数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题及详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．

【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．

【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）

根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣

2

6

a

a+

，x1x2=

6

a

a+

，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=

﹣

6

6

a-

是是负整数，即可得

6

6

a-

是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．

【详解】

（1）∵原方程有两实数根，

∴，

∴a≥0且a≠6．

（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．

∵（x1+1）（x2+1）是负整数，

∴﹣是负整数，即是正整数．

∵a是整数，

∴a﹣6的值为1、2、3或6，

∴a的值为7、8、9或12．

【点睛】

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．

2．解方程：（3x+1）2=9x+3．

【答案】x1=﹣1

3

，x2=

2

3

．

【解析】

试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.

试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，

可得3x+1=0或3x﹣2=0，

解得：x 1=﹣13，x 2=23

． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.

3．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.

【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】

试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.

试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1

∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0

∴x=2b a -±=41222-=-±⨯

∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0

[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0

即4y+1=0或-2y+3=0

解得y 1＝－14，y 2＝32

.

4．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．

【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．

【解析】

【详解】

分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.

（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.

详解：（1）解：由题意：0a ≠．

∵()2

2242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：

解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，

解得：121x x ==．

点睛：考查一元二次方程()2

00++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.

当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.

当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.

5．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？

（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．

【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【解析】

【分析】

（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出a 的值，再将其代入80（1+a %）中即可求出结论．

【详解】

（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，

根据题意得：80（1﹣x ）2＝39.2，

解得：x 1＝0.3＝30%，x 2＝1.7（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元．

（2）根据题意得：[0.5×80（1+a %）﹣30]×1000（1+2a %）＝30000，

整理得：a 2+75a ﹣2500＝0，

解得：a 1＝25，a 2＝﹣100（不合题意，舍去），

∴80（1+a %）＝80×（1+25%）＝100．

答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．