【物理】物理万有引力定律的应用练习题及答案

到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】(1)
r3 T2
Gms 4 2
(2)
4 2 d 3 GT 2
(3) 9×10-3m
【解析】
【详解】
⑴设太阳质量为 ms，地球质量为 me，地球绕太阳公转的半径为 r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力
根据万有引力定律和牛顿运动定律
【答案】（1） v gR （2） h 3 gR2T 2 R 4 2
【解析】
【详解】
（1）根据 mg m v2 得地球的第一宇宙速度为： R
v gR ．
（2）根据万有引力提供向心力有：
G
Mm (R h)2
m
R
h
4 2 T2
，
又 GM gR2 ，
解得： h
3
gR2T 2 4 2
R
．
9．我国在 2008 年 10 月 24 日发射了“嫦娥一号”探月卫星．同学们也对月球有了更多的关 注． (1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕 地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度 v0 竖直向上抛出一个小球，经
过时间 t，小球落回抛出点．已知月球半径为 r，万有引力常量为 G，试求出月球的质量
M月
【答案】(1) 3 gR2T 2 ；(2) 2v0r 2 ．
4 2
Gt
【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为 M ，月球的质量为 M 月 ，地球表面的物体质量为 m ，月球绕地球运动
光也不能从它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的 2 倍，这个关系对
于其他天体也是正确的。③地球质量 me =6.0×1024kg，引力常量 G= 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。 请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不
变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用
航天飞机在地面上，有
G
mM R2
mg
联立解得
gR2 r2
若 ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用 t 表示所需时间，则 ωt－ω0t＝2π
t
所以
2
gR2 r2
0
若 ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用 t 表示所需时间，则 ω0t－ωt＝2π
t 2
所以
0
gR2 ． r2
点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力
【物理】物理万有引力定律的应用练习题及答案
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为 θ＝37°的固定斜面，一质量为 m＝2.0 kg 的小 物块从斜面底端以速度 9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动 1.5 s 时速度恰好为零.已知小物 块和斜面间的动摩擦因数为 0.25，该星球半径为 R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
动，周期为 T，两颗恒星之间的距离为 d，引力常量为 G。求此双星系统的总质量。 (3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，由全球 200 多位科学家合作得到的人类首张黑洞照 片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。
同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以 3×108m/s 的速度传播的
【答案】(1)
(2)
【解析】
【详解】
（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G
解得地球质量为：M= ； （2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期 T，同步卫星做圆周运动，万有
引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：
；
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等
gR2 r3
0
或者
0
gR2 r2
【分析】 【详解】
试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经 过某建筑物的上空，比地球多转动一圈． 解：用 ω 表示航天飞机的角速度，用 m、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有
G
Mm r2
mr
2
步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式
与牛顿第二定律可以解题．
8．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速
圆周运动的周期为T ，地球半径为 R ，地球表面重力加速度 g ，求： （1）地球的第一宇宙速度 v ； （2）飞船离地面的高度 h ．
g＝
2h t2
＝
2 12
2
m
/
s
2＝4m
/
s
2
（2）根据星球表面物体重力等于万有引力：
mg＝ G
M星m R星2
地球表面物体重力等于万有引力：
mg＝
G
M地m R地2
则
M星 M地
＝
gR星2 gR地2
=4 10
( 1 )2 2
1 10
点睛：此题是平抛运动与万有引力定律的综合题，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；
3 【答案】（1） GT02
（2）
T
2 r0 R0
r0 g
【解析】
【详解】
（1）月球的半径为 R，月球质量为 M，卫星质量为 m
由于在月球表面飞行，万有引力提供向心力： G
mM R2
＝m
4 2 T02
R
得
M＝
4 2R3 GT02
且月球的体积 V＝ 4 πR3 3
4 2R3
根据密度的定义式
＝ M V
知道平抛运动的研究方法和星球表面的物体的重力等于万有引力．
6．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。
(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在 20 余年中坚持对天体进行系统 观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依
据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。
射程为 5m，且物体只受该星球引力作用 求：
（1）该星球表面重力加速度
（2）已知该星球的半径为为地球半径的一半，那么该星球质量为地球质量的多少倍．
【答案】（1）4m/s2；（2） 1 ； 10
【解析】
（1）根据平抛运动的规律：x＝v0t
得 t＝ x ＝5 s＝1s v0 5
由 h＝ 1 gt2 2
得：
解得常量
G
ms me r2
me
4 T2
2
r
r3 Gms T 2 4 2
⑵设双星的质量分别为 m1、m2，轨道半径分别为 r1、r2 根据万有引力定律及牛顿运动定律
且有
G
m1m2 d2
m1
4 T2
2
r1
G
m1m2 d2
m2
4 T2
2
r2
双星总质量
r1+r2 d
m总 =m1
m2
4 2d 3 GT 2
Q 点．到达远地点 Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为 G ，地球质量为
M ，地球半径为 R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地面高度为 h ．当卫星距离地心的距离
为
r
时，地球与卫星组成的系统的引力势能为
Ep
GMm r
（取无穷远处的引力势能为
零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：
的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：
G
MM 月 R2
M
月(
2 T
)2
R
mg
G
Mm R2
解得：
gR2T 2 R 3 4 2
(2)设月球表面处的重力加速度为 g ，根据题意得：
v0
gt 2
m0 g
GM 月m0 r2
解得：
M月
2v0r 2 Gt
10．“神舟”十号飞船于 2013 年 6 月 11 日 17 时 38 分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国 首位 80 后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的 实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态
能；
【详解】
（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动
即：
G
mM R2
m v2 R
则飞船的动能为
Ek
1 2
mv2
GMm 2R
；
（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守
恒可知动能的减少量等于势能的増加量：
1 2
mv12
1 2
⑶设地球质量为 me，地球半径为 R。质量为 m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环
绕速度为 v1
由万有引力定律和牛顿第二定律
解得
G
me m R2
m
v12 R
逃逸速度
v1
Gme R
假如地球变为黑洞 代入数据解得地球半径的最大值
v2
2Gme R
v2≥c R=9×10-3m
7．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为 g，地 球半径为 R，地球自转周期为 T，引力常量为 G，求： （1）地球的质量 M； （2）同步卫星距离地面的高度 h。
mv22
GMm Rh
(
GMm ) R
若飞船在椭圆轨道上运行，经过 P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：
v2
v12
2GM Rh
2GM R
；
（3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离
地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能
（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？ （2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知
飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过 P 点时的速率为 v1 ，则经过 Q 点时的速率 v2 多大？
（3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它 能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度
即： G
Mm R
1 2
mv32
则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是： v3
2GM ． R
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律
进行求解．
3．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为 r，飞行方向与地球的自转方向相同，设
地球的自转角速度为 ω0，地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，在某时刻航天飞机通 过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间．
(1)该星球表面上的重力加速度 g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度. 【答案】（1）g=7.5m/s2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】
（1）小物块沿斜面向上运动过程 0 v0 at 解得： a 6m/s2 又有： mgsin mgcos ma 解得： g 7.5m/s2
v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引
力势能）
【答案】（1） GMm （2） 2R
v12
2GM Rh
2GM R
（3）
2GM R
【解析】
【分析】
（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解；
（2）根据能量守恒进行求解即可；
（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势
得
＝
GT02 4 R3
＝ 3 GT02
3
（2）地球质量为 M0，月球质量为 M，月球绕地球运转周期为 T
由万有引力提供向心力
GM0M r02
＝M
4 2 T2
r0
根据黄金代换 GM0＝gR02
得 T 2r0 r0 R0 g
5．一宇航员登上某星球表面，在高为 2m 处，以水平初速度 5m/s 抛出一物体，物体水平
等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列
式．
4．为了探测月球的详细情况，我国发射了一颗绕月球表面飞行的科学实验卫星．假设卫星
绕月球做圆 周运动，月球绕地球也做圆周运动．已知卫星绕月球运行的周期为 T0，地球表 面重力加速度为 g，地球半径为 R0，月心到地心间的距离为 r0，引力常量为 G，求： （1）月球的平均密度； （2）月球绕地球运行的周期．
（2）设星球的第一宇宙速度为 v，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：
mg mv2 R
v gR 3103m/s
2．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星
进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上 P 点时点火加速，进入椭圆
形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的 P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的
开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与
圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据
万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。
(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成 的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运