指数的运算与指数函数讲义
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指数的运算与指数函数讲义
4.1指数的运算
【知识梳理】
1.整数指数幕
1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。
在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。
2）整数指数幕的运算法则：
/ 八m n / / m、n
（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________
m
a / i x m
（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a
3）此外，我们作如下规定：
零次幕：a01（a 0）；
1
负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；
a
2.根式：
1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。
注：
①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；
负数的偶次方根在实数范围内不存在；
②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；
③0的任何次方根都是0,记作n0 0。
2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。
当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
I --
当n是奇数时，Va n a ；
当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).
；
3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：
1
a n n a （ a 0）
那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。 此外，下面定义也成立：
N *,n 1）
0,m, n N *, n 1）
o ，o 的负分数指数幕没有意义。
2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理
数指数幕。
【例2】•计算下列各式的值:
2
3 3
丄
一 1
_ _ o 3
0.002 2
10 , 5 2
.. 3 . 2
8
(1) a r -a r r a s
(a 0, r,s Q)；
(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型-
-根式与幕的 l 化简与求值 【例
1】•求下列各i
式的
值
:
（1）
3 2 2
3 2：2
3）有理指数幕的运算性质:
(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3
m
n
m
a (a 0,
m,n
m
1
1
a n
m
------(a n m
a 7
•..a
注：o 的正分数指数幕等于 7
(1)0.064 3 (
7)0
4
2 3 3 16
0.75
(2)
【例3】•化简下列各式:
0,b 0 (1)
1 a 1 ~1
a2 a
【过关练习】
1.求值：(1)(2)
1
8a'b
2.化简：(1)x 1
1 3 x
(2)(a3
a
3 3
)(a 3)
_a
a 4 1 a a 1
1
x3
x
x3 1
a2(1 4) a2(1 a
4
a^
2 2
4b323 ab a'
4) 2
1
a a
3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________
(1) .X
1 ___ 1 4
x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§
23
\ a
4(：)3(X 0)(4) . a a
3
a" (a 0)
题型二 含附加条件的求值问题
【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()
3 A. a b 1 B. a b 1
C. a 2b
1
D.a 2b
1
(2) 若 x 3 x 2
x 1,则 x 28 x 27
2
x
1
x 1 x 1 x 2
x 27 x 28的值是
a . .； b
4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.