平面向量的加法运算

示, 精确到度).
uuur uuur
解：(2)在直角三角形ABC中，| AB | 2,| BC | 5
uuur uuur uuur
| AC | | AB |2 | BC |2
D
C
22 52
29 5.4
Q tan CAB 5
由计算器得CAB
2

68o.
A源自文库
B
答：船实际航行速度约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角约为68º。
a
b
三 角 形 法 则: C
平行四边形法则: C
b
B
B
b
b
A
A
a
O
a
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
两种方法做出的结果一样吗?为什么？
方法提炼
向量加法的三角形法则:
1.将向量平移使得它们首尾相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
向量加法的平行四边形法则:
1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线
b a
r 对于零向量与任一向量a, 我们规定
rrrr r a0 0a a
r
r
例1：向量 a 为北偏东45°,大小为3cm,向量 b 为
北偏r 西r60°,大小为4cm，用向量加法三角形法则作 出ab
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留 两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水速度间的夹角表 示, 精确到度).
C
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
F E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
rr
rr
问题： b a的结果与a b是否相同?
a
r
b
O
r a
r
bb
b
r
aa
B
(你ar 能 br证) 明cr向量ar 加(法br 的cr结) 吗合吗？律?:
(你ar 能 br证) 明cr向量ar 加(法br 的cr结) 吗合？律:
A ar
C r b
B
你(ar能 b证r )明 cr向量ar 加 (法br 的cr结) 合吗律？:
O
问:力F与力F1、F2有怎样的关系？ F1+F2=F
C
F
B
上述事例表明，两个向量可以相 加，并且两个向量的和还是一个 向量. 一般地，求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
a
b
C
C
B
B
A
A
O
AB BC AC
两种方法做出的结果一样吗?为什么？
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
D 一个向量的终点为终
A
C B
点的向量，即为这n 个向量的和向量.
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF
将n 个向量首尾
E 相接，以第一个向量
的起点为起点，最后
D 一个向量的终点为终
A
C B
点的向量，即为这n 个向量的和向量.
uuur uuur uuur uuur uuur
(2)
当向量uar与ubr不共线时,
则
ur ur
ab

ur
a
ur
b;
rr r r 什么时候 a b a b ?
当向量uar与ubr同向时, 则uar ubr、uar、ubr同向,则
ur ur ur ur
ab a b;
rr r r
rr
什么时候 a b a b（或 b a ) ?
情 境 设 （置二）
E
O
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
E
O
F
问:力F与力F1、F2有怎样的关系？ F1+F2=F
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
情
境
E
O
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
设
（置二）
C
rr ab
r b
60° B
r 45° a
A
uuur uuur uuur AB BC AC
首尾顺次相接 首指向尾为和
r
r
例练题习1：向量 a 为北偏东45°,大小为3cm,向量 b 为r r
北偏西60°,大小为4cm，用加平法行三四角边形形法法则则作出 a b
uuur uuur uuur
r r uuur
o
A
B
a+b=OB
r r uuur
OA
a+b=OA
探究：什么时候
rr r r ab a b ?
(2)
rr r r 什么时候 a b a b ?
rr r r
rr
什么时候 a b a b（或 b a ) ?
探究：什么时候
rr r r ab a b ?
uuur uuur
AB BC CD DE EF L JK AK
学以致用
练习2：化简
(1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB __M__N____
(3)AB BD CA DC __0___
当向量uar与ubr反向时,
若
ur
a

ur
b,
则uar ubr的方
向与uar相同, 且
ur
a
ur
b

ur
a

ur
b
;反之
ur
a
ur
b

ur
b

ur
a
向量加法的运算律：
rr
rr
问题： b a的结果与a b是否相同?
a
r
b
O
r a
r
bb
b
r
aa
B
向量加法的运算律： r r r r
（一）向量加法的交换律 a b b a
情 境 设 （置一）
香港
上海 台北
情 境 设 （置一）
A香港
O上海
台北
B
O OA+AB=OB
B A
1.橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 2.橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
情 境 设 （置二）
E
O
E
O
F
问:力F与力F1、F2有怎样的关系？ F1+F2=F
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
A
F
O
问:力F与力F1、F2有怎样的关系？ F1+F2=F
C
F
B
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
情 境 设 （置二）
E
O
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对角线
uuur uuur uuur OA+OB=OC
E
A
O
F
D
C
A
B
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留
两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水速度间的夹角表
ar

r b
A
C
B
你(ar能 b证r )明 cr向量ar 加 (法br 的cr结) 合吗律？:
D
ar

r b
A
C
B
(你ar 能 br证) 明cr向量ar 加(法br 的cr结) 吗合吗？律?:
r (a

r b
)

r c
D
c
A
ar

r b
a
b
a
b
C
B
你(ar能 b证r )明 cr向量ar 加 (法br 的cr结) 合吗律？:
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输. 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留 两个有效数字) ；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用江水速度间的夹角表 示, 精确到度).
JF E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF E
D
C
A
B
如果三个向量相加，四个向量相加， …n 个向量相加，和向量又如何？
JF
将n 个向量首尾
E 相接，以第一个向量
的起点为起点，最后
解：( AB BC) CD
uuur uuur
AC CD
A
C
B
学以致用
化简( AuuBur uBuuCr ) uCuuDr
练习1：化简( AB BC) CD
uuur uuur uuur
D
解：( AB BC) CD
uuur uuur
AC CD
uuur
A
AD
学以致用
uuur uuur uuur 练习1：化简( AB BC) CD
uuur uuur uuur
D
解：( AB BC) CD
uuur uuur
AC CD
A
C
B
学以致用
uuur uuur uuur 练习1：化简( AB BC) CD
uuur uuur uuur
D
ab

ur
a
ur
b;
rr r r 什么时候 a b a b ?
当向量uar与ubr同向时, 则uar ubr、uar、ubr同向,则
ur ur ur ur
ab a b;
rr r r
rr
什么时候 a b a b（或 b a ) ?
探究：什么时候
rr r r ab a b ?
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
复习引入
向量的定义及有关概念:
（1）向量是既有大小又有方向的量.
（2）大小相等、方向相同的向量相 等.与起 点位置无关。
复习引入
问题: 数可进行加法运算，例如：1＋2＝3 ．
向量可以相加吗？如果可以该如何定义向 量的加法？模为1 的向量与模为2的向量相 加是否一定是模为3的向量呢？
(2)
当向量uar与ubr不共线时,
则
ur ur
ab

ur
a
ur
b;
rr r r 什么时候 a b a b ?
rr r r
rr
什么时候 a b a b（或 b a ) ?
探究：什么时候
rr r r ab a b ?
(2)
当向量uar与ubr不共线时,
则
ur ur
r a
(（abr
b)cr） c
D
r b

cr
c
A
a
C
b
B
你(ar 能 b证r ) 明cr向量ar 加 (法br 的cr结) 吗合？律:
r a
(（abr
b)cr） c
(ar

r b
)

cr
ar

r b
D
r b

cr
c
AA
a
b
C
B
学以致用
uuur uuur uuur 练习1：化简( AB BC) CD
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?并作图探究.
D
C
5
A2 B
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
uuur uuur uuur
C
AB
C

BC

AC
D AB AC AD
r
b
rr
60°60° C
ab
BB
rr
ab
B
45°45°
r a
AA
首尾顺次相接 首指向尾为和
r b
r 60° 45° a
A
起点相同，共点对角线 为和
问：若向量 与 共线，如何求向量 +
r r uuur
o
A
B
a+b=OB
问：若向量 与 共线，如何求向量 +