优化设计的数学模型由设计变量目标函数和约束条件三部分组成

络 教
hv(x1,x2,…..,xn)=0 (v=1,2,…p)
育
系
列
课
程
实例 2
某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所
需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够
提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品
西 每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。
南
科 技
产品 材料 /kg 工时/h 电力/(kw.h) 利润/元
求变量 x1, x2 使函数 f (x1, x2 ) 60x1 120x极2大化
西 南
满足条件 g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
科
技 大
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
学 网 络
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
教 育
西
1）目标函数的等值面，其数学表达式为f
南 科
(x)=c。
技 大
在这种线或面上所有点的函数值均相等，
学 网
因此，这种线或面就称为函数的等值线或等值
科 技
２）离散变量：只能在给定数列或集合中取
大 学
值的变量。
网 络
注：少数的机械优化问题的设计变量是离
教 育 系
散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其 视为连续变量，用常规的优化方法最优解。
列
课
程
5.1.3 设计变量与设计空间
•3 设计空间
们形若成n的个向设量计X变=[量x1x,x1,2x,…2,…xnx]nT相的互n。
学 网
因此，目标函数的最小值及其对应的设计变量的
络 教
取值称为设计问题的最优解。
育 系
3）目标函数的选择
列 课
必须针对具体问题，选择主要的技术指标作为设计
程 的目标函数，如：利润、体积、重量、功率等。
5.1.4 目标函数与等值线
2、等值面和等值线
对于简单的问题，可用等值线或等值面来
描述函数的变化趋势，还可以直观地给出极值 点的位置。
西 南
一组设计变量可看作设计空间中的一个点，
科 称为设计点。
技
大 学
设计变量的个数n称为优化设计的维数。
网 络 教
1）如n=2就是二维设计问题，可用图5.1所示 的平面直角坐标来表示；
育
系 列 课
2）如n=3就是三维设计问题，可用图5.2所示 的直角空间坐标来表示。
程
下
5.1.3 设计变量与设计空间
大 学
甲
9
3
4
60
网
络 教
乙
4
10
5
120
育
系
列 课
供应量
360
300
200
程
这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生
产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设
计问题。
解：设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天
西 南 科
获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即 f(x1,x2)=60 x1+120x2
课 程
∴ x=1 为所求解。
5.1.2 数学模型的一般形式
实例可以看出，优化设计的数学模型由设计
变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成
以下统一形式：
设计变量
求变量
x1,x2, …..,xn
目标函数
西 南
使极小化函数 f(x1,x2, …..,xn)
科 技
满足约束条件
不等式约束条件
大
学 网
gu(x1,x2,…..,xn)≤0 (u=1,2,…m) 等式约束条件
g4 (x1, x2 ) x1 0
系 列 课
g5 (x1, x2 ) x2 0
程
最优化问题的分类:
1、按是否包含有约束条件分：无约束优化问题和约 束优化问题。
２、按设计变量的多少可分：单变量优化和多变量优
化。
西 南
３、按目标函数和约束函数的性质可分：线性规划和
科 技
非线性规划。
大 学 网
西
南
科
技
大
学
网
络
教
育
系
列
课 程
图5.1 二维设计平面
图5.2 三维设计空间 返回
5.1.4 目标函数与等值线
1、目标函数
1）目标函数的定义
目标函数是通过设计变量来表示的设计所追求目标 的数学表达式，又称为标量函数。
西 2）目标函数的意义
南 科
目标函数值的大小是衡量设计方案优劣的定量标准。
技 大
目标函数的值越小，对应的设计方案越好。
技 大
每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函
学 网
数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即
络
教 育
g1( x1, x2 ) 9x1 4x2
系 列
g2 ( x1, x2 ) 3x1 10x2
课
程
g3( x1, x2 ) 4x1 5x2
于是上述生产计划问题可归结为
课
程
5.1.1 优化设计的定义
于是，上述问题可描述为
变量 x—设计变量
f(x)＝x(6-2x)2—目标函数
g(x)＝x>0 —约束条件
西 南
使函数 f(x)＝x(6-2x)2 极大化
科 技
即对 f(x)= 6x-2x3 求导
大
学 网
f’(x)=1-x2=0
络 教
得出：x=1, -1
育
系 列
∵ x>0
西 南
设计变量的选择：
科
技 大
应该选择那些与目标函数和约束函数
学 网
密切相关的，能够表达设计对象特征的基
络 教
本参数。
育
系
列
课
程
5.1.3 设计变量与设计空间
•2 设计变量的分类
１）连续变量：可以在实数范围内连续取值 的变量。
注：大多数机械优化问题的设计变量都属
西 南
于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。
当数学模型中的目标函数和约束函数均为设计变 量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线
络 教
性规划问题。
育 系
当数学模型中的目标函数和约束函数中至少一个
列 为非线性函数时，称此设计问题为非线性优化问题或
课 程
非线性规划问题。
5.1.3 设计变量与设计空间
•1 设计变量的定义
设计变量是指在设计过程中可以进行 调整和优选的独立参数。
到一组最佳的设计参数。
育
系
列
课
程
5.1.1 优化设计的定义
实例1：
有一块边长为6m的正方形铝板，四角各
裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。
西 试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成
南
科 技
的盒子具有最大的容积。
大
学 网
解：设裁去的四个小方块的边长为x，
络 教
则盒子的容积可表示成x的函数
育
系 列
f(x)＝x(6-2x)2
5.1.1 优化设计的定义
一、优化设计的定义
最优化设计是借助最优化数值计算方法和 计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。
西
即：进行最优化设计时，首先必须将实际
南 科
问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组
技 大
成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算
学 网
方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得
络 教