初中数学常见8种最值问题(20200811192524)

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最值问题, 也就是最大值和最小值问题。 它是初中数学竞赛中的常见问题。 这类 问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一 定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法,供读者参考。
一 . 配方法
例 1. (2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO杯选拔赛) 可取得的最小值为 _________。
解:原式
由此可知,当 二 . 设参数法
时,有最小值 。
例 2. (《中等数学》奥林匹克训练题)已知实数 的最大值为 ________。
满足
。则
解:设
,易知

,得
从而,
由此可知,
是关于 t 的方程
于是,有
1
的两个实根。
解得
。故
的最大值为 2。
例 3. (2004 年全国初中联赛武汉选拔赛) 若 可取得的最小值为( )
A. 3 B.
C. D. 6
来自百度文库
解:设
,则
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,则
从而可知,当 三 . 选主元法
时,
取得最小值 。故选( B)。
例 4. (2004 年全国初中数学竞赛)实数
满足
。则 z 的最大值是 ________。
解:由


代入
消去 y 并整理成以 为主元的二次方程
,由 x 为实数,则判别式



2
整理得
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解得

所以, z 的最大值是 。 四 . 夹逼法
例 5. (2003 年北京市初二数学竞赛复赛)
最大值。则
。设 __________。
解:由

是非负实数,并且满足 ,记 为 m的最小值, y 为 m的
解得

是非负实数,得
从而,解得 又
。 ,
3

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解:设甲、乙、丙单独承包各需
天完成,则
解得 又设甲、乙、丙单独工作一天,各需付
元,则
6
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解得
于是,由甲队单独承包,费用是
(元);由乙队单独承包,
费用是
(元);而丙队不能在一周内完成,经过比较得知,
乙队承包费用最少。
7
设点 C 关于 AB的对称点为 E,则 DE与 AB的交点即为点 O,此时, 。作 EF 比较法
例 9. (2002 年全国初中数学竞赛)某项工程,如果有甲、乙两队承包
天完
成,需付 180000 元;由乙、丙两队承包 天完成,需付 150000 元;由甲、丙
两队承包 天完成, 需付 160000 元。现在工程由一个队单独承包, 在保证一周 完成的前提下,哪个队承包费用最少
因为

的两个实数
所以

解得
所以 k 的最小值是 四 . 由某字母所取的最值确定代数式的最值
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例 7. (2006 年全国初中数学竞赛)已知
。若
,则
为整数,且 的最大值为 _________。
解:由

,代入


而由

可知
的整数。
所以,当
时,
取得最大值,为

七 . 借助几何图形法
于是,
因此, 五 . 构造方程法 例 6. (2000 年山东省初中数学竞赛)已知矩形 A 的边长为 a 和 b,如果总有另 一矩形 B使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k,试求 k 的最小值。
解:设矩形 B 的边长为 x 和 y,由题设可得

从而 x 和 y 可以看作是关于 t 的一元二次方程 根,则
例 8. (2004 年四川省初中数学联赛) 函数 值是 ________。
的最小
解:显然,若
,则
。因而,当
取最小值时,必然有

如图 1,作线段 AB=4, 令 OA=x,则
,且 AC=1,BD=2。对于 AB上的任一点 O,
。 那么,问题转化为在 AB上求一点 O,使 OC+OD最小。
图1
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