泰勒公式的深刻理解
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理（Taylor's theorem）是一个数学定理，描述了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值与它在该点处的函数值及各阶导数之间的关系。
泰勒公式（Taylor series）是泰勒定理的一个特例，表达了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值为无限次可导函数在该点处的函数值及各阶导数的线性组合。
泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(x)表示要近似的函数，f(a)表示函数在某个点a处的函数值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数，(x-a)表示自变量和点a之间的差值，n!表示n的阶乘。
公式右侧的无穷级数表示了函数在点a处的各阶导数对函数值的贡献。
泰勒公式在数学和工程中广泛应用，能够以多项式逼近复杂函数，帮助简化计算和分析。
泰勒公式介绍
泰勒公式介绍
泰勒公式（Taylor's theorem）是微积分中的一个重要定理，由英国数学家布鲁尔·泰勒（Brook Taylor）于18世纪初提出。
它是一种以多项式近似表示函数的方法，可用于在某一点附近展开函数为无限项的幂级数。
泰勒公式表达了任何可导函数在某一点附近可以通过多项式来近似表示的理论。
具体而言，设函数f(x)在[a, b]上具有n+1阶导数，则对于任意的x_0∈(a, b)，存在一个介于x和x_0之间的c，使得：
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + f''(x_0)(x-x_0)^2/2! + ... +
f^n(x_0)(x-x_0)^n/n! + R_n(x)
其中f'(x_0)表示f(x)在x_0点的一阶导数，f''(x_0)表示f(x)在x_0点的二阶导数，以此类推，f^n(x_0)表示f(x)在x_0点的n 阶导数。
此外，R_n(x)表示余项，表示了使用泰勒公式进行多项式近似时的误差。
根据泰勒公式，通过选取适当的多项式项数n，可以使得多项式在某一点附近与原函数的值非常接近，从而可以将复杂的函数问题转化为简单的多项式问题。
这在数值计算和近似计算中具有极大的应用价值。
需要注意的是，泰勒公式只能在某一点附近进行多项式近似，因此近似的有效性局限于x不太远离x_0的范围。
此外，在一些边界或奇点附近，泰勒级数可能会出现发散现象，导致近似
失效。
因此，在应用泰勒公式时需要谨慎选择合适的展开点和多项式项数。
泰勒公式的几何意义
泰勒公式的几何意义嘿，咱来聊聊泰勒公式的几何意义！泰勒公式这玩意儿，在数学里可有着相当重要的地位。
那它的几何意义到底是啥呢？咱先从一个简单的例子说起。
比如说，你画了一条曲线，弯弯绕绕的，看起来挺复杂。
但泰勒公式就像是一个神奇的魔法，能把这条曲线用一系列简单的多项式给近似地表示出来。
想象一下，你正在一个公园里散步。
公园里有一条小溪，溪水的流动轨迹就像是那弯弯绕绕的曲线。
而泰勒公式呢，就好像是你手中的画笔，能够把这溪水流动的大致轮廓给描绘出来。
当我们只取泰勒公式的前几项时，得到的多项式就像是对这条曲线的一个初步“勾勒”。
就好比你刚开始画画，只是用简单的线条勾勒出物体的大致形状。
随着我们增加泰勒公式的项数，这个多项式对曲线的近似就越来越精确，就好像你在不断地细化你的画作，添加更多的细节，让画面越来越逼真。
比如说，对于函数$f(x) = \sin x$，它的泰勒展开式是$f(x) = x -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ 。
如果我们只取前两项$x$，那它就是一条直线，和真正的正弦曲线相比，差距很大。
但当我们增加到前三项$x - \frac{x^3}{3!}$时，就能更好地近似正弦曲线了。
再想想，你在做一个雕塑。
一开始，你可能只有一个大致的形状，这就像是泰勒公式的前几项。
随着你不断地雕琢，添加更多的细节，就越来越接近你心中完美的作品，这就好比增加泰勒公式的项数，让近似更加精确。
泰勒公式的几何意义还体现在它能够帮助我们理解函数在某一点附近的局部性质。
通过泰勒公式，我们可以知道函数在这一点的切线、曲率等几何特征。
比如说，函数在某一点的切线斜率就可以通过泰勒公式的一阶导数得到。
这就好像你在路上跑步，你在某一刻的速度就相当于函数在那一点的切线斜率。
而且啊，泰勒公式在工程、物理等领域也有广泛的应用。
比如在物理学中研究物体的运动轨迹，工程师设计复杂的曲线结构时，泰勒公式都能派上大用场。
泰勒公式的意义
泰勒公式的意义泰勒公式是微积分学中的一种基础公式，通过泰勒公式，可以将任一一点处的函数值表示为该点的各阶导数与函数在该点的展开式之和，其实质是一个无限多项式。
泰勒公式在物理学、工程学、计算机科学等领域中经常被使用，其具有极为重要的意义。
首先，泰勒公式可以用于函数的近似计算。
当一个函数不易进行求导和积分时，可以使用泰勒公式来构造一个多项式函数，该多项式函数可以比原函数更容易求导和积分。
其次，泰勒公式也经常被用于求出某一函数的特定点处的函数值。
使用泰勒公式，可以将该点处的函数值使用无限多项式表示出来，其中每一项都可以使用函数在该点处的导数进行计算。
由于导数通常比函数本身更容易求解，因此通过泰勒公式求出的值可以更快速、更准确地计算。
最后，泰勒公式也可以用于分析函数在某一点的局部性质。
通过某一点处的导数信息，可以推断出该点处的函数值的变化趋势、函数的单调性、凸凹性等多种函数性质。
在实际应用中，泰勒公式常常被用于解决各种问题。
例如，在工程学中，泰勒公式可以用于构建各种数值模拟和优化算法；在物理学中，泰勒公式可以用于对物理实验的数据进行分析；在金融学中，泰勒公式可以用于金融交易中的风险管理和价格定价等方面。
需要指出的是，泰勒公式具有一定的局限性。
当原函数在某个点的导数不存在或者不收敛时，泰勒公式就无法使用。
同时，泰勒公式的精度随着项数的增加而提高，但在某些情况下，对于某些比较平滑的函数，只需要考虑最基本的项即可。
总而言之，泰勒公式作为微积分学中的一种基础公式，不仅具有学术意义，也具有非常实用的意义。
在各种应用领域中，泰勒公式都可以用于解决各种问题，并取得了广泛的应用和成功的实践。
因此，对于学习泰勒公式的人来说，熟练掌握该公式的使用方法和适用范围，是非常重要的。
对泰勒展开式的理解
对泰勒展开式的理解一、泰勒展开式的原理泰勒展开式的核心思想是将一个函数在某个点附近进行多项式逼近。
假设我们有一个函数f(x)，它在点a处具有无限阶可导性。
那么在点a附近的一个小区间内，我们可以通过一系列的导数来逼近函数f(x)。
具体而言，我们可以将函数f(x)表示为以下形式的级数：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，依此类推。
二、泰勒展开式的应用泰勒展开式在数学和物理等领域有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1. 函数逼近泰勒展开式可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式，使得计算和分析变得更加简单。
通过截取泰勒展开式的前几项，我们可以得到一个近似函数，用于估计原函数在某个点的值。
这在数值计算和工程实践中非常常见。
2. 求解极限对于一些复杂的函数，直接求解其极限可能会很困难。
而通过泰勒展开式，我们可以将函数在某个点附近进行多项式逼近，从而求得其极限。
这在微积分中经常使用，能够简化计算过程。
3. 函数近似当我们需要研究一个函数在某个点附近的性质时，泰勒展开式可以帮助我们得到一个近似的函数形式。
通过截取泰勒展开式的前几项，我们可以得到一个简化的函数，用于分析函数的性质和行为。
4. 误差估计在实际计算中，我们常常需要估计一个近似计算的误差。
泰勒展开式可以帮助我们估计一个函数近似值与真实值之间的误差大小。
通过截取泰勒展开式的后几项，我们可以得到一个误差项，用于估计近似计算的精度。
三、注意事项在使用泰勒展开式时，需要注意以下几点：1. 展开点的选择泰勒展开式的逼近效果与展开点的选择密切相关。
一般来说，我们会选择函数的某个特殊点作为展开点，例如函数的极值点或者特殊的实数值。
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰勒公式及泰勒级数的应用泰勒公式是数学中的一种方法，用来表示一个函数在一些点附近的近似值。
它是通过将函数表示为无穷级数的形式来实现的，这个无穷级数称为泰勒级数。
泰勒公式和泰勒级数在数学和物理的许多领域中都有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
泰勒级数在计算机图形学中非常重要。
计算机图形学涉及到绘制和处理图像，而泰勒级数可以用来近似计算复杂的数学函数。
例如，在绘制曲线和曲面时，可以使用泰勒级数来获得光滑的曲线。
此外，泰勒级数在计算机动画和计算机游戏中也有广泛的应用。
在物理学中，泰勒级数广泛应用于描述物理过程。
许多物理现象和运动可以通过使用泰勒级数来近似描述。
例如，在经典力学中，可以使用泰勒级数来近似描述质点的运动轨迹。
在电磁学中，可以使用泰勒级数来描述电场和磁场的分布。
在量子力学中，泰勒级数也被用于描述粒子的波函数。
泰勒级数还经常用于数值计算和科学工程中。
在数值计算中，可以使用泰勒级数来近似计算复杂的数学函数，例如指数函数、三角函数等。
这对于一些没有简单解析表达式的函数非常有用。
在科学工程中，泰勒级数可以用来经验性地建立数学模型，并用于预测和分析实际问题。
例如，在天气预报中，可以使用泰勒级数来预测未来的天气变化。
泰勒级数还可以用于解决微分方程。
微分方程是数学中的一个重要分支，涉及到求解未知函数的变化规律。
有些微分方程没有解析解，而泰勒级数可以作为一种数值方法来近似求解。
通过将微分方程转化为泰勒级数的形式，可以通过迭代计算来获得函数的近似解。
在金融工程中，泰勒级数也有应用。
金融领域涉及到诸如期权定价、风险管理等复杂计算，而泰勒级数可以用来近似计算这些复杂的金融变量。
例如，可以使用泰勒级数来近似计算期权价格和波动率。
总之，泰勒公式及其对应的泰勒级数在数学和物理的许多领域中都有重要的应用。
它可以用来近似计算复杂的函数，描述物理现象和运动，解决微分方程，进行数值计算和科学工程，以及应用于金融工程等领域。
泰勒公式的意义和应用
泰勒公式的意义和应用
泰勒公式是一种在微积分中经常使用的重要工具。
它允许我们将一个复杂的函数表示为无限级数的形式，从而使我们能够更好地了解函数在某一点的性质。
泰勒公式的应用非常广泛。
它可以用于求解微积分和微分方程，以及在物理学和工程学等领域中的建模和分析。
在数值分析和计算机科学中，泰勒公式也是一个重要的工具，用于近似计算和优化算法的设计。
泰勒公式的意义在于，在某一点处对函数进行无限次微分，从而获得函数在这一点的局部性质。
通过泰勒公式，我们能够确定函数在这一点的值、导数、曲率和其他高阶导数，从而更好地理解函数的行为。
在实际应用中，泰勒公式通常被用于求解实际问题中的数值解，如计算机图形学中的渲染、金融学中的期权定价等。
通过利用泰勒公式的近似性质，我们能够将复杂的问题简化为一个简单的数学表达式，并且得到数值解以解决实际问题。
总之，泰勒公式在微积分和其它许多领域中都起着重要作用，它的应用和意义是非常深远的。
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函数的泰勒公式与近似计算
函数的泰勒公式与近似计算在数学的世界里，函数的泰勒公式是一个重要的概念。
它可以用来近似计算各种函数，是数学和物理中需要掌握的基础内容。
本文将介绍泰勒公式的定义、求导规则以及常见的应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用泰勒公式。
一、泰勒公式的定义泰勒公式是一个用多项式函数来近似表示一个函数的公式。
它是由17世纪英国数学家詹姆斯·泰勒（James Taylor）首先提出的。
泰勒公式的一般形式如下：$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$其中，$f(x)$是要近似的函数，$a$是近似点，$f^{(n)}(a)$表示在点$a$处的$n$阶导数。
$n!$表示$n$的阶乘。
因此，泰勒公式就是通过函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的表现。
二、求导规则为了使用泰勒公式，我们需要求得函数在近似点$a$处的各阶导数。
这里我们简要介绍求导的规则：1.常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数为幂次减1乘以系数，即$f(x)=x^n$时$f'(x)=nx^{n-1}$。
3.对数函数的导数为其底数的倒数乘以原函数的导数，即$f(x)=log_ax$时$f'(x)=\dfrac{1}{xlna}$。
4.三角函数的导数可以根据公式求得：$sin'x=cosx\\cos'x=-sinx\\tan'x=sec^2x\\cot'x=-csc^2x$5.指数函数的导数为其自身乘以系数，即$f(x)=a^x$时$f'(x)=a^xlna$。
三、应用场景泰勒公式在数学和物理以及其它领域中被广泛应用。
以下是几个常见的应用案例：1.函数近似计算泰勒公式常常用来近似计算各种函数，特别是在数据量较大时。
例如，如果我们需要计算$sin(1)$的值，我们可以使用泰勒公式展开：$sin(1)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}(1-0)^{2n+1}$在计算过程中我们可以取一定的项数进行近似，这样可以大大提高计算速度。
泰勒公式详解
泰勒公式详解
泰勒公式是18th世纪英国数学家兼物理学家泰勒提出的重要的数学公式，即f(x)=0的函数求根的准确方法，常用来求解方程的根。
它对数学领域起到了重要作用，提出了根据曲线曲率来求函数根的新思路。
泰勒公式是一种近似解方程的方法，它假设函数f（x）在x=a
处可以用一个多项式精确地表示，这个多项式来源于泰勒级数展开。
这个级数是将函数f（x）展开为一系列不断减小的项，而其中的系数则由f（a），f（a），f（a）……等决定。
泰勒公式的正确性是由拉格朗日的切线定理证明的，并且它的近似性是根据泰勒展开式中系数的取值情况给出的。
泰勒公式可以通过求微积分来获得，它主要有以下几种形式：
1.一阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）
2.二阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+1/2f（a）（x-a）^2
3.三阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+1/2f（a）（x-a）^2+1/6f （a）（x-a）^3
泰勒公式的优点非常明显，它可以给出准确的解，而且能更好地把握函数的精确性，能同时应用于多个函数，更方便地获取正确结果。
但也有局限性，比如当它被用于求解多元函数时，就可能出现不精确的情况，还存在收敛性问题，所以需要使用者慎重选择。
综上所述，泰勒公式作为一种重要的数学准确方法，有着广泛的应用。
它可以用来求解多类型的函数，它的优点是准确且简洁，但也
存在一定的不足，需要使用者根据实际情况进行合理选择。
未来可以在此基础上研究出更多的数学方法，从而更好地解决数学问题。
泰勒公式意义幂函数
泰勒公式是数学中一个重要的公式，它可以用来近似表示一个函数的值。
泰勒公式的形式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x )
其中，f^(n)(a)表示函数在点a处的n阶导数，Rn(x)表示余项，它是一个无穷小量。
泰勒公式的意义在于，它提供了一种近似表示函数的方法。
通过选取适当的点a 和阶数n，我们可以得到函数在任意点x处的近似值。
这种近似方法在数值计算、函数逼近等领域中有着广泛的应用。
以幂函数为例，幂函数的一般形式为f(x)=x^n。
它的导数为f'(x)=nx^(n-1)，二阶导数为f''(x)=n(n-1)x^(n-2)，以此类推。
因此，我们可以使用泰勒公式来近似表示幂函数。
例如，当n=3时，幂函数在点0处的三阶泰勒展开为：
f(x)=x^3=0+3*(x-0)^2/2!+6*(x-0)^3/3!+...+R3(x)
其中，R3(x)是余项，它是一个无穷小量。
通过选取适当的阶数n，我们可以得到幂函数在任意点x处的近似值。
这种近似方法可以帮助我们更好地理解幂函数的性质和行为。
泰勒公式的解释docx
步转化为函数的变化量。则 f(x)的一阶导数的变化量为：
f ''(x0 ) (x x0 )
一阶导数的变化量对原函数产生的影响为：
x
f (x)2 x0 f ''(x0 )(x x0 )dx
f ''(x0 )为常数，故上式：
x x0
f ''(x0 )(x x0 )dx
f ''(x0 )
x x0
泰勒展开的解释
f
(x)
1f 0！
( x0
)
1f 1！
' ( x0
)( x
x0
)
......
1f n！
(n)
( x0
)( x
x0
)n
0( x n
)
泰勒公式本质：利用已知点及已知点与所求点之间的函数变化趋势较为精确的估算所求
点的函数值。
解释：已知函数 f(x)与 x0，所求点 x 与 x0 间距离为（x-x0）,已知 f（x0），要求 f（x），只 需知道两点间的函数值的变化量为多少。即求：
1f n!
(n) (x0 ) (x
x0 )n
因此， f (x) f (x0 ) f (x0 )1 ...... f (x0 )n o(x n )
x x0
f
(n) (x0 ) (x
x0 )dx
1f 2!
(n) (x0 ) (x
x0 )2
f (n3) (x)
x x0
1 2!
f
(n)
(x0 )
(x
x0 )2
dx
1f 3!
(n)
(x0 )
(x
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用泰勒公式是数学中的一个重要定理，由英国数学家泰勒（Brook Taylor）于18世纪提出。
它通过将一个光滑函数在特定点附近进行多项式级数展开，从而将该函数用无穷级数表示。
泰勒公式及其应用在数学、物理、工程学等领域都有广泛的应用。
泰勒公式的一般形式为：对于任意实数x和可微的函数f(x)，在点a 附近存在一些正整数n，使得函数f在点a处的n阶导数存在。
则函数f 在点a附近可以近似表示为以点a为中心的n阶泰勒展开多项式，即f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为余项，并且有以下表示方式：Rn(x)=(x-a)^(n+1)f^(n+1)(ξ)/(n+1)!其中ξ位于x和a之间。
泰勒公式的应用十分广泛。
一方面，泰勒公式可以用来近似计算函数的值。
由于泰勒展开多项式是以函数在特定点a的各阶导数为系数，而函数的导数通常是利用数值方法或者近似公式得到的，所以可以通过计算低阶导数的值来近似计算更高阶导数的值，并利用泰勒公式进行函数的近似计算。
这种方法在数值计算、数学极限计算以及工程问题中都有广泛的应用。
另一方面，泰勒公式也可以用来研究函数的性质。
通过泰勒公式，可以将一个复杂的函数用一个简单的多项式来描述，从而帮助我们研究函数在特定点附近的行为。
特别是当n趋近于无穷大时，泰勒公式可以用来研究函数的收敛性、奇点、极值等性质。
泰勒公式的应用可以使我们更好地理解和描述函数的行为。
泰勒公式的一个重要特点是，它可以将任意次可导函数在特定点附近展开成多项式形式，而展开的多项式可以逐项求和，从而将复杂的函数转化为简单的多项式。
不同的函数，通过泰勒公式展开的多项式会有不同的形式，这使得泰勒公式具有广泛的适用性。
总之，泰勒公式是数学中一个重要而广泛应用的工具。
它不仅可以用于函数的近似计算，还可以用来研究函数的性质。
泰勒公式几何理解
泰勒公式几何理解好的，以下是为您生成的关于“泰勒公式几何理解”的文章：咱们在学习数学的时候，常常会碰到泰勒公式这个家伙，它看起来好像挺复杂，让人有点头疼。
但其实啊，要是从几何的角度去理解它，说不定能发现一些有趣的门道。
先来说说泰勒公式到底是啥。
简单来讲，泰勒公式就是用一系列简单的多项式函数来逼近一个复杂的函数。
就好像我们要画一个很复杂的图形，一下子画不出来，但是可以用很多小的、简单的线段和曲线来一点点地拼凑，最后就很接近我们想要的那个复杂图形啦。
比如说，我们常见的函数像正弦函数 sin(x) 、余弦函数 cos(x) ，它们的图像都有自己的特点和规律。
但是如果我们要在某个很小的区间内去研究它们，用泰勒公式展开，就能得到一个简单的多项式，这样计算起来就方便多啦。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙就特别迷糊，一直皱着眉头问我：“老师，这到底有啥用啊？”我就跟他说：“你想想看啊，假如你要测量一个不规则的山坡的高度，直接测是不是很难？但如果我们把这个山坡分成很多小段，每一小段都近似看成一个小斜坡，是不是就好算多啦？”这小家伙似懂非懂地点点头。
那泰勒公式在几何上到底怎么理解呢？咱们就拿最简单的二次函数来举例。
一个二次函数 f(x) = a x^2 + b x + c ，它的图像是一个抛物线。
如果我们只知道这个函数在某一点 x0 的值 f(x0) ，以及在这一点的导数 f'(x0) ，那我们就能用一个线性函数，也就是一条直线来近似表示这个二次函数在 x0 附近的情况。
这条直线就是 f(x) = f(x0) + f'(x0) (x -x0) ，这就是泰勒公式的一阶展开。
那如果我们还知道在 x0 点的二阶导数 f''(x0) 呢？那就可以用一个二次函数来近似表示原来的二次函数啦，这就是泰勒公式的二阶展开f(x) = f(x0) + f'(x0) (x - x0) + 1/2 f''(x0) (x - x0)^2 。
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泰勒公式的深刻理解 1 学生对泰勒公式的疑惑及其根源分析 泰勒公式这一节的教学目标是要求学生理解泰勒公式,并了解它的一些应用。然而,在完成教学任务后仍有相当多的学生心存疑惑,不能不说这是教学上的一个失败。平时和学生聊起数学的学习,谈到泰勒公式, 很多学生都说不理解;讲课中要用到泰勒公式时,学生也会叫喳喳的,表现出畏难的情绪。和同事们谈起这事,上过这门课的教师都有同感。 学生在什么地方卡住了呢？在与学生沟通中发现学生通常会这样来描述他们的疑惑:不知道它是什么意思,不知道它有什么用。 是什么原因导致了学生的不理解？通过进一步与学生沟通和不断地思考,我们做出如下分析:
(1)教科书中泰勒公式的表达方式与学生的思维方式不一致。 我们采用的教材是同济大学应用数学系编写的《高等数学》,教材中的泰勒公式以定理的形式给出:
泰勒中值定理 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任一 ,(1) 其中
(2) 这里x 为x与x0之间的某个值x。 公式(1)称为n阶泰勒公式。 刚从中学步入大学,大部分学生还没有完全适应大学的思维方式。公式(1)的右端由两部分构成:x-x0的多项式和余项Rn(x),复杂的多项式加上
一个需要附加说明的余项和学生心中公式(在中学中认识的公式)的表达方式不一致,由于学生的抽象思维没有达到一定的程度,他们还无法接受这么一个有着附加说明(而且说明也很抽象)的公式,用学生的话说就是不知道它讲的是什么。 (2)泰勒公式证明过程的抽象性加深了学生的疑惑。 泰勒公式是通过重复应用柯西中值定理来证明的,过程比较抽象, 由于学生没有理解泰勒公式的表达式,也就是说没有完全弄清楚定理的条件和结论,在这种学生还没有做好准备的情况下,公式证明过程的抽象性只能加深学生的疑惑。 (3)例题的讲解没有给学生的理解带来预期的帮助。 由于没有分重视学生思维方式上的差异,教师通常认为给出泰勒公式后,针对一些常见的函数写出相应的泰勒公式,再简单地提一提近似
94 中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald 计算就可以达到目标了。的确,学生也能模仿例题完成作业,但是学生仍表示不知道这个公式有什么用。也就是说学生并没有理解例题的作用,没有
将例题和泰勒公式的理解联系在一起,认为例题也就是套着公式(1)写出相应的式子罢了。在没有理解泰勒公式的前提下,写出常见函数的泰勒公式对学生来说只是一种机械行为,没有任何意义。
2 教学设计 通常的教学过程都是以泰勒公式的证明、常见函数的泰勒公式为重点和难点,基于以上的分析,我们在教学设计时改换思路,教学中对以下三方面进行了尝试,取得了较好的教学效果:
(1)把重点放在问题的提出和泰勒公式的引入上。 通常情况下教师在这里花的时间并不多,在大部分学生还理不清头绪的时候老师就已经给出抽象的泰勒中值定理了。 根据学生的具体情况,我们认为这部分内容对于我们的学生理解泰勒公式有很大的帮助,讲好了有事半功倍的作用,因此我们把重点放在这里。
(2)尝试用另外一种形式来描述泰勒公式,以促进学生的理解。 (3)改变例题的讲解方式。将第一个例题的重点由写出泰勒公式改为近似计算,以加强学生对泰勒公式的理解并了解它的一些应用。
具体设计思路如下: (1)问题的提出。 微分的近似计算公式的缺点:在实际应用中有可能不满足精度要求。 问题:如何才能提高精度？
(2)提出猜想。 微分的近似计算公式实质上就是用一次多项式P1(x)=a0+a1(x-x0) 来拟
合函数,那么能否用n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+an(xx0)n来拟合函数呢？ (3)拟合系数的选取。 问题:如果要用多项式来拟合函数:,系数ai(i=1,⋯ n)该
如何选取？
从微
分的近似计算公式出发,研究一次多项式P1(x)的系数与函数 f (x)的关系: 1 函数f (x)之间的关系: 。 将上述关系作为拟合条件进行推广:如果要用多项式来拟合函数, 即有,那么可以猜想拟合多项式Pn(x)与函数f (x)之间应该有
下列关系:
, 由此可得到拟合系数与函数的之间的关系:
于是可选取多项式
, 有
, 由此推出拟合多项式 P ( x ) (3) 来拟合函数 f (x)。
(4)误差的估计。 问题:如何判断拟合的好坏？ 如果令 R n(x)=f (x)-P n(x), (4) 则拟合好坏可由绝对误差给出。 问题:如何估计Rn(x)?
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求:滑块受到水平面的支持力;滑块运动的加速度;滑块在力F作用下经过5S通过的位移。
图 4 分析与解答:这是一个已知物体的受力情况求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析它的受力情况。木块受到四个力的作用:水平方向的拉力F和滑动摩擦力f、竖直方向的重力G和水平面对木块的支持力N如图5所示。
图 5 其次分析木块的加速度情况。依题意,木块加速度与合外力方向相同,木块做匀加速直线运动。选取水平向右方向为x轴正方向,竖直向上的方向为y轴的正方向。 应用牛顿运动定律列出方程求解。 沿y轴方向平衡, N-G=0 N=G=mg=5× 10N=50N 沿x方向产生加速度 F-f=ma f=hmg=0.2× 5× 10N=10N
运用运动学公式求出滑块在5S内的位移为: (3)已知物体的运动情况,求受力情况 如图6所示,质量为m的物块在与水平方向成q =37° 角的斜向上拉
力F的作用下沿水平面以的加速度运动,物块与水平面间的动摩因数为0.2,求拉力的大小。(sin37° =0.6,cos37° =0.8)
图 6 分析与解答:这是一个已知物体的受力情况,求运动情况的问题。首先要确定问题的研究对象,分析物块
的受力情况。物块受到四个力的作用:重力G,方向竖直向下;地面的支持力N,方向垂直向上;拉力F,方向与水平方向成37° ;滑动摩擦力f,方向水平向左,如图7所示。
图 7 其次分析物块的加速度情况。物体运动的加速度题目中已告之。 选取直角坐标系,将力F分解成Fcosq 和Fsinq 应用牛顿运动定律求解。 沿y方向受力平衡, N+Fsinq -mg=0 N=mg+Fsinq ∴ f =m N=m (mg+Fsinq )
沿x方向合力产生加速度Fsinq -f =ma 即Fsinq -m (mg+Fsinq )=ma
5 在其它学科中的应用 本人在从事高职机电专业工程力学的教学中,发现牛顿第二定律在该教材第16章构件动力学基础;第18章动静法中都有重要的应用。例如: 第18章动静法中,惯性力的概念是这样讲的:质点由于惯性必然给施力物体以反作用力,该反作用力即为质点的惯性力。质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积(其表达式与牛顿第二定律相同),方向与加速度的方向相反。作用于质点上的主动力、约束反力及惯性力,在形式上构成一平衡力系。此即为达朗伯原理。 可见,牛顿第二定律在经典力学中占有十分重要的地位和作用。学好它,对于后续课程的学习将起到很好的帮助作用。
参考文献 [1] 林理忠,李跃红.物理(上)[M].北京:中央广播电视大学出版社,2002. [2] 物理编写组.物理第一册[M].苏州:苏州大学出版社,2001. [3] 姚琴芬.物理练习册[C].江苏:江苏广播电视大学出版社,2002. [4] 人民教育出版社职业教育中心编.物理[M].北京:人民教育出版社, 2002.
中国科教创新导刊 2009 NO.32 China Education Innovation Herald 理 论 前 沿 [5] 白鸿辉.工程力学[M].江苏:江苏科学技术出版社,2005. (上接 94 页) (5)引入泰勒公式并证明(改变泰勒公式的表达方式)。 泰勒中值定理:设函数f (x)在包含x0的某个开区间(a,b)内有直到 (证明略) (6)举例说明泰勒公式的应用(改变例1的重点)。 教材中的例1:写出函数f (x)=ex的带有拉格朗日型余项的n阶麦克
劳林公式。 例1 利用f (x)=ex的n阶麦克劳林公式求e的近似值,使之误差不超 过 10-6。
参考文献 [1] 郭鑫,林卓.浅议泰勒公式应用[J].黑龙江科技信息,2008(2):130. [2] 赵占锋,周志权,乔晓林.基于泰勒中值定理的QDDFS超高压缩比算法[J].电子学报,2008,36(1):152～154. [3] 孟赵玲,李秀淳.有关泰勒公式教学方法的探讨[J].北京印刷学院学报 ,2002,10(2):54～ 55.
[4] 庄毅杰.泰勒定理教学初探[J].漳州职业大学学报,2004(1):91～93. (x为x与x 之间的某个值x) (5)
公式(5)称为n阶泰勒公式,特别地x0=0时称为麦克劳林公式。
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n +1 , 令
, R n ( x )= f ( x )- P n ( x ) , , 存在 x x 0 之间的某个值 x , 使得
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