排列组合问题17种策略

C
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 192 参加,则不同的选法有________ 种
九.小集团问题先整体局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,５这两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队 2 A2 种排法，再排小集团内部共有 共有____ 2 2 A _______ 种排法，由分步计数原理共有 2 A2 2 2 2 _______ A2 A2 A2 种排法.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
1.排列的定义:
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。 2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合. 排列与组合的关键是问题与次序有无关系。
3.排列数公式:
An m n(n 1)(n 2) (n m 1)
2 2
八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 有C __ 5 种方法.再把5个元素(包含一个复合 4 元素)装入4个不同的盒内有_____ A4 种方法.
2 4 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 5 A4
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法 由分步计数原理,节目的 5 4 不同顺序共有A5 A6 种
相 独 独 独 相 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（ 30 ）
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
甲乙 丙丁
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列.
十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 C9 m份（ 共有___________ 种分法。 将n个相同的元素分成 n，m为正整数）, 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数 二 三 四 五 六 七 m 1 一 为 C n 1 班 班 班 班 班 班 班
练习题 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为 （ 20 ）
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 第二步将4舞蹈插入第一步排 有 A5 种，
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．N=m1 +m2 + +mn
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有： N=m1m2 mn种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是： 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 4 A 的四人就坐共有 7 种方法，其余的三个 4 1 A 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 7 种 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
练习题
1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
3
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有A5 种排法 3 4 第二步排其余的位置： 有A4 种排法 共有 A 4 5A 4 种不同的排法 2 有A4 种排法 第二步由其余元素占位： 解二：第一步由葵花去占位： 5 2 5 有A5 种排法 共有A4 A5 种不同的排法 小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
一般地 B ,n个不同元素作圆形排 A A B C D E C ,共有(n-1)! 列 种排法.如果 A 从 n 个不同元素中取出 m 个元素 D m E 1 A 作圆形排列共有 m n
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
60
要考虑“钻石圈”可以翻转的特点
设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌 而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在 围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只 是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数 为：[(6－1)!]/2＝60
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑 , 再分段研究 . 前排 后排
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现 安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 ______
甲乙都在前排： 1、都在左面4个座位 A 3 =6种 2、都在右面4个座位 同上，6种 2 3、分列在中间3个的左右 A2 4 4 =32种 一共6+6+32=44种 甲乙都在后排： A(22)*(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=110种 甲乙分列在前后两排 A(22)*12*8=192种 一共44+110+192=346种
小集团排列问题中，先整体后局 3 1524 部，再结合其它策略进行处理。
小集团
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４ 幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 2 5 4 A 端，那么共有陈列方式的种数为_______ 2A 5A 4
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女 2 5 5 A2 A5 A5 种 生也相邻的排法有_______
6
练习题 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（ 42 ） 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 （ ） 7
六.环排问题线排策略 例6. 5人围桌而坐ຫໍສະໝຸດ Baidu共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A 4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！
七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.2 先在前4个位置排甲乙两 A4 种,再排后4个位置上的 个特殊元素有____ 1 特殊元素有_____ 5个位置 A4 种,其余的5人在 2 1 5 5 A A 上任意排列有____ 4A A5 种,则共有_________ 4 5 种.
A3
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法，依此类推,由分步计 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 m
n! (n m)!
Cn m An m n(n 1)(n 2) (n m 1) m Am m!
4.组合数公式:
n! m !(n m)!
5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 1 C3 先排末位共有 ___ 题最常用也是最基本的方法 ,若以元素分析为 1 C 然后排首位共有 ___ 4,再处理其它元素.若以 主,需先安排特殊元素 3 1 1 最后排其它位置共有 ___ 3 位置分析为主 ,需先满足特殊位置的要求 ,再 A4 A4 C4 C3 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 1 1 A3 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
练习题
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种? C
5 43
C
5 40
十二.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？ 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 2 2 2 该分法记为(AB,CD,EF),则 C 6C 4C 2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3种取法 ,而 平均分成的组 , 不管它们的顺序如何 , 都是一 这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法 ,故共 3 2 2 2 n C 4C 2 A 3 种分法。 种情况 (n 有 C,6所以分组后要一定要除以 A n 为均 分的组数)避免重复计数。
练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？ 4
C
9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
C
3 103
十一.正难则反总体淘汰策略 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 3 C5 只含有1个偶数的取法 数的取法有 ____, 1 2 3 1 2 C5C5 和为偶数的取法共有_________ C5C5+ C5 有_____, 有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 , 再淘汰和小于10 的偶数共___________ 9 3 1 2 而它的反面往往比较简捷 ,5可以先求出它的 C5+ C5 - 9 符合条件的取法共有C ___________ 反面 , 再从整体中淘汰 . 013 015 017 023 025 027 045 041 043