高考数学指导：点击线性规划问题中的参数word参考模板

高考数学指导：点击线性规划问题中的参数
一、目标函数中的参数
1. 目标函数中y 的系数为参数
例1已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部和边界组成。

若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－
1
m
，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C
点评：首先应根据图形特征确定最优解怎样才是无穷个，其次考虑最小值可能在何处取道。

2.目标函数中x 的系数为参数
例2 已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________. 解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD ，其中A(3，1)，
1,1AD AB k k ==-，目标函数z ax y =+（其中0a >）中的
z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小，若仅在点()3,1处取得最大值，则斜率应小于1AB k =-，即1a -<-，所以
a 的取值范围为(1，+∞)。

点评：根据图形特征要确定怎样才能保证仅在点(3,1)出去的最大值。

3． 目标函数中的x 、y 的系数均含参数
例 3 已知约束条件340
210380x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
且目标函数22
(2)z a x a a y =+--取得最小值的最优
解只有(2,2)，则a 的取值范围是（ ）
分析：根据条件可作出可行域，根据图形确定最小值在何处取到，且最优解唯一。

解析：目标函数2
2
(2)z a x a a y =+--的斜率2
2
02
a a a ≥-+，由题意知使目标函数取得最小值的最优解只有一个，为(2,2)，故有22
1
023
AB a k a a <<=-+，代入解得：
a <<a 的范围。

230
33010x y x y y +-≤+-≥⎪-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）
仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

答案：a >
12
二、约束条件中的参数
例6在约束条件0024
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，
目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
)4,0(),,0(),C s C '，其可行域如图
（1）当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2）当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z ，故选D. 点评：本题只要抓住考虑参数对可行域的影响，从而进行分类讨论
练习2：若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪
⎨⎪⎩
≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是
（ ） Ａ．5a < Ｂ．7a ≥
Ｃ．57a <≤
Ｄ．5a <或7a ≥
答案：C
一个猜想的证明
猜想：用线性规划知识易得当111222(,),(,)M x y M x y 在直线:0l Ax By C ++=的两侧时，有1122()()0Ax By C Ax By C ++++<，类比猜想：直线11:0l Ax By C ++=和直线22:0l Ax By C ++=是两条平行直线，点00(,)M x y 是夹在这两条平行直线之间的任一点，则有001002()()0Ax By C Ax By C ++++<。

现证明如下：
不妨设12C C >，点00(,)M x y 到直线11:0l Ax By C ++=和直线
22:0l Ax By C ++=
的距离分别是1d =
和1d =
于点00(,)M x y 不在直线1l 和2l 上，故0010020;0Ax By C Ax By C ++≠++≠（*）。

而两条平行直线1l 和2l 之间的距
离d =
=
是个常数，由题意知：
12d d d =+
=
=
，化
简
得
：
00100112
Ax By C Ax By C C C +++++=-，
若001002()()0
Ax By C Ax By C ++++≥，
则
001001001212
2()Ax By C Ax By C Ax By C C C C +++++=+++=-0020Ax By C ⇒++=（由（*）知矛盾）或
0010010012120012()()0
Ax By C Ax By C Ax By C C C C Ax By C +++++=-+-+=-⇒++=（由（*）知矛盾），故001002()()0Ax By C Ax By C ++++<。

参考文献：
[1] 甘志国 争鸣134 数学通讯，2007（7）
一个常见图形的反例功能
在立体几何教材的例题或习题中，我们发现一些图形经常出现；若能对它进行挖掘，充分利用，则起到妙不可言的效果。

下面就举一个图形并说明它的作用。

一、常见图形
如图1：四边形ABCD 为正方形，ABCD PA ⊥面。

D B
C
图1
二、功能作用
我们利用此图可以巧妙的解决立体几何中师生经常出现错误的四个问题——四个顽症。

顽症1 如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形为矩形
分析：这是一个学生很容易出错的地方，看图1，则很容易判断：在四边形PBCD 中，
,,B C D ∠∠∠均为直角，而P ∠并非直角，则上述结论是错误的，从而如果一个四边形有
三个角是直角，则此四边形不一定为矩形
顽症2 如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角互补或相等。

分析：由“一个角的两边和另外一个角的两边分别对应平行，则这两个角互补或相等”这个定理进行类比，则很多同学认为正确。

真的这样吗？请看图形1：BCD ∠和BPD ∠，满足CB PB CD PD ⊥⊥，，即两边分别垂直，但是BCD ∠为直角，而BPD ∠不是直角，而且随着点P 的运动而变化。

因此这两个角并不满足相等或互补。

故如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角不一定互补或相等。

顽症3 如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小相等或互补
分析：由“如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小相等或互补”这个结论类比，很多师生往往认为正确。

其实不然。

请看图2：二面角B PC D --和二面角B PA D --，满足PBC PBA ⊥面面，
PCD PAD ⊥面面；二面角B PA D --的大小为直角，作BH PC ⊥ ，垂足为H ，连接
HD ，则不难说明DH PC ⊥，则BHD ∠为B PC D --的平面角，由于BH<BC,DH<DC ，
BCD 为直角三角形；故BHD ∠为钝角。

从而这两个二面角并不互补或相等。

所以，如
果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小不一定相等或互补
C
顽症4 如果PA E F ααα⊥∈∈面，，，则EAF EPF
∠∠>图2
分析：利用图3直观判断师生很容易得出上述结论成立。

其实不然。

请看图4
在CD （把点D 看成E ）上取一点M ，使得DAM ∠0
15=，在取点N （可看成点F ），可尽量靠近点A ，这样NPD ∠接近APD ∠，大约接近0
45，这样NPD ∠DAN DAM >∠=∠，即有EAF EPF ∠∠<，则顽症4是错误的，从而如果PA E F ααα⊥∈∈面，，，则EAF ∠与EPF ∠的大小不定。

D(E)
C
B
P
联系地址：山东新泰第一中学新校南区高三数学组 271200 徐加华
有关直线与圆解题时的常见失误例析
直线与圆是解析几何中的基本内容，高考对此部分的考查大都以基本题目为主，但在
图3
图4
解题时同学们由于各种原因可能导致解题出现错误。

下面就列举几种常见的情形，供同学们参考。

一、求直线方程时
1 忽视直线的倾斜角的范围
例1 求过点(1,2)且倾斜角的正弦为4
5
的直线方程。

错解：由434
sin cos tan 553
ααα=⇒=⇒=，故所求直线方程为4320x y ++=。

分析：倾斜角的范围为[0.)π，故434
sin cos tan 553
ααα=⇒=±⇒=±，从而所求直
线方程为4
2(1)3
y x -=±-。

2 混淆截距和长度的区别
例2 求通过点(2,2)-，且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程。

错解：由题意设1x y a b +=，由已知得22
1112
a b
ab -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得21a b =⎧⎨=⎩，故所求直线方程为
220x y +-=。

分析：本题处理时没有区分好截距和长度的概念。

截距是有正负的，而距离不能为负。

正
解：22
1112
a b
a b -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得21a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=-⎩，所求直线方程为220220x y x y +-=++=或
3 忽视斜率不存在的情况
例3 求过点(0,7)，向圆2
2
6690x y x y +--+=所作的切线方程。

错解：设切线方程为：7y kx =+，带入圆的方程得2
2
(1)(86)160k x k x ++-+=，整理得：74(247)024k k ∆==--=⇒=-
，从而方程为7
724
y x =-+。

分析：过圆外一点作圆的切线应该有两条，显然漏解了，事实上忽略了斜率不存在的情况，
应补上：0x =
4 对两直线的位置关系考虑不全面 例4
求过点(1,2)P 且与点(2,3),(4,5)A B -距离相等的直线方程。

错解：过点(1,2)P 作与直线AB 平行的直线符合题意。

易得直线方程460
x y +-=
分析：事实上过点(1,2)P 与线段AB 的中点的直线也符合题意，应加上此条直线
3270x y +-=
5 忽视点的位置
例5 求过点(1,1)作圆22
1x y +=的切线方程
错解：利用结论：过圆222
x y r +=上一点00(,)x y 的切线方程为：200xx yy r +=。

则有：
111x y •+•=，即：1x y +=.
分析：忽视了结论中的一个条件：点00(,)x y 必须在圆2
2
2
x y r +=上。

而此题点(1,1)并不在圆2
2
1x y +=上，而在圆外；切线应有两条。

正确答案：1x =和1y =。

二 求参数时
1 忽视隐含条件导致
例6 已知圆2
2
2
20x y kx y k ++++=和定点(1,1)P -，若过点P 作圆的切线有两条，则k 的取值范围（ ）
A 0k >或1k <-
B 0k <<
C 33k -
<< D 1033
k k -<<-<<或 错解：由题意知点(1,1)P -必须在圆的外部，则2
2
2
1(1)12(1)00k k k +-+•+•-+>⇒>或1k <-，从而选A 。

分析：忽视了一个隐含条件：必须保证方程2
2
2
20x y kx y k ++++=表示一个圆，而上述在解题时忽视了，因此不对；正解：由题意知点(1,1)P -必须在圆的外部，则
2221(1)12(1)00k k k +-+•+•-+>⇒>或1k <-，由方程22220
x y kx y k ++++=
表示一个圆，得222
240k k +->，解得k <<，从而得出
1033
k k -
<<-<<或，选D 。

2 忽视变量范围
9 / 11 例7 已知圆2220x y y ++=，试求2x y +的取值范围。

错解：由题意得：222111()(,]244x y y y y +=--=-++
∈-∞。

分析：忽视了题目中,x y 的范围。

由2220x y y ++=得222020x y y y =--≥⇒-≤≤。

易得222111()[2,]244
x y y y y +=--=-++
∈- 3 忽视斜率的大小
例8
直线0x m +-=与圆221x y +=在第一象限内有两个交点，则m 的取值范围（ ）
A 12m << Ｂ
3m <<
C 1m << Ｄ
2m <<
错解：画出图形，直线与圆相切的时候2m =，直线过点(1,0)时1m =，结合图形选Ａ。

分析：错误在于没有处理好直线在从右上方向左下方平移时，是先过点(1,0)还是先过点(0.1)。

而对此起决定作用的是直线的斜率。

分析得直线先过(0,1)
，代入得：m = 从而选Ｄ。

在处理与线性规划有关的问题时也要注意这点。

注：范本无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。