第二章 2 两个重要极限和利用等价无穷小求极限
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tan x sin x 1 sin x 1 lim lim 解: lim lim 1 x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x
例2 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t 1 cos x t 例 3 求 lim x 0 x2 2 x 2 x 2 sin 2 sin 1 cos x 2 2 lim lim lim 2 解 x 0 x 0 x 0 x2 x2 x 4 2 x 2 sin 1 1 2 lim 2 x 0 x 2 2
1
例 2. 求 解
lim ( x) lim 1 ( x) 0, 且 ( x) ~ 1 ( x), 定理1 设 x x x x
0 0
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
则 lim ( x) f ( x) lim 1 ( x) f ( x)
x x0 x x0
0
0
0
1 1 1 lim 1 lim x x x x 1 1 几个常用的等价无穷小量. 当x 趋于0 时 sin x ~ x, tan x ~ x, tan x ~ sin x, arcsin x ~ x, x2 n x (1 cos x) ~ , 1 x 1 ~ , ln( 1 x) ~ x, (e x 1) ~ x. 2 n 若当x x0 ()时， ( x) 0, 则当x x0 ()时, sin ( x) ~ ( x), tan ( x) ~ ( x), tan ( x) ~ sin ( x), arcsin ( x) ~ ( x), ln[ 1 ( x)] ~ ( x), (e ( x ) 1) ~ ( x), ( x) 2 ( x) n 1 ( x ) 1 ~ . (1 cos ( x)) ~ , 2 n 这些等价的无穷小量常常在求极限时用来进行等价 无穷小量的代换，简化极限的运算.
0
0
证明 lim ( x) f ( x) lim lim 1 ( x) f ( x). 1 f ( x) x x x x x x 1 定理2 设 lim ( x) lim 1 ( x ) 0, ( x) ~ 1 ( x),
0
0
x x0
x x0
1 2 3
2
例6. 证明: 当 证:
1 时, n 1 x 1 ～ x n
源自文库a b (a b)(a
n
n
n 1
a
n2
b b
n 1
)
3
sin sin x 例4 求 lim x 0 ln( 1 x) sin sin x sin x lim 解 lim 1 x 0 ln( 1 x ) x 0 x
(1 x ) 1 例5 求 lim x 0 cos x 1
1 2 3
x 3 (1 x ) 1 解 lim lim 2 x 0 x 2 x 0 cos x 1
§2.6 两个重要的极限 预备知识： lim tan x 0,
x 0
lim cot x .
x 0
两个重要极限（第一个重要极限） 0 sin x 1. lim 1 型. x 0 x 0 sin ( x) ( x) 0. 一般公式 lim 1 , 其中当x x0 ()时， x x0 ( x) ( x ) 例1 求
( 1 )（函数形式） lim (1 t ) e
1 n lim (1 ) e （数列形式） n n
一般形式
t 0
1 t
其中当x x0 ()时，
( x) .
例1. 求 解: 令 t x , 则
t lim lim (1 1 ) t t t
0
0
课本79页例题
tan x ln(1 x) 例1 求 lim x 0 sin x 2 x x tan x ln(1 x) lim 2 1 解 lim 2 x 0 x 0 x sin x
1 x sin x 1 例2 求 lim x 0 arctanx 2 1 x sin x 3 1 x sin x 1 1 sin x 1 3 lim 解 lim lim 2 2 x 0 x 0 arctanx x 3 x 0 x 3 tan x sin x 例3 求 lim x 0 sin 3 x x2 x tan x sin x tan x(1 cos x) 1 2 lim 解 lim lim 3 3 3 x 0 x 0 x 0 sin x sin x x 2
1 ( x ) lim ( x) lim 1 ( x ) 0, ( x) ~ 1 ( x), lim 存在， x x ( x) x x x x 1 ( x) ( x) 1 则 lim lim . x x0 ( x ) x x0 ( x ) 1 证明 1 1 1 1 lim lim lim lim lim x x0 x x 0 x x0 x x x x0 1 1 1 1
tan x sin x 例 4 求 lim x 0 x3 tan x sin x tan x(1 cos x) lim 解 lim 3 x 0 x 0 x x3 tan x 1 cos x lim tan x lim 1 cos x 1 . lim 2 x 0 x 0 2 x 2 x 0 x x x 第二个重要极限
例2 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t 1 cos x t 例 3 求 lim x 0 x2 2 x 2 x 2 sin 2 sin 1 cos x 2 2 lim lim lim 2 解 x 0 x 0 x 0 x2 x2 x 4 2 x 2 sin 1 1 2 lim 2 x 0 x 2 2
1
例 2. 求 解
lim ( x) lim 1 ( x) 0, 且 ( x) ~ 1 ( x), 定理1 设 x x x x
0 0
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
则 lim ( x) f ( x) lim 1 ( x) f ( x)
x x0 x x0
0
0
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1 1 1 lim 1 lim x x x x 1 1 几个常用的等价无穷小量. 当x 趋于0 时 sin x ~ x, tan x ~ x, tan x ~ sin x, arcsin x ~ x, x2 n x (1 cos x) ~ , 1 x 1 ~ , ln( 1 x) ~ x, (e x 1) ~ x. 2 n 若当x x0 ()时， ( x) 0, 则当x x0 ()时, sin ( x) ~ ( x), tan ( x) ~ ( x), tan ( x) ~ sin ( x), arcsin ( x) ~ ( x), ln[ 1 ( x)] ~ ( x), (e ( x ) 1) ~ ( x), ( x) 2 ( x) n 1 ( x ) 1 ~ . (1 cos ( x)) ~ , 2 n 这些等价的无穷小量常常在求极限时用来进行等价 无穷小量的代换，简化极限的运算.
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证明 lim ( x) f ( x) lim lim 1 ( x) f ( x). 1 f ( x) x x x x x x 1 定理2 设 lim ( x) lim 1 ( x ) 0, ( x) ~ 1 ( x),
0
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x x0
x x0
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例6. 证明: 当 证:
1 时, n 1 x 1 ～ x n
源自文库a b (a b)(a
n
n
n 1
a
n2
b b
n 1
)
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sin sin x 例4 求 lim x 0 ln( 1 x) sin sin x sin x lim 解 lim 1 x 0 ln( 1 x ) x 0 x
(1 x ) 1 例5 求 lim x 0 cos x 1
1 2 3
x 3 (1 x ) 1 解 lim lim 2 x 0 x 2 x 0 cos x 1
§2.6 两个重要的极限 预备知识： lim tan x 0,
x 0
lim cot x .
x 0
两个重要极限（第一个重要极限） 0 sin x 1. lim 1 型. x 0 x 0 sin ( x) ( x) 0. 一般公式 lim 1 , 其中当x x0 ()时， x x0 ( x) ( x ) 例1 求
( 1 )（函数形式） lim (1 t ) e
1 n lim (1 ) e （数列形式） n n
一般形式
t 0
1 t
其中当x x0 ()时，
( x) .
例1. 求 解: 令 t x , 则
t lim lim (1 1 ) t t t
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课本79页例题
tan x ln(1 x) 例1 求 lim x 0 sin x 2 x x tan x ln(1 x) lim 2 1 解 lim 2 x 0 x 0 x sin x
1 x sin x 1 例2 求 lim x 0 arctanx 2 1 x sin x 3 1 x sin x 1 1 sin x 1 3 lim 解 lim lim 2 2 x 0 x 0 arctanx x 3 x 0 x 3 tan x sin x 例3 求 lim x 0 sin 3 x x2 x tan x sin x tan x(1 cos x) 1 2 lim 解 lim lim 3 3 3 x 0 x 0 x 0 sin x sin x x 2
1 ( x ) lim ( x) lim 1 ( x ) 0, ( x) ~ 1 ( x), lim 存在， x x ( x) x x x x 1 ( x) ( x) 1 则 lim lim . x x0 ( x ) x x0 ( x ) 1 证明 1 1 1 1 lim lim lim lim lim x x0 x x 0 x x0 x x x x0 1 1 1 1
tan x sin x 例 4 求 lim x 0 x3 tan x sin x tan x(1 cos x) lim 解 lim 3 x 0 x 0 x x3 tan x 1 cos x lim tan x lim 1 cos x 1 . lim 2 x 0 x 0 2 x 2 x 0 x x x 第二个重要极限