3.3.2基本不等式与最大(小)值课件ppt(北师大版必修五)

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解
2 1 0， ，∴2－3x＞0.∴y＝x(2－3x)＝ · (2－3x)≤ ∵x∈ 3x· 3 3
13x＋2－3x2 1 ＝3， 3 2 1 当且仅当 3x＝2－3x，即 x＝ 时，等号成立． 3 1 1 ∴当 x＝ 时，函数 y＝x(2－3x)有最大值 . 3 3
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题型一
【例1】 已知
利用基本不等式求函数的最大值
y＝x(2－3x)的最大值．
2 x∈0， ，求函数 3
[思路探索] 我们发现x＋2－3x不是定值，用基本不等式 求最值时要求有定值，“积定和小，和定积大”，所以要凑 x的系数使和x＋2－3x为定值．
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想一想：两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
提示 不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．基
本不等式中说， “当且仅当 a＝b 时取等号”是说 a＝b 时“≥” 中的“等号”成立，但有时“a”和“b”不一定能相等．如 sin x 与 4 ， x∈(0， 两个都是正数， π)， 乘积为定值． 但是由 0＜sin x≤1， sin x 4 知 sin x≠2，所以 sin x＋ ＞2 sin x 取不到最小值． 4 sin x· ＝4 等号不成立， sin x
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规律方法
b 对于能拆分为形如 y＝ax＋ ＋c 的函数，只要满 x
足“一正，二定，三相等”的条件，就可以利用基本不等式求 其最值或值域，在拆分时可适当换元，拆分后若两项为负， 可提取负号，创造变量为正数的条件，再求之．
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x2 (x＞1)的最小值． 【训练2】 求函数 y＝ x－1
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y 49 (2)年平均利润为 ＝－2n＋ －20(8 分) n n ≤－22 49 n· －20＝12(10 分) n
49 当且仅当 n＝ ，即 n＝7 时上式取等号． n 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．(12 分)
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和式 2．二元均值不等式具有将“_____”转化为“_____”和将“积式” 积式 转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证 明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特 点，选择好利用均值不等式的切入点． 3．基本不等式的实际应用问题 解不等式实际应用题的解题思路
1 ∴y＝x(1－3x)＝ · 3x(1－3x) 3 13x＋1－3x 2 1 ≤ ＝12. 3 2 1 1 当且仅当 x＝ 时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值 . 6 12
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题型二
利用基本不等式求最小值
5 1 的最小值． 【例2】 已知 x＞4，求函数 y＝4x－2＋ 4x－5 [思路探索] 要求目标函数的最值，可考虑利用基本不等
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误区警示
忽略应用基本不等式的前提条件而致错
【示例】 求 f(x)＝2＋log2x＋ 5 (0＜x＜1)的最值． log2x 5 [错解] f(x)＝2＋log2x＋ . log2x
≥2＋2 5 log2x· ＝2＋2 5. log2x
∴f(x)min＝2＋2 5.
5 ∵0＜x＜1，∴log2x＜0， ＜0，不能直接运用 log2x 公式．
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[正解]
5 ＞0. ∵0＜x＜1，∴(－log2x)＞0，－ log2x 5 － ＝2 －log2x log2x
5 － ≥2 ∴(－log2x)＋ log2x
5.
5 ∴log2x＋ ≤－2 5. log2x 5 ∴f(x)＝2＋log2x＋ ≤2－2 5. log2x 5 当且仅当 log2x＝ 时，即 x＝2－ log2x ∴f(x)max＝2－2 5.
题型三
利用基本不等式解应用题
【例3】 (本题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一 艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年 起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该 船每年捕捞总收入50万元． (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 审题指导 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的 量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大 值或最小值问题；
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解 设池塘的长为 x m 时绿地总面积为 S， 10 000 则池塘的宽 y＝ (x＞0)． x
20 000 120 000 ∴S＝(6＋x) ＋6 ＝ ＋6x＋20 x x
036≥2 720 000＋
20 036＝1 200× 2＋20 036. 120 000 当且仅当 ＝6x，即 x＝100 2，y＝50 2时，等号成立． x 故每个池塘的长为 100 2 m， 宽为 50 2 m 时， 绿地总面积最小．
k 【题后反思】 对于函数 y＝x＋ (k＞0)，可以证明在 x∈(0， k] x 及[－ k，0)上均为减函数，在[ k，＋∞)及(－∞，－ k]上都是增 函数，求此函数的最值时，若所给的范围含± k可用基本不等式， 不包含± k就用函数的单调性．
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【训练3】 如图所示，某公园要在一块矩形绿地的中央修建两 个相同的矩形池塘，每个池塘的面积为10 000 m2，池塘前 方要留4 m宽的走道，其余各方留2 m宽的走道，问：每个 池塘的长和宽分别为多少时绿地总面积最小？
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[规范解答] (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元，则
nn－1 y＝50n－98－12×n＋ ×4(2 2
分)
＝－2n2＋40n－98 ＝－2(n－10)2＋102(4 分) ∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元(6 分)
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名师点睛
利用基本不等式求最值的要求 1． 必须满足三个条件： ①各项均为正数； ②含变数的各项的和(或积)必须是定值； ③当含变数的各项均相等时取得最值，即一正、二定、三相 等． 利用基本不等式解应用题的注意事项 2． (1)根据题意，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成 数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关 系，以便确立下一步的解题方向．
规律方法 求两数积的最值时，一般需要知道这两数的和 为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将 两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和 为定值，再利用基本不等式求最值，变形后仍要求满足“ 一正二定三相等”．
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1 已知 0＜x＜ ，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． 【训练1】 3 1 解 ∵0＜x＜ .∴1－3x＞0. 3
1．已知 x，y 都是正数
1 2 最大值 S x＝y 4 (1)若 x＋y＝S(和为定值)， 则当______时， xy 取_________. 积
x＝y 最小值 (2)若 xy＝p(积为定值)， 则当______时， x＋y 取得________ 和
2 p ____.
上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小．
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(2)根据(1)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结 论有关的不等关系，得到有关理论参数的值，再结合题目 要求得出实际问题的结论． 3．多次使用基本不等式的问题 运用基本不等式时，“正、定、等”缺一不可，但有些题中 由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围， 而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等 式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用 其他方法求解．
解 ∵x＞1，∴x－1＞0.
x2－1＋1 1 1 ∴y＝ ＝x＋1＋ ＝x－1＋ ＋2≥ x－1 x－1 x－1 2 1 1 x－1· ＋2＝4， 当且仅当 x－1＝ ， x＝2 时， 即 x－1 x－1
x2 等号成立．故当 x＝2 时，函数 y＝ (x＞1)取最小值 4. x－1
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3.2 基本不等式与最大(小)值
【课标要求】
理解并掌握基本不等式及变形应用． 1． 会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题． 2． 【核心扫描】 利用基本不等式求最值．(重点) 1． 利用基本不等式求最值时变形转化．(难点) 2． 要注意和函数单调性的结合应用． 3．
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自学导引
式，这就需要通过合理配凑，创造利用基本不等式的条件．
解 5 1 ∵x＞ ，∴4x－5＞0，∴y＝4x－5＋ ＋3. 4 4x－5 1 4x－5· ＝2. 4x－5
1 ∵4x－5＋ ≥2 4x－5
1 3 当且仅当 4x－5＝ ，即 x＝ 时，等号成立， 2 4x－5 ∴y≥2＋3＝5. 3 1 故当 x＝ 时，函数 y＝4x－2＋ 取最小值 5. 2 4x－5
5
时取等号．
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a＋b 在基本不等式 ≥ ab中，a，b 均为非负数， 2 应用该定理时，一定要符合这一前提条件，先将各项化为 正值，再运用基本不等式定理．
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