专题：抛物线与圆性质的综合应用问题(含答案)

专题：抛物线与圆综合探究题

抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。

例1、抛物线

2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，

(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．

解：（1）将(0,3)

C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2

，

得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-

a

b

．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322

--=x x y ．（2）AC

与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为

(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，

又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． （3）设1(,)M x y 、

2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）

、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)

整理得： 42-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042

=--r r ，解得，21711+=

r ， 2

17

12-=r （舍去），当0

=-+r r ，解得，21711+-=r ， 2

1712--=r （舍去）．所以圆的半

径是2171+或2

171+-．

例2、已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx-4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c =++2经

过O 、A 两点。 ⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明

理由。

（1）解法一：∵一次函数y

kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为

（4，0）∵抛物线

c bx ax y ++=2经过O 、

A 两点04160=+=∴b a c ，a b 4-=∴ 解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点 A ∴点A 的坐标为（4，0）∵抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线

x =2∴=-

=x b

a

22

（2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为

y ax ax =-24∴点D 的坐标为（24，-a ） ①当a >0时， 如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA

⌒，它沿x

轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒，显然OnA ⌒

所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称

∵点O 在⊙D'上，且OD 与⊙D'相切 ∴点O 为切点∴D'O ⊥OD ∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°∴△

ADO 为等腰直角三角形∴=OD 22∴点D 的纵坐标为-22

42

1

2

4-=-==∴-=-∴a b a a ， ∴抛物线的解析式为x x y 22

12

-= ②当a <0时， 同理可得：22=OD 抛物

线的解析式为x x y 2212+-= 综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-1222或x x y 22

12

+-=

（3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得OBA POA ∠∠3

4

= 设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①

当点P 在抛物线

y x x =

-1222上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点 ∴==︒∠∠OBA ADO 1

2

45 ︒==∴6034

OBA POA ∠∠ 过点P 作PE ⊥x 轴于点E x

y x

y OE

EP

POE 360tan tan =∴︒

=∴=

∴∠ 由

⎪⎩

⎪

⎨⎧-==x

x y x

y 22132

解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+=+=00

3463242

211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()

34632

4++， ②当点P 在抛物线y x x =-

+12

22

上时（如图3） 同理可得，

y x =3 由

⎪⎩

⎪

⎨⎧+-==x x y x y 22132

解得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=003463242

211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()

346324+--， 综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为

()34632

4++，或()

346324+--，

例3、如图，在直角坐标系中，⊙C 过原点O ，交x 轴于点A （2，0），交y 轴于点B （0

，。 ⑴求圆

心的坐标； ⑵抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 过O 、A 两点，且顶点在正比例函数 y

＝－

3

x 的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心C 作平行于x 轴的直线DE ，交⊙C 于D 、E 两点，试判断D 、E 两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P （x 0，y 0），满足∠APB 为钝角，求x 0的取值范围。

解：（1）∵⊙C 经过原点O ， ∴AB 为⊙C 的直径。 ∴C 为AB 的中点。