离散图论作业

1、设简单无向图G 是一个有12条边的4—正则图，则G 有（ B ）个顶点。

A ．3；

B ．6；

C ．9；

D ．12

2、设图),(q p G 的补图为),(q p G ''',则下面说法正确的是( D ).

A. ))1(-='+p p q q B ．若),(q p G 连通,则),(q p G '''不连通

C ．若),(q p G '''连通,则),(q p G 不连通

D ．若),(q p G 不连通,则),(q p G '''连通

3、无向图G 有12条边,度为2,3,4,5,6的顶点各一个,其余顶点均为悬挂点（度为1的点）,G 中悬挂点的个数为 4 .

4、设简单无向图G=〈V 1，V 2〉是二分图，则G 中（ B ）奇回路。

A ．一定包含；

B ．一定不包含；

C ．不一定包含；D.不能确定

5、简单有向图的基础图( B )简单图.

A.一定是

B.不一定

C.一定不是

6、下列四组数种，可以充当4阶无向简单图度数列的为 （ D ）

A ．（1，2，3，4） B. （0，2，2，3） C. （1，3，3，3）D. （1，1，2，2）

7、、任何图中必定有偶数个（ C ）。

A ．度数为偶数的点；

B ．入度为奇数的点；

C ．度数为奇数的点； D. 出度为奇数的点

8、简单图的最大度（ B ）顶点数。

A. 大于

B. 小于

C.等于

D. 以上三个都不是

1、求下图的关联矩阵M （G ）及邻接矩阵A （G ）。 （4分）

解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0211000100110000001111010011)(76543214321e e e e e e e v v v v G M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11

01101101021120)(43214321v v v v v v v v G A 2、（7分）设G 是简单连通的非完全图, 求证：G 中存在三个顶点υ,u 和w

, 使()G E w u ∈υυ,, 但()G E uw ∉.

证明: 反证法。 若不然，即对任意的)(,,G V w v u ∈，只要)(,G E vw uv ∈，就有)(G E uw ∈，也即

)(G E uv ∈且)()(G E uw G E vw ∈⇒∈. （1） g7

今任取)(,G V v v j i ∈。由G 连通知，存在),(j i v v -通路：

j i i i i v v v v v P k 21=. )1(≥k .

于是由（1）可知：

)(1G E v v i i ∈且)()(221G E v v G E v v i i i i ∈⇒∈

)(2G E v v i i ∈且)()(332G E v v G E v v i i i i ∈⇒∈

……

)(k G E v v i i ∈且)()(G E v v G E v v j i j i k ∈⇒∈

从而推得简单图G 中任何两个顶点均邻接，即G 是一个完全图。此与题设矛盾。

2、设G (p,q)是简单图（p 是顶点数量，q 是边数量）,且2

1->P C q 求证：G 是连

通图。

证明：考虑G 的补图G ，因为G 的边数21->P C q ，所以G 的边数 12)1(*22))2((*)1(2

)2(*)1(2)1(*2)1(*'21-=-=---=----=--<

-p p p p p p p p p C p p q P 所以G 不连通，所以G 连通。

2. 已知某有向图G 的邻接矩阵如下：

12341

210001*********v v A v v ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

问：（1）画出图G 。

（2）试用邻接矩阵求G 中长度小于等于2的通路的条数，其中回路有

几条？

（3）该图是为强连通图还是弱连通图？

2、证明：若图Ｇ是不连通的，则Ｇ的补图G 是连通的。

9、下列图中，不是哈密顿图的为[ ]。

A B C

D

3、无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且该图

。

14、设G为无向图，若G中恰有n个结点，n-1条边 ,则（D ）。

A.一定是连通图

B. 一定是树

C.一定不连通

D.以上答案都不对

14、下列哪一种图不一定是树（ A ）

A．每个结点间都有通路的图 B.有n个结点n-1条边的连通图

C. 无回路的连通图

D. 连通但删去一条边则不连通的图

4、无向图G有生成树当且仅当。

4、设简单连通无向图G(p,q)(p﹥2)中有m(﹤p)个顶点的度数为k(﹥1)，其余顶点的度数均为k+1。已知删去图G中的k条边后恰构成G的一棵生成树，试用p，k表示m。

解：设生成树的边数为q t=p-1;

G的边数为q=(mk+(k+1)(p-m))/2=(mk+pk-mk+p-m)/2=(pk+p-m)/2

已知删去的边数为k=q-q t

于是：k=(pk+p-m)/2-(p-1)=(pk+p-m-2p+2)/2=(pk-p-m+2)/2

即：2k=pk-p-m+2

故：m=pk-p+-2k+2=p(k-1)-2(k-1)=(k-1)(p-2) 。

2、一个有限平面图G的每个面的次数之和S与G的边数q之间的关系为S=2*q 。

12.设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，则G的面的数目为（B ）

A．5 B. 4 C. 3 D.2

2、一个有限平面图G的每个面的次数之和为8,则G的边数q= 4 。

1、设简单连通平面图G有9个顶点，其顶点的度分别是2,2,2,3,3,3,4,4,7，试求该图的

面数r。（要求写出计算过程，否则得分为0）。