空间向量的数乘运算(公开课 )完整版.ppt

其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
若 OP OA t AB
P
a
(或AP t AB)
B
则A、B、P三点共线。
A
若O若PP为xAO,AB中 y点O,B(x y 1)，O
则A则、BO、P P三1 点OA共线OB。
向量参数表示式
2
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结论1:
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
（2）数乘分配律2：( )a a a
（3）数乘结合律： (a) ()a
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二、空间中的共线向量 1、定义： 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合， 则这些向量叫做 共线向量
（或平行向量）
（1）零向量与任一向量共线，即0 // a,
(2)若a //b, 则b // a,
2、空间向量的数乘的性质
a
（1）当 0 时，a 与 a 同向 （2）当 0 时，a 与 a 反向 （3）当 0 时，a 0
3a 3a
当a 0, 有 0或a 0
(4) | a | | | | a |
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3、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1： (a b) a b
又 AB，AC不共线，所以AB，AC，AP共面且有公共点A
从而A, B, C, P四点共面。.精品课件.
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练习 1．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一
点，若由O→P＝15→OA＋23O→B＋λO→C确定的一点 P 与 A，B，C 三 2
点共面，则λ＝____1_5___.
练习 2．在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是( C )
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2.共面向量定理：如果两个向量 a
，b 不共线，
则向量 p与向量 ，a 共b面的充要条件是Байду номын сангаас
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在有序实数对x,y使AP x AB y AC
C
p
P
b
AaB
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对空间任一点O,有 OP OA xAB y AC ③
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例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
OP xOA yOB(x y 1)
练习 1．已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，
O→P＝13 O→A＋βO→B，则β＝___32_____.
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三、共面向量:
1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
★ c＝xa＋yb (判定)向量c与向量a，b共面
P、A、B、C 四点共面
结论2:
AP, AB, AC共面
AP xAB y AC
OP xOA yOB zOC
(x y z 1)
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例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的 任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、 C一定共面？
a // b(b 0) 有且只有一个实数 ，
使 a b
思考1：为什么要强调 b 0 ?
思考2：这个定理有什么作用？
1、判定两个向量是否共线
2、判定三点是否共.精线品课件.
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推论:如果 l为经过已知点A且平行已知非零
向量 a的直线,那么对任一点O,点P在直线 上l 的
充要条件是存在实数t,满足等式 OP OA ta
p x yb
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反果过p来 ，x对，空那y间b么任向意量两与个向不量共p 线, 的有向什a量么b位a，置，b关如系？
yb p P
bC
A a B x
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
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那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
a
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， e是2 平面内的两个不共线的向量，那 么对于这一平面内的任意向量 a，有 且只有一对实数 ， 使 1 2
a 1e1 2e2
如果空间向量 p与两不共线向量 ，a 共b面，那么可将
三个向量平移到同一平面 ，则有
A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝0
C． M→A＋M→B＋M→C＝0 D．O→M＝14O→B－O→A＋21O→C
解析：C 中M→A＝－M→B－M→C.故 M、A、B、C 四点共面．
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练习3.下列说法正确的是： C
(A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
bC
p
P
A aB
填空：
O
OP (1_-_x_-_y_)OA (__x__)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
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共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面(性质)存y，在使唯一c＝的x一a＋对y实b数x，
（3）非零共线向量的传递性：
若b 0, a // b,b // c, 则a .精品课件. // c,
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探究 :
对空间任意两个向量a与b,如果a b,a与b有什么位置关系? 反过来,a与b有什么位置关系时,a b?
b
a 2b
a 3b
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（4）空间共线向量定理：
对空间任意两个向量 a,b(b 0),
3.1.2 空间向量的数乘运算
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1
回顾
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面 内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向 量中有关结论仍适用于它们.
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一、空间向量的数乘：
1、定义：
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向
量，称为空间向量的数乘
(1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OAOB OC
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只
要证明存在有序实数对（x,y）使得 AP xAB y AC
(1)共面，因为OB OC 2OA 3OP 3OA
即(OB OA) (OC OA) 3AP
所以AB AC 3AP,所以AP 1 AB 1 AC 33