线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)

考试方式：闭卷 考试时间：

一、单项选择题（每小题

3分，共15分）

1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222

123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．

(A )

1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．

4．初等矩阵（A ）；

(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,

,n ααα线性无关，则（C ）

A. 12231,,

,n n αααααα-+++必线性无关；

B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；

C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；

D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t

7．设矩阵020003400A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则1A -=

8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213

2122

233132

33

a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;

10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则()R AB =_____________；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．求行列式11

1213

21

222331

32

33

a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

12．设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。

13． 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+=+-+=+-1

341321230

2432143214

321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T

T

T

T

αααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。

15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值

123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.

四、解答题（10分）

16. 已知100032023A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，求10A

五、证明题（每小题5分，共10分）

17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη为对应的齐次线性方程

组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r ξηηη线性无关。

18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.

2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)

考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5.28

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。

A. ();k k k AB A B =

B. ;A A -=-

C. 22()();A B A B A B -=-+

D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；

2．下列不是向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（ ）。

A ．12,,,s ααα⋅⋅⋅都不是零向量;

B. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余向量线性表示;

C. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中任意两个向量都不成比例;

D. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中任一部分组线性无关;

3. 设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。

A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；

4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；

D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；

5．二次型()222

123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设300140003A ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则()12A E --＝ ；

7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131

D =中元素ij a 的代数余子式，则

11

12

2122

A A A A = ；

8．100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪

⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

= ；

9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ；

10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值

λ= ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．设()1111222

20+a

a A a n

n n n a +⎛⎫

⎪+

⎪

=≠ ⎪

⎪⎝⎭

，求A 。 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中