抛物线的焦点与准线

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抛物线的焦点与准线 Revised as of 23 November 2020

抛物线的焦点与准线(高中知识有关)

九上P54、活动2(新书)

一、 高中知识:文科选修(1-1)P53-55;理科选修(1-1)P56-59 抛物线的几个定义:把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线L 叫做抛物线的准线.

公式:抛物线c bx ax y ++=2

的焦点为)41

4,

2(2a

b a

c a b +--,准线为a

b a

c y 41

42--=

二、 试题:

1、(2010黄冈市,25,15分)已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C (1,1)且过原点O .过抛物线上一点P (x ,

y )向直线5

4

y =作垂线,垂足为M ,连FM (如

图).

(1)求字母a ,b ,c 的值;

(2)在直线x =1上有一点3

(1,)4

F ,求以PM 为

底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形;

(3)对抛物线上任意一点P ,是否总存在一点N (1,t ),使PM =PN 恒成立,若存在请求出t 值,若不存在请说明理由.

2、2012年山东潍坊市

24.(本题满分11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A (-2,0)、B (2,0)、C (0,-1)三点,过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点.分别过点C ,D (0,-2)作平行于x 轴的直线21l l 、. (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切;

(3)求线段MN 的长(用k 表示),并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长.

3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷

24、如图所示,过点F (0,1)的直线y=kx+b 与抛物线y =14

x 2

交于M

(x 1,y 1)和N (x 2,y 2)两点(其中x 1<0,x 2>0). (1)求b 的值. (2)求x 1x 2的值.

(3)分别过M ,N 作直线l :y=﹣1的垂线,垂足分别是 M 1和N 1.判断△M 1FN 1的形状,并证明你的结论.

(4)对于过点F 的任意直线MN ,是否存在一条定直线 m ,使m 与以MN 为直径的圆相切.如果有,请求出这条直线m 的解析式;如果没有,请说明理由.

4、2010年南通市中考试题(五中月考) 28.(本小题满分14分)(2010年南通市)

-1 y

x

O

(第28题)

1

2 3 4 -2 -4

-3 3 -1

-2 -3 -4 4 1 2

第22题

已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-4,3)、B (2,0)两点,当x =3和x =-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C (0,-2)的直线l 与 x 轴平行,O 为坐标原点.

(1)求直线AB 和这条抛物线的解析式;

(2)以A 为圆心,AO 为半径的圆记为⊙A ,判断直线l 与⊙A 的位置关

系,并说明理由;

(3)设直线AB 上的点D 的横坐标为-1,P (m ,n )是抛物线y =ax 2+

bx +c 上的动点,当△PDO 的周长最小时,求四边形CODP 的面积.

5、(2011-2012福州市九上期末考试题) 22.(14分)已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经

过点A (-2,0)、B (0,1)两点,且对称轴是y 轴,经过点C (0,2)的直线l 与x 轴平行,O 为坐标原点,P 、Q 为抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )上的两动点。 (1)求抛物线的解析式;

(2)以点P 为圆心,PO 为半径的圆记为⊙P ,

判断直线l 与⊙P 的位置关系,并证明你的结论;

(3)设线段9=PQ ,G 是PQ 的中点,求点G 到直

线l 距离的最小值。

6、(2012四川资阳9分)抛物线2

1

y=x+x+m

4

的顶点在直线y=x+3上,过点F (-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点(点M在点N的左边),

MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.

(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示),再求m的值;

(2)(3分)设点N的横坐标为a,试用含a的代数式表示点N的纵坐标,并说明NF=NB;

(3)(3分)若射线NM交x轴于点P,且PA×PB=

100

9

,求点M的坐标.

抛物线的焦点与准线(高中知识有关)答案

1、(2010黄冈市,25,15分)【分析】.(1)抛物线的顶点为C(1,1),可设解析式为y=a(x-1)2+1,又因抛物线过原点,可得a=-1,所以y=-(x-1)2+1,化简得y=-x2+2x,即可求字母a,b,c的值;(2)由FM=FP,PM与直线5

4

y=垂直,可得

533

44

y

-=-,∴

1

4

y=,代入y=-x2+2x,解得3

1

x=P坐标为(

3

1,

1

4

)或(3

1,

1

4

),所以分两

种情况,通过计算可得△PFM为正三角形;(3)由PM=PN可得5

4

y

-=()()

22

1

x y t

-+-,

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