高中数学—极坐标系

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高中数学第一章坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化学案北师大版选修4-4

2．1&2.2 极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化[对应学生用书P5][自主学习]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：单；选定一个极轴，叫作Ox 引一条射线O ，自极点极点，叫作O 在平面内取一个定点，这样就建立了一个极坐标系．)通常取逆时针方向(正方向和角的位长度为Ox 表示以θ，用的长OM 线段表示ρ，用M 点的极坐标：对于平面上任意一点(2))θ，ρ(，有序实数对极角的M 叫作点θ，极径的M 叫作点ρ为终边的角度，OM 始边，就叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．可以取任意值；θ，极角0＝ρ在极点时，它的极径M 特别地，当点① ，)θ，ρ(时，Z ∈k ，当无数对点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有②或者<2πθ0≤>0,ρ表示同一个点，如果规定1)π)＋k (2＋θ，ρ－(，π)k 2＋θ，ρ(外，平面内的点和极坐标就一一对应了．极点，那么除≤πθπ<－ 2．点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标与直角坐标的互化：.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ的关系式为)y ，x (化为直角坐标)θ，ρ(的极坐标M 将点① 的关系式为)θ，ρ(化为极坐标)y ，[合作探究]x (将点的直角坐标②.⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x x≠01．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景．联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．2．点M (ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)[对应学生用书P6]由极坐标确定点的位置[例1] 在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，9π4.[思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O 为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．[精解详析] 在极坐标系中先作出π4线，再在π4线上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.同样可作出点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，9π4，如图所示．由极坐标确定点的位置的步骤(1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．；结合⎝⎛⎭⎪⎫3，7π4D ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4B ，(4,0)A ．在极坐标系中，作出以下各点：1图形判断点B ，D 的位置是否具有对称性；并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π))解：如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．由图形知B ，D 两点关于极轴对称，且B ，D 关于极点的对称点的极坐标分别为.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3π4，⎝⎛⎭⎪⎫3，5π4化极坐标为直角坐标[例2] 已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，3，将A ，B 坐标化为直角坐标，并求A ，B 两点间的距离．[思路点拨] 本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．[精解详析] 将A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3由极坐标化为直角坐标，对于点A ，有x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－332，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. 对于点B ，有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332－32 2 ＝4＋12＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ需根据公式：，只)y ，x (化为直角坐标)θ，ρ(M ．将极坐标1可得到；2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．本例中如何由极坐标直接求A ，B 两点间的距离？，则由余弦定理得：)2θ，2ρ(N ，)1θ，1ρ(M 解：根据，ρ21＋ρ2－2ρ1ρ2cos θ1－θ2＝|MN | 4.＝32＋12－2×3×1×co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝|AB |所以化直角坐标为极坐标[例3] 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(－1,1)，(2)(－3，－1)．[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．[精解详析] (1)∵ρ＝－12＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，又点(－1,1)在第二象限， ∴θ＝3π4.∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. (2)ρ＝－32＋－12＝2，tan θ＝－1－3＝33，θ∈[0,2π)，∵点(－3，－1)在第三象限， ∴θ＝76π.∴直角坐标(－3，－1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.即⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x2＋y2，tan θ＝yx x≠0时，运用公式)θ，ρ(化为极坐标)y ，x (将点的直角坐标时，要根据直角坐标的符号特征，判断θ求≠0)x (yx ＝θtan 范围内，由[0,2π)可，在出点所在象限，如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可．2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．．)32，－2－(2)(；)3，(1)(3 ，33＝y x ＝θtan ，32＝32＋32＝ρ(1)解： .π6＝θ在第一象限，所以)3，(3又点 .π6，32的极坐标为)3，(3所以点，4＝－22＋－232＝ρ(2) ，3＝－23－2＝y x ＝θtan .4π3＝θ在第三象限，所以)32，－2－(又点 .⎝⎛⎭⎪⎫4，4π3的极坐标为)32，－2－(所以点本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化，特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题，更成为命题专家的新宠．[考题印证])(的极坐标为P ，则点)3，－(1的直角坐标为P 点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3A.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C. ⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3D. [命题立意] 本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，同时还考查了三角知识及运算解题能力． [自主尝试]，3＝－－31＝θtan ，2＝12＋－32＝ρ 的一个极坐标为P ，故点5π3轴所成的角为x 与OP 在第四象限，所以)3，－(1又点所表示的点在第⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3，所以极坐标π23＝2π＋π43选项．又－B ，A ，排除⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3π.53＝2π＋π3不正确，而－D 二象限，故 [答案] C[对应学生用书P8]一、选择题)(，那么它的极坐标可表示为)2，2－(的直角坐标为P ．点1⎝⎛⎭⎪⎫2，π4A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4C. ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4D. ，2＝－22＋22＝ρ B 解析：选，1＝－2－2＝θtan ∵点P 在第二象限， .3π4＝θ正角最小∴ ) (关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3A ．在极坐标系中与点2⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6D. 关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3A 与点B 解析：选满足条件．B ，这时只有选项)Z ∈k (⎝⎛⎭⎪⎫3，2kπ＋π3 ，那么可能是顶⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4A 的两个顶点是ABC △．在极坐标系中，若等边3点C 的坐标的是( )⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4B.()23，πC.()3，πD. 解析：选B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，π2＋5π4或3π4＝π2＋π4＝θ的极角C ，点π2＝AOC ∠，32＝|OC |∴，7π4＝ .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4的极坐标为C 即点的位置关系是)2θ，2ρ(2M 与点)1θ，1ρ(1M ，则点π＝2θ＋1θ，0＝2ρ＋1ρ．若4( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选 A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可，是关于极轴所在直线对称．π＝2θ＋1θ，0＝2ρ＋1ρ满足)2θ，2ρ(和)1θ，1ρ(知点二、填空题，则2＝|OM |，使M 上取点OP ，在OP 得到射线π6绕极点顺时针方向旋转Ox ．将极轴5ρ>0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0,2π))．解析：ρ＝|OM |＝2，．)Z ∈k π(k 2＋π6终边相同的角为－OP 与 .⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6M ∴.11π6＝θ，1＝k ∴，[0,2π)∈θ∵ ．)π6，(2关于极轴的对称点为M ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6答案：在条件：⎝⎛⎭⎪⎫5，π3A ．点6 (1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是________．，)Z ∈k (⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2kπ＋π3的极坐标形式为A 时，点>0ρ当(1)解析：，符合题意．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π3的极坐标为A ，点1＝－k ．令0)，2π－(∈θ∵ ．)Z ∈k (⎝⎛⎭⎪⎫－5，2k ＋1π＋π3的极坐标的一般形式是⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3时，<0ρ当(2) ，符合题意．⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，10π3标为的极坐A 时，点1＝k ，当4π)，(2π∈θ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，10π3(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π3答案：．________与极轴所在直线的夹角等于l ，则直线⎝⎛⎭⎪⎫7，π6B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3A 过点l ．直线7 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．，π6＝π6－π3＝AOB ∠，7＝|BO |＝|AO |因为 .5π12＝π－π62＝OAB ∠所以 .π4＝5π12－π3－π＝ACO ∠所以 π4答案：中点的一个极坐标是AB ，则⎝⎛⎭⎪⎫－8，π12B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12A ．已知两点的极坐标是8________．示意图，A ，B 与极点O 共线，解析：画出，52＝－8) －(312＝ρ∴.π12＝θ .⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12中点的一个极坐标为AB 故 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12答案：三、解答题9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线的焦点处，当此彗星离地球30万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．解：如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列4种情形：①当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)； ②当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)； ③当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)； ④当θ＝330°时，ρ＝30(万千米)．∴彗星此时的极坐标有4种情形：(30,30°)，(30,150°)，(30,210°)，(30,330°)．为极点．O ，(3,0)和⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的极坐标分别为B 和点A ．在极坐标系中，点10 .AOB △S 求(2)；|AB |求(1) ρ21＋ρ2－2ρ1ρ2cos θ1－θ2＝|AB |解： 22＋32－2×2×3×co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－0＝.7＝4＋9－6＝AOB∠|·sin OB |·|OA |12＝AOB △S ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－0×2×3×sin 12＝ .332＝的两个顶点，求顶点ABC 为等边三角形⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4B ，⎝⎛⎭⎪⎫2，π4A ．在极坐标系中，如果11C 的极坐标．，π4＝θ，2＝ρ有⎝⎛⎭⎪⎫2，π4A 解：法一：对于，2＝π42cos ＝θcos ρ＝x ∴ .2＝π42sin ＝θsin ρ＝y ．)2，2(A ∴ π.54＝θ，2＝ρ有⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4B 对于，2＝－5π42cos ＝x ∴ .2＝－5π42sin ＝y ．)2，－2－(B ∴ 设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故有|AB |＝|BC |＝|AC |.2)2－y (＋2)2－x (＝2)2＋y (＋2)2＋x (有∴ .2)2＋2(＋2)2＋2(＝ ⎩⎨⎧ x －22＋y －22＝16，x ＋22＋y ＋22＝16.有∴ ⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6，解之得．)6，6－(或)6，－6(点的坐标为C ∴ 1.＝－－66＝θtan ，32＝6＋6＝ρ∴11 / 11 .3π4＝θ或7π4＝θ∴ .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4的极坐标为C 点∴ 法二：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)．则有|AB |＝|BC |＝|AC |.⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＋22－2×2ρco s ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22＋22－2×2×2cos π，ρ2＋22－2×2ρ co s ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π4＝22＋22－2×22cos π.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝23，θ＝7π4.或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝23，θ＝3π4解之得 .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4，⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4的极坐标为C 点∴。

高中数学极坐标与参数方程公式大全

高中数学极坐标与参数方程公式大全极坐标公式极坐标是一种用极径和极角来确定平面上点位置的坐标系统。

在高中数学中，我们常常会遇到极坐标与直角坐标之间的转换和相关公式。

点的极坐标表示在极坐标系统中，一个点的位置由极径和极角确定。

极径表示点到极点的距离，通常用字母 r 表示；极角表示点与极轴的夹角，通常用字母θ表示。

通过将直角坐标系中的点 (x, y) 转换成极坐标系下的点(r, θ)，可以使用以下公式：•极径 r：r = √(x^2 + y^2)•极角θ：θ = arctan(y / x)极坐标到直角坐标的转换假设在极坐标系统中，有一个点(r, θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系统下的点：•x 坐标：x = r * cos(θ)•y 坐标：y = r * sin(θ)参数方程公式参数方程是一种用参数表示自变量和因变量之间关系的方式。

在高中数学中，我们常常使用参数方程来描述曲线或者路径。

曲线的参数方程表示对于一个给定的曲线，我们可以使用参数方程来表示。

通常，我们用参数 t 来表示自变量，然后通过指定 x 和 y 的表达式，将参数 t 和 (x, y) 一一对应。

例如，一个曲线的参数方程可以表示为：•x = f(t)•y = g(t)参数方程与直角坐标系的关系通常情况下，参数方程与直角坐标系下的方程之间存在关系。

我们可以通过参数方程将曲线在直角坐标系下表示出来。

在参数方程中，将参数 t 的取值范围确定在一定的区间上，可以画出曲线的一部分或者整条曲线。

极坐标与参数方程之间的转换在一些数学问题中，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。

下面是一些常见的极坐标与参数方程之间的转换公式：极坐标到参数方程的转换•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)上述公式可以表示为参数方程：•x = f(θ) = r * cos(θ)•y = g(θ) = r * sin(θ)参数方程到极坐标的转换给定参数方程 x = f(t) 和 y = g(t)，我们可以通过以下步骤将其转换为极坐标：1.计算 r 的表达式：r = √(f(t)^2 + g(t)^2)2.计算极角θ 的表达式：θ = arctan(g(t) / f(t))可以注意到，在将参数方程转换为极坐标时，需要考虑函数 f(t) 和 g(t) 的符号，以确保角度θ 的取值范围正确。

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

极坐标系-高中数学知识点讲解

极坐标系
1．极坐标系
【知识点的认识】
极坐标系与点的极坐标
在平面上取一个定点O，自点O 引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．
设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）
称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．
由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．
1/ 1。

1.2 极坐标系

B E D A

C
F
高中数学备课组
练习1. 写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标. 0,0 2
解：点A、B、C、D、E、 F、G的极坐标分别为：
A3,0, B(2, ),

4 5 C (3, ), D(1, ), 2 6 4 E2.5, , F (5, ), 3 5 G (4, ). 3
思考：图1-9是某校园的平面示意图，假设某学生在教学楼处，请回答下列问题：
N
实验楼 D
图书馆 C
(1) 他向东偏北60° 方向走120m后到达什么位置？图书馆
该位置唯一确定吗？唯一确定
办公楼 E 45° 50m
120m 60°
A B 60m 教学楼体育馆图1-9
高中数学备课组
思考：图1-9是某校园的平面示意图，假设某学生在教学楼处，请回答下列问题： (2) 若有人打听体育馆和办公楼的位置，他该如何描述？
图1-9
高中数学备课组
思考：类比建立平面直角坐标系的过程, 怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系?
高中数学备课组
1. 极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做极点; 引一条射线OX，叫做极轴; 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）,
这样就建立了一个极坐标系. O
高中数学备课组
二、极坐标系前面我们曾用“在信息中心的西偏北450方向，距离 680 10 m处” 描述了巨响的位置 . 实际上，这是以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离和与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.
这是日常生活中常用刻画位置的方法，体现了极坐标思想 .

高中数学极坐标的转换技巧

高中数学极坐标的转换技巧在高中数学中，我们经常会遇到极坐标的问题。

极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，它由极径和极角两个分量组成。

在解决与极坐标相关的问题时，我们需要掌握一些转换技巧，以便更好地理解和解决这些问题。

一、直角坐标系与极坐标系的转换直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系，它们之间可以相互转换。

要将一个点的直角坐标表示转换为极坐标表示，我们可以利用以下公式：$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$其中，$r$表示极径，$\theta$表示极角。

例如，对于点$A(3, 4)$，我们可以计算出$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，$\theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$。

因此，点$A$的极坐标表示为$(5,\arctan\left(\frac{4}{3}\right))$。

反过来，如果我们已知一个点的极坐标表示$(r, \theta)$，我们可以利用以下公式将其转换为直角坐标表示：$x = r\cos(\theta)$$y = r\sin(\theta)$例如，对于极坐标表示$(2, \frac{\pi}{4})$，我们可以计算出$x =2\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$，$y = 2\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$。

因此，该点的直角坐标表示为$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$。

掌握直角坐标系与极坐标系的转换技巧，可以帮助我们更好地理解和解决与极坐标相关的问题。

二、极坐标系下的直线方程在直角坐标系中，我们可以通过一条直线的斜率和截距来确定其方程。

而在极坐标系中，我们可以通过一条直线的极角和极径来确定其方程。

对于直线$AB$，如果我们已知点$A$的极坐标表示为$(r_1, \theta_1)$，点$B$的极坐标表示为$(r_2, \theta_2)$，那么直线$AB$的极坐标方程可以表示为：$r = \frac{r_2 - r_1}{\cos(\theta - \theta_1)}$其中，$\theta$表示直线上任意一点的极角。

高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标

3π 即ρ＝2rcos 2 －θ，
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线圆心在极点，半径为r的圆圆心为C(r,0)，半径为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适合方程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．

人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)

新课标人教版课件系列选修4－4
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
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教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？有。（ρ ，2kπ +θ ）
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课后作业思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各坐标中, 不是M点的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
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小结：从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
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β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系. 有时用别的坐标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
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(, 2k+)

高中数学极坐标 ppt课件

角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
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5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
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1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
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14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
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11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
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12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
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高中数学极坐标公式

高中数学极坐标公式极坐标公式是描述平面上点的位置的一种坐标系表示方法。

它由一个点到原点的距离（极径）和从正半轴逆时针旋转的角度（极角）两个参数组成。

高中数学中，极坐标公式是一个重要而且常用的工具，可以解决一些复杂的几何问题。

一、极坐标的表示方法极坐标公式可以用一个有序数对(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示从正半轴逆时针旋转的角度。

在平面直角坐标系中，点P(x,y)的极坐标可以通过以下公式转换得到：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。

二、极坐标公式与直角坐标系的转换极坐标公式与直角坐标系之间可以相互转换。

给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其直角坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)反之，给定一个点的直角坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)三、极坐标的性质和应用1. 极坐标中的角度是以弧度为单位的，而不是以度为单位。

一圈的弧度数为2π，360度等于2π弧度。

2. 极坐标公式可以简化一些复杂的几何问题。

例如，对于一条直线，我们可以通过将直线转换为极坐标方程，从而更容易找到它的参数方程。

3. 极坐标公式在物理学和工程学中也有广泛的应用。

例如，极坐标公式可以用来描述电场和磁场的分布，以及天体运动的轨迹等。

4. 极坐标公式还可以用来表示复数。

复数可以用极坐标形式表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示辐角。

这种表示方法在复数的乘法、除法和幂次运算中特别有用。

四、极坐标公式的例题解析1. 例题1：求点P(3, 4)的极坐标表示。

解：根据公式，我们可以计算出点P到原点的距离r为√(3^2 + 4^2) = 5，点P与正半轴的夹角θ为arctan(4/3)。

因此，点P的极坐标表示为(5, arctan(4/3))。

高中数学课件《极坐标系》

(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．

高中数学——极坐标专题(教案)

极坐标专题一、解答题1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C 的极坐标方程； (2)已知射线1π:02l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O ，A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转π3得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O ，B 两点．当AOB 的面积最大时，求α的值，并求AOB 面积的最大值．2．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求,A B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.3．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt=⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.6．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线24cos C ρθ=：. （Ⅰ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a . 7．已知圆1C：(223x y +=，圆2C ：2cos ρθ=.(1)将圆1C 化成极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知直线θα=与圆1C 、圆1C 分别交于P Q 、两点（P Q 、都不是原点），求PQ 的最大值.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)若1π,2A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线l 上一点，2π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求OAB 的面积.9．已知圆1C：(223x y +=，圆2C ：2cos ρθ=．(1)将圆1C 化成极坐标方程； (2)在极坐标系中，已知直线3πθ=与圆1C 、圆2C 分别交于P Q 、两点（P Q 、都不是原点），求PQ 的值．10．曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(2)求曲线1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<．参考答案：1．【答案】(1)4cos ρθ= (2) π12α=，AOB面积的最大值为92+【解析】(1)由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得()2224x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入2240x y x +-=，得24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=，故曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．(2)依题意，设()1,A ρα，2π,3B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．则14cos ρα=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入曲线2C 的方程()2239x y +-=，得6sin ρθ=，即曲线2C 的极坐标方程为6sin ρθ=．则2π6sin 3ρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以)2121ππsin sin sin cos 233AOB S ρρααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭△99π92cos 222232ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭．由π02α<<，有ππ4π2333a <+<．所以当AOB 的面积最大时，当且仅当ππ232α+=，此时，π12α=，且AOB面积的最大值为92+ 2．【答案】（1（2）2.【解析】【分析】(1)由题意，在OAB 中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离. 【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2π），由余弦定理，得AB（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．3．【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y－5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====为极坐标试题解析：（1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t =+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程4．【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值为2试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=.由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）.（2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S取得最大值2+所以△OAB面积的最大值为2+点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 5．【答案】（1）()2240x y y -=≠（2【解析】【详解】（1）消去参数t 得1l的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k =+.设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==.代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.6．【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=（Ⅱ）1 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）把cos {1sin x a ty a t ==+化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.7．【答案】(1)ρθ= (2)4【解析】【分析】（1）将圆1C 的方程展开，然后可得答案；（2）当θα=时，可得122cos PQ ρραα=-=-，然后利用三角函数的知识求解即可. (1) 将圆1C：展开得：2233x y +-+=，于是2sin 0ρθ-=，即圆1C的极坐标方程为0ρθ-=，得ρθ=；(2) 当θα=时，得1ρα=、22cos ρα=，则122cos 4sin 46PQ πρρααα⎛⎫=-=-=-≤ ⎪⎝⎭，即PQ的最大值为4.8．【答案】(1)πcos 43ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2220x y y +-= (2)2【解析】【分析】（1）先消去参数求出直线线l 的直角坐标方程，进而利用公式求出直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）分别代入直线l 的极坐标方程及曲线C 的极坐标方程，求出12,ρρ，利用三角形面积公式求出△OAB 的面积.(1)直线l的参数方程为1112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t （其中t 为参数）．消去参数t 得直线l 的直角坐标方程为:8x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程()cos 8ρθθ=，即πcos 43ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=．(2)因为1π,2A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，2π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线C 上，所以1πcos46ρ=，解得：1ρ=，而2π2sin 16ρ==，所以△OAB的面积121ππ1π1sin sin 12262232S OA OB ρρ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭．9．【答案】(1)ρθ= (2)2【解析】【分析】（1）由圆1C 2233x y +-+=，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解；（2）由3πθ=，分别求得12,ρρ，由12ρρ=-PQ 求解．(1)解：将圆1C：展开得：2233x y +-+=，所以2sin 0ρθ-=，即圆1C的极坐标方程分别为0ρθ-=，得ρθ=； (2) 当3πθ=时，得133πρ==，22cos13πρ==，则122PQ ρρ=-=．10．【答案】(1)22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2),2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.【解析】【分析】（1）应用同角三角形函数的平方关系消参，得到直角坐标方程，再由公式法写出极坐标方程即可. （2）写出2C 的直角坐标方程，联立1C 求交点坐标，再转化为极坐标形式即可.(1)曲线1C 的参数方程为12sin x cos y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），则cos 1sin 2x y αα=-⎧⎨=-⎩，所以直角坐标方程为()()22121x y -+-=，由公式法，可得极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(2) 曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可得其直角坐标方程为2220,x y y +-= 所以()()222212120x y x y y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以交点极坐标为,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭.。

极坐标系的极坐标方程的图形和曲线

极坐标系的极坐标方程的图形和曲线极坐标系是数学中常见的一种坐标系，高中数学课程中也有所涉及。

极坐标系常用于描述平面上的曲线、图形等。

极坐标系与直角坐标系相比，具有独特的优势，能够更加直观地表达曲线和图形，更加便于理解和计算。

极坐标系的基础知识：极坐标系是由一个点与一个极轴以及一个极角所确定的坐标系，可以表示为(r,θ)，其中r表示极径，θ表示极角。

在极坐标系中，极轴是一个固定的直线，通常与x轴平行，极径则是一个变化的线段，通常从原点出发。

而极角则是极径与极轴之间的夹角，通常从极轴正方向开始顺时针旋转。

极坐标方程是一种以极坐标系表示的曲线方程，其形式为：r = f(θ)。

其中r和θ分别表示极坐标系中的极径和极角，f(θ)是一个关于极角θ的函数，其值通常为非负实数。

极坐标方程可以表示各种各样的曲线和图形，例如圆形、心形、螺旋线、星形等等。

以下是几种常见的极坐标方程及其图形：1. 圆形r = a圆形可以用极坐标方程r = a表示，其中a为圆的半径。

当θ从0到2π变化时，r保持不变，圆形被完整地表达出来。

2. 心形r = a(1 + sinθ)心形可以用极坐标方程r = a(1 + sinθ)表示。

当θ从0到2π变化时，r的值呈现出心形曲线，形状如同两个相交圆形组成的心形。

3. 螺旋线r = aθ螺旋线可以用极坐标方程r = aθ表示。

当θ从0到2π变化时，极径r的值随着θ的增加而不断变大，形成一个不断扩展的螺旋线。

4. 星形r = acos(θ/2)星形可以用极坐标方程r = a cos(θ/2)表示。

当θ从0到4π变化时，r的值呈现出如同五角星的形状，其中θ的变化导致了边缘出现凸起和凹陷的特征。

总结:极坐标系是一种具有独特优势的坐标系，能够更加清晰、直观地表达曲线和图形。

极坐标系中，极坐标方程是一种精确而便捷的表示方式，可以表示各种各样的曲线和图形，例如圆形、心形、螺旋线、星形等等。

掌握极坐标系的基础知识和极坐标方程的表示方式，对于数学学习和实际应用都非常有益。

极坐标系-人教版高中数学

知识图谱-极坐标方程曲线的极坐标方程直线的极坐标方程极坐标方程的应用第02讲_极坐标系错题回顾极坐标方程知识精讲一．曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程，如果曲线是由极坐标满足方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线的极坐标方程．2．极坐标方程与直角坐标方程的异同曲线的直角坐标系方程必须满足（1）曲线上任意一点的坐标都满足方程；（2）所有适合方程的所对应的点都在曲线上．曲线的极坐标方程由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组能满足极坐标方程，有些表示形式可能不满足方程．二．直线的极坐标方程若直线经过点，且极轴到此直线的角为，则直线的极坐标方程为推导如下：如图，设直线上任意一点为，在中，由正弦定理，得因为，所以直线的极坐标方程为．几个特殊位置的直线的极坐标方程：1．直线过极点：和；2．直线过点且垂直于极轴：；3．直线过且平行于极轴：.三．圆的极坐标方程若圆心的坐标为，圆的半径为，则圆的极坐标方程为.推导如下，如图，设圆上任意一点为，在中，由余弦定理，得．故圆的极坐标方程是.几个特殊位置的圆的极坐标方程：1．圆心位于极点，半径为的圆的极坐标方程为；2．圆心位于，半径为的圆的极坐标方程为；3．圆心位于，半径为的圆的极坐标方程为．三点剖析一．方法点拨1．极坐标方程与直角坐标方程的转化当我们把极轴与平面直角坐标系的轴正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，则有和，利用这两个公式我们不仅可以把平面上的点的两种坐标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转化．在进行转化时，要注意：（1）互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的长度单位相同；（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在范围内求值；（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；（4）由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．2．极坐标方程的求法关键三角形法：寻找一个关键三角形，使动点的极径与极角与已知条件构成该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为关键三角形法．若三角形为直角三角形，可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程，若三角形为一般三角形，可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程．题模精讲题模一直线的极坐标方程例1.1、求（1）过点平行于极轴的直线．（2）过点且和极轴成角的直线．例1.2、如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l 的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=____．例1.3、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos（θ-）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．题模二曲线的极坐标方程例2.1、曲线ρ=2cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为____．例2.2、曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为____________．例2.3、在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，已知，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．例2.4、在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．题模三极坐标方程的应用例3.1、极坐标方程表示的曲线为（）A、极点B、极轴C、一条直线D、两条相交直线例3.2、设过原点的直线与圆的一个交点为，点为线段的中点，当点在圆上移动一周时，求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线例3.3、选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=1+，圆C的圆心是C(，)，半径为．（1）求圆C的极坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．随堂练习随练1.1、已知点P的极坐标是（2，π），则过点P且垂直极轴的直线方程是（）A、ρ=2B、ρ=2cosθC、ρ=-D、ρ=随练1.2、已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为____．随练1.3、在极坐标系中，圆C的圆心为（6，），半径为5，直线θ=α（0≤α≤，ρ∈R）被圆截得的弦长为8，则α的值为（）A、B、C、D、以上都不对随练1.4、表示的曲线是（）A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线随练1.5、极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为____．随练1.6、在极坐标系中，过圆ρ=4cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为____．随练1.7、已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．随练1.8、在极坐标系中，已知圆ρ=2rsinθ（r＞0）上的任意一点M（ρ，θ）与点N（2，π）之间的最小距离为1，则r=____．自我总结课后作业作业1、极坐标系中，过点（2，）且与极轴垂直的直线方程为（）A、ρ=-4cosθB、ρcosθ-1=0C、ρsinθ=-D、ρ=-sinθ作业2、在极坐标系中，过点(2，)作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是____．作业3、极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A、一条射线和一个圆B、两条直线C、一条直线和一个圆D、一个圆作业4、在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=﹣2cosθ，ρcos（θ+）=1（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使||•||=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．作业5、在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为____．作业6、在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是____________________．作业7、在极坐标系中，直线与曲线相交于，两点，为极点，则的大小为（）A、B、C、D、作业8、如图，点在直线上移动，为等腰直角三角形，的顶角为（依次按顺时针方向排列），求点的轨迹方程，并判断轨迹形状．。

高中数学知识点总结( 坐标系与参数方程第一节坐标系)

坐标系与参数方程第一节坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ＞0，y ′＝μ·y μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ.一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1，与x 2＋y 2＝1，比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2，化成直角坐标方程为y ＝33(x －4)，则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性． [题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1，把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2，所以|P Q|＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ，由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2，所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即(x －3)2＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R)与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0，故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|O Q|的值．解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ， ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)设P (ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|O Q|＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的方程为y 2＝x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ，得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1，x ＝－4(舍去)，当x ＝1时，y ＝±1，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A (1,1)，B (1，－1)，所以ρA ＝1＋1＝2，ρB ＝1＋1＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1，因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A 在第一象限，点B 在第四象限，所以θA ＝π4，θB ＝7π4，故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，7π4.。

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5
6
).
E(2.5, ).
F (5,
4
3
).
G(4,
5
3
).
2
C
DB
E
A
4
x
G
4 F
5
3
3
2. 中央气象台在 2004 年 7 月 15 日 10:30 发布的一则台风消息: 今年第 9 号热带风暴 “圆规” 的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440 公里的南海东北部海面上, 中心附近最大风力有 9 级. 请建立适当的坐标系, 用坐标表示出该台风中心的位置.
解: 以广东省汕尾市为极
点, 正东方向为极轴的正方向,
建立极坐标系.
则台风中心的极坐标为
(440,
7
4
).
O 45
x
汕尾市 440 km
P
台风中心
求
3. 在极坐标系中, A, B 两点间的距离.
已知两点 A(3,
3
),
B(1,
2
3
).
解: 如图, A, B 与极点在同一直线上,
所以 A, B 两点间的距离是
角坐标与极坐标的关系是
x=rcosq, y=rsinq.
r2 = x2 y2,
tanq
=
y x
(
x
0).
例3.
将点 M 的极坐标 (5,
2
3
)化成直角坐标.
解:
∵r =5,
q
=
2
3
,
∴x=rcosq
=
5cos
2
3
=
5 2
,
y=rsinq
=
5sin
2
3
=
53 2
,
∴点
M
的直角坐标为 (
5 2
,
5
3 2
【课时小结】
1. 极坐标系
在平面内取一个定点 O, 叫做极点; 自极
点 O 引一条射线 Ox, 叫做极轴; 再选定一个
长度单位、一个角度单位 (通常取弧度) 及其正
方向 (通常取逆时针方向), 这样就建立了一个
极坐标系.
r
q
O
M(r, q )
x
【课时小结】
2. 点的极坐标
r M(r, q )
点 M(r, q )
3
4
).
A
60 60 m
B 体育馆
如图, 在平面内取一个定点 O, 叫做极点; 自极点 O 引一条射线 Ox, 叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度) 及其正方向 (通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.
设 M 是平面内一点, 极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的
A, B 两极径之和, 即
B 2
13
|AB|=13=4.
O
3
x
3
A
第二课时极坐标和直角坐标
的互化
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1. 怎样建立直角坐标与极坐标的关系?
2. 极坐标和直角坐标的互化公式是怎样的?
问题4. 如图, 点 M 的极坐标是 M(r, q ), 请你
以极点为原点以极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,
3 2
,
), 求它的直角坐标.
解: r = 3,
q
=
4
,
4
),
( 2,
2
3
),
( 4,
2
),
x =
3cos 4
=
32 2
,
y
=
3sin
4
=
3
2 2
,
∴点 (3,
4
) 的直角坐标为( 3
2 2
,
3
2 2
).
(
4. 已知点的极坐标分别为 (3,
3 2
,
), 求它的直角坐标.
解:r = 2,
q
=
2
3
你能写出点 M 的直角坐标吗? y
如图建立直角坐标系后, 设点 M 的直角坐标为 M(x0, y0), y0
x0=OA= r cosq,
y0=AM= r sinq,
O
M(r, q )
A x0 x
∴M 点的直角坐标为
M(rcosq, rsinq ).
问题4. 如图, 点 M 的极坐标是 M(r, q ), 请你
3 ),
(0,
5 3
),
解: x = 0,
y=
5 3
,
点在 y 轴负半轴上,
得r=
5 3
,
q
=
3
2
,
∴所求点的极坐标为
(
5 3
,
3
2
).
5. 已知点的直角坐标分别为(3,
(
7 2
,
0),
( 2,
2
3),
求它们的极坐标.
3 ),
(0,
5 3
),
解:
x
=
7 2
,
y = 0,
点在 x 轴正半轴上,
r
以正西为参照方向画一方向箭头.
点 P 可用距离和角度表示:
P(680
10,
4
).
如此, 你能表示
西
出 A、B 两点吗?
P 巨响处
680 10
A
4
340 10
O 信息中心
A(340 10, 0).
B(340
10,
2
).
B
问题2. 如图是某校园的平面示意图. 假设某同学
在教学楼处. 类似问题1, 以正东为参照方向, 你能描
4
)与
(2,
9
4
)
表示同一点.
Hale Waihona Puke 如果规定 r >0, 0≤q <2, 则 (r, q )
表示唯一点.
第 1、2、3 题.
1. 写出图中 A, B, C, D, E, F, G 各点的极坐标
(r >0, 0≤q <2).
解: 图中各点的极坐标
5
分别为
6
A(3, 0).
B(2,
4
).
C(3,
2
).
D(1,
=
4
3
,
∴所求点的极坐标为 (3,
4
3
).
极坐标, 并标出点在的位置.
D(2,
6
),
E(4,
3
4
),
F (3.5,
5
3
)所
解: 点 A, B, C 的坐
7 2 12 3 3
2
5 12
3
标分别为
A(1, 0),
C(5,
4
3
).
点 D, E,
5 4
B
B(4,
2
),
116 E
12
D A
13
127
F 的位置如图: 65 4
4 C
3 17 3 12 2
问: 你认为化直角坐标为极坐标时应注意什么?
注意点的位置以求极角.
【课时小结】
极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴, 取相同长度单位则
x=rcosq, y=rsinq.
r2 = x2 y2,
tanq
=
y x
(
x
0).
第 4、5 题.
(
4. 已知点的极坐标分别为 (3,
F
19 12
5 3
4 6
12
x
23 1112
6
7 4
例2. 如图, 用点 A, B, C, D, E 分别表示教学楼, 体育馆, 图书馆, 实验楼, 办公楼的位置. 建立适当的极坐标系, 写出各点的极坐标.
解: 以A为极点, AB 所在的 D
C
射线为极轴 (单位长度为 1 m),
建立极坐标系. 则各点的极坐标为
).
例4. 将点 M 的直角坐标 ( 3, 1) 化成极坐标.
解: x = 3, y = 1.
r = x2 y2= ( 3)2 (1)2 =2,
tanq
=
y x
=
1 3
=
3 3
,
又 x = 3 0, y = 1 0,
即点 M 位于第三象限,
∴取
q
=
7
6
,
则点 M 的极坐标为 (2,
7
6
).
以极点为原点以极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系,
你能写出点 M 的直角坐标吗? y
一般地, 把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作 y0
M(r, q )
为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位. 设 M 是平面 O 内任意一点, 它的直角坐标是
A x0 x
(x, y), 极坐标是 (r, q ). 则直
一个极坐标表示吗?
因为
6
,
6
2
,
6
4
,
6
2
表示同一终边,
所以, 所给的四个点表示同一点.
一个极坐标表示唯一点, 而一个点的极坐标表示
不唯一.
(4,
6
问 4题 ),3.(4在, 极6 坐2标)系表中示,的(点4, 有6什), 么(4关, 系6 ?
2 ), 一个
极坐标表示唯一的一个点吗? 一个点只能用唯一的
述下列问题吗?
(1) 该同学向东偏北 60 方向走 120 m 后到达的位