影特性
f e
e f
[例题11] 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在 MN上，且BCAB =23。
a
bc=BC
ab b
c
AB
c
b
a
|yA-yB|
例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已 知AC为斜边，顶点B在直线NC上。
a'
b' A
b
B
C
正投影法的基本性质：
1.从属性 2.平行性 3.类似性 4. 实形性
[例题6] 判断两直线的相对位置
z
c
b
d
a
o
YW
结论:交叉两直线
YH
[例题7] 判断两直线的相对位置
1
1
1d c 1
结论:交叉两直线
例8：判断两直线的相对位置（平行、相交、交叉）
（平 行）
（相 交）
（交 叉）
（交 叉）
（相 交）
（相交）
2.3.6 直角投影定理
相交垂直及交叉垂直的两直线的投影
– 有一个投影积聚成一点
• 一般位置直线：
– 有两个不平行于投影轴的投影
例题：判断下列直线的位置
水平线
正平线
侧平线
侧垂线
铅垂线
一般位置 直线
三、一般位置线段的投影与实长、夹角的关系
在特殊位置直线的投影中，能得到该直 线段的实长以及与投影面的夹角的实际大小， 而在一般位置直线的投影中，则不能。如果 在投影、倾角与实长三者之间建立起直角三 角形关系，则为直线段倾角与实长的图解提 供了理论依据。可利用直角三角形法求其实 长和倾角。
2. 三投影均小于实长，且不反映 、 、 实角－度量特性
（二）投影面平行线
V
侧平线
X H
Z
水平线
W
Y
正平线
(1) 水平线 ——平行于水平投影面的直线(Z相等）
za ba Nhomakorabeab
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
AB实长
b
AB实长
b
YH
投影特性：1．ab⊥OZ轴; ab⊥OZ轴, ab与轴倾斜 －图形特性 2． ab = AB, ab < AB, ab < AB－度量特性 3．水平投影反映 、 角的真实大小－度量特性