《单位圆与三角函数线》教案1

单位圆与三角函数线

一、学习目标

知识与技能

1.单位圆的概念.

2.有向线段的概念.

3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.

过程与方法

1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.

2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

情感态度与价值观

通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.

二、教学重点、难点

教学重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值

教学难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值

三、教学方法

讲授法

讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.

四、课时

1课时

五、教学过程

教

学

环

节

教学内容师生互动设计意图

课题导入

前面我们研究了三角函数

在各象限内的符号，学习了将任

意角的三角函数化成0°到

360°角的三角函数的一组公

可以通过提问与学生自查相结

合的形式，对所学知识加以回顾，

进而加深对已有知识的巩固和提

高，为下一步的学习做好知识储备。

三角函数线的位

置与角所在的象

限有很大关系，因

此在讲解新课之

式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法前做好知识的准备是十分必要的。

新概念教学

我们首先建立下面的坐标

系：在观览车转轮圆面所在的平

面内，以观览车转轮中心为原

点，以水平线为x轴，以转轮半

径为单位长建立直角坐标系。

设P 点为转轮边缘上的一

点，它表示座椅的位置，记

xOPα

∠=，则由正弦函数的定

义可知sin

MPα

=，

为了几何表示的需要，我们

先来看单位圆的概念：以原点为

圆心，单位长为半径的圆称为单

位圆.单位长——如1 cm、1 dm、

1 m、1 km等等，都是1个单位

长，它们的单位虽不同，但长度

都是1个单位长.即单位圆的半

径是1(个单位长).

（使用多媒体课件，教师边

叙述边作图).

在平面直角坐标系内，作单

位圆，设任意角α的顶点在原

充分发挥多媒体教学的优势，既有

教师的动画演示，又有教师与学生

之间的互动，尽可能多的调动学生

的积极性，多动手，多思考，多探

索，多尝试。

1、用现实中的例

子引入本节内容，

学生不仅可以看

到三角函数还可

以用一条（有向）

线段表示，而且可

以感受到数学知

识在现实生活中

的巨大作用，从而

激发他们学习数

学的浓厚兴趣。

2、单位圆是三角

函数线建立的基

石，离开单位圆就

谈不上三角函数

点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.

显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值.

当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：

如果x＞0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x

＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.

如果ｙ＞0，把MP看作与ｙ轴同向，规定此时MP具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP看作与ｙ轴反向，规定此时MP具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP＝ｙ(与前面所述相同，谈到

MP 与ｙ轴同向或反向时，仍作

从M 到P 的演示，让学生观察)，由上面所述，OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段

于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有

OM

x x

r x MP

y y

r y ========1

cos 1

sin αα

这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.

类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有

AT OA

AT

x y ===

αtan 这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线.

注意：(1)当角α的终边在

ｙ轴上时，余弦线变成一个点，

正切线不存在.

(2)当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.

(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含