(2017版)导数题型归类第一讲：单调极值最值
导数与函数的单调性、极值、最值问题
第2讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数. 又f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －e x ＝－(x 3－2x ＋e x －1e x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a )， ∴2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12， 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，122.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围. (1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23. 因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3. 当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞). (2)证明 由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a. 设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增. 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)解 由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0， 于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减.因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6. 因此a 的取值范围为(3，6].考 点 整 合1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，则y ＝f (x )在该区间为增函数；如果f ′(x )＜0，则y ＝f (x )在该区间为减函数. (2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 2.极值的判别方法当函数f (x )在点x 0处连续时，如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是点x 0两侧导数异号，而不是f ′(x )＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小. 3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一 利用导数研究函数的单调性 [命题角度1] 求解含参函数的单调区间【例1－1】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即a ≥－2e 34时，f (x )≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].探究提高 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，常需依据以下标准分类讨论：(1)二次项系数为0、为正、为负，目的是讨论开口方向；(2)判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解；(3)讨论两根差的正负，目的是比较根的大小；(4)讨论两根与定义域的关系，目的是根是否在定义域内.另外，需优先判断能否利用因式分解法求出根. [命题角度2] 已知函数的单调区间求参数范围【例1－2】 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数？若能，求出a 的取值范围？若不能，请说明理由.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，因为e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2. 所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2). (2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立. 因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立.令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0. 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增.所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立.因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立.所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的.故函数f (x )不可能在R 上单调递减.若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立.而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4＞0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增. 综上，可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数.探究提高 (1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.(2)可导函数f (x )在某个区间D 内单调递增(或递减)，转化为恒成立问题时，常忽视等号这一条件，导致与正确的解法擦肩而过，注意，这里“＝”一定不能省略. 【训练1】 (2017·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x －3(a ∈R ). (1)当a ＝2时，解关于x 的方程g (e x )＝0(其中e 为自然对数的底数)； (2)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间.解 (1)当a ＝2时，方程g (e x )＝0，即2e x ＋1e x －3＝0， 去分母，得2(e x )2－3e x ＋1＝0，解得e x ＝1或e x ＝12. 故所求方程的根为x ＝0或x ＝－ln 2.(2)因为φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax ＋a －1x －3(x >0)，所以φ′(x )＝1x ＋a －a －1x 2＝ax 2＋x －（a －1）x 2＝[ax －（a －1）]（x ＋1）x 2(x >0)，当a <0时，由φ′(x )>0，解得0<x <a －1a ； 当a ＝0时，由φ′(x )>0，解得x >0； 当0<a <1时，由φ′(x )>0，解得x >0； 当a ＝1时，由φ′(x )>0，解得x >0； 当a >1时，由φ′(x )>0，解得x >a －1a .综上所述，当a <0时，φ(x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，a －1a ；当0≤a ≤1时，φ(x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a >1时，φ(x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞. 热点二 利用导数研究函数的极值【例2】 (2017·南通调研)设函数f (x )＝x －2e x －k (x －2ln x )(k 为实常数，e ＝ 2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若函数f (x )在(0，4)内存在三个极值点，求k 的取值范围. 解 (1)当k ＝1时，函数f (x )＝e xx2－(x －2ln x )(x ＞0)，则f ′(x )＝（x －2）（e x －x 2）x 3(x ＞0).当x ＞0时，e x ＞x 2，理由如下：要使当x ＞0时，e x ＞x 2，只需使x ＞2ln x ， 设φ(x )＝x －2ln x ，则φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，所以当0＜x ＜2时，φ′(x )＜0；当x ＞2时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )＝x －2ln x 在x ＝2处取得最小值φ(2)＝2－2ln 2＞0， 所以当x ＞0时，x ＞2ln x ， 所以e x －x 2＞0，所以当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0， 即函数f (x )在(0，2)上为减函数，在(2，＋ ∞)上为增函数，所以f (x )在x ＝2处取得最小值f (2)＝e 24－2＋2ln 2.(2)因为f ′(x )＝（x －2）（e x －kx 2）x 3＝（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x 2－k x，当k ≤0时，e xx 2－k ＞0，所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k ＞0. 令g (x )＝e xx 2，得g ′(x )＝e x·（x －2）x 3， 则g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，在x ＝2处取得最小值为g (2)＝e 24，且g (4)＝e 416，于是可得y ＝k 与g (x )＝e x x 2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，e 416.设y ＝k 与g (x )＝e xx 2在(0，4)内的两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2，且0＜x 1＜2＜x 2＜4，导函数f ′(x )及原函数f (x )的变化情况如下：所以f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，2)上单调递增，在(2，x 2)上单调递减，在(x 2，4)上单调递增，所以f (x )在(0，4)上存在三个极值点.即函数f (x )在(0，4)内存在三个极值点的k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，e 416.探究提高 极值点的个数，一般是使f ′(x )＝0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练2】 (2017·苏、锡、常、镇调研节选)已知函数f (x )＝ax 2＋cos x (a ∈R )，记f (x )的导函数为g (x ).(1)证明：当a ＝12时，g (x )在R 上单调递增； (2)若f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝12时，f (x )＝12x 2＋cos x ， 所以f ′(x )＝x －sin x ，令g (x )＝x －sin x ， 所以g ′(x )＝1－cos x ≥0， 所以g (x )在R 上单调递增.(2)解 因为g (x )＝f ′(x )＝2ax －sin x ， 所以g ′(x )＝2a －cos x .①当a ≥12时，g ′(x )≥1－cos x ≥0， 所以函数f ′(x )在R 上单调递增. 当x >0时，则f ′(x )>f ′(0)＝0；当x <0时，则f ′(x )<f ′(0)＝0；所以f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)， 所以f (x )在x ＝0处取得极小值，符合题意. ②当a ≤－12时，g ′(x )≤－1－cos x ≤0， 所以函数f ′(x )在R 上单调递减. 当x >0时，则f ′(x )<f ′(0)＝0； 当x <0时，则f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，单调递增区间是(－∞，0)， 所以f (x )在x ＝0处取得极大值，不符合题意. ③当－12<a <12时，∃x 0∈(0，π)，使得cos x 0＝2a ， 即g ′(x 0)＝0，但当x ∈(0，x 0)时，cos x >2a ，即g ′(x )<0， 所以函数f ′(x )在(0，x 0)上单调递减， 所以f ′(x )<f ′(0)＝0，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，不符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.热点三 利用导数研究函数的最值【例3】 (2017·浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围.解 (1)f ′(x )＝(x －2x －1)′e －x ＋(x －2x －1)(e －x )′ ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)e －x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12x －1－x ＋2x －1e －x＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞12.(2)令f ′(x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ＝0， 解得x ＝1或52.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －2，f (1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝12e －2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的最大值为12e －12.又f (x )＝(x －2x －1)e －x ＝12(2x －1－1)2e －x ≥0.综上，f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12e －12.探究提高 含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值. 解 (1)因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 令f ′(x )≥0，即ln x ≥－1＝ln e －1，所以x ≥e －1＝1e ，所以x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.同理令f ′(x )≤0，可得x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e .由此可知f (x )min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)由F (x)＝x ln x－ax，得F ′(x)＝x＋ax2，当a≥0时，F ′(x)＞0，F (x)在[1，e]上单调递增，F (x)min＝F (1)＝－a＝3 2，所以a＝－32∉[0，＋∞)，舍去.当a＜0时，f (x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增.①当a∈(－1，0)，F(x)在[1，e]上单调递增，F(x)min＝F(1)＝－a＝3 2，所以a＝－32∉(－1，0)，舍去.②若a∈[－e，－1]，F(x)在[1，－a]上单调递减，在[－a，e]上单调递增，所以F(x)min＝F(－a)＝ln(－a)＋1＝3 2，a＝－e∈[－e，－1]；③若a∈(－∞，－e)，F(x)在[1，e]上单调递减，F(x)min＝F(e)＝1－ae＝32，所以a＝－e2∉(－∞，－e)，舍去.综上所述，a＝－ e.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f (x)，“f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝0”是“f (x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、填空题1.已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________.解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1，经验证符合题意. 答案 12.(2017·苏州调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________.解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由 f ′(x )＝x －1x <0，解得0＜x <1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1). 答案 (0，1)3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为________.解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10， 即⎩⎨⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1或 ⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案 －234.(2017·南京模拟)若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为________.解析 由 f (x )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，得 f ′(x )＝e x (－x 2＋a ＋2)≥0，x ∈[a ，a ＋1]恒成立，即(－x 2＋a ＋2)min ≥0，x ∈[a ，a ＋1].当a ≤－12时，－a 2＋a ＋2≥0，则－1≤a ≤－12；当a >－12时，－(a ＋1)2＋a ＋2≥0，则－12<a ≤－1＋52，所以实数a 的取值范围是－1≤a ≤－1＋52，a 的最大值是－1＋52. 答案－1＋525.(2017·浙江卷改编)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________(填序号).解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有④符合. 答案 ④6.(2017·泰州期末)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ).当a ≤0时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值. 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a ).当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值. 答案 (0，1)7.已知函数 f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4a 2－12＞0， 解得a ＞3或a ＜－ 3.答案 (－∞，－3)∪(3，＋∞)8.(2016·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1). 由f ′(x )＞0得x ＜－1， 由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0.∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减， ∴f (x )最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 综上，f (x )最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图象如图.由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2.所以a ＜－1.答案 (1)2 (2)(－∞，－1) 二、解答题9.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1. (2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2sin x ·e x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.10.(2016·全国Ⅱ卷)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x －ax －ax 2(x >0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.(1)解 f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞). f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x －（x －2）e x （x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.(2)证明 g ′(x )＝（x －2）e x ＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x 3(f (x )＋a ).由(1)知f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈( 0，2]， 使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增. 因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝ e x a －a （x a ＋1）x 2a ＝e x a ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a ＝e x ax a ＋2. 于是h (a )＝e x ax a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ＋2′＝（x ＋1）ex（x ＋2）2>0，e x x ＋2单调递增.所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e 24.因为e x x ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.11.设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减， x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞). (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减， 故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞). 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时， 当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增. 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减. x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增. 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k ).函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点当且仅当⎩⎨⎧g （0）＞0，g （ln k ）＜0，g （2）＞0，0＜ln k ＜2，解得e ＜k ＜e22，综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.。
导数在研究函数中的使用----单调性、极值、最值
导数在研究函数中的使用----单调性、极值、最值一、 基本概念1、单调性：(1)、已知函数y=f(x),x ∈(a,b) 如对任意的x ∈(a,b),恒有)('x f ＞0,则f(x)为增函数,切线的倾斜角为锐角. 如对任意的x ∈(a,b),恒有)('x f＜0,则f(x)为减函数,切线的倾斜角为钝角.（2）)('x f≥0⇔ f(x)是增函数，)('x f≤0⇔ f(x)是减函数y= f(x)在a 出有极值⇒)('a f=0,)('a f=0⇒ f(x)在a 处有极值.(1) 如果在x 0附近的左侧)('x f＞0,右侧)('x f＜0,,那么f(x 0)是极大值(2) 如果在x 0附近的左侧)('x f＜0, 右侧)('x f＞0,那么f(x 0)是极小值(3) 如果在x附近的左侧及右侧)('x f不变号,那么f(x 0)不是极值3、 最值问题恒成立问题若不等式f(x) ＞A 在区间D 上恒成立⇔fx min)(＞A 若不等式f(x)＜B 在区间D 上恒成立⇔fx max)(＜B(2) 能成立问题若在区间D 上存有实数x,使不等式f(x) ＞A 成立⇔f x max)(＞A若在区间D 上存有实数x,使不等式f(x) ＜B 成立⇔fx min)(＜B(3)、恰成立若不等式f(x) ＞A 在区间D 上恰成立⇔f(x) ＞A 的解集为D 若不等式f(x) ＜B 在区间D 上恰成立⇔f(x) ＜B 的解集为D 函数的单调性典型例题：题型一：研究函数单调区间与原函数图像间的关系例1：求下列函数的单调区间并画出原函数与导函数的图像 (1)f(x)=27623+-x x(2)f(x)=x 21+sinx,(x ∈[0,2π]例2：以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不准确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④题型二：单调性与单调区间例3（1）若函数f(x)= 326x ax x --+在（0,1）内单调递减，则实数a 的取值范围（2）已知函数y=3261ax bx x +++的递增区间为（-2,3），求a 、b 的值。
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）2122-+=x x y解：（1）2/22)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f令0)(/=x f ，得驻点2,57,1321===x x x0)1(=∴f 是函数的极大值；3125108)57(-=f 是函数的极小值. （2）22222/2)1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x xx x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+=令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=∴当1-=x 时，f极小=-3；当1=x 时，f极大=-1值。
导数与函数的单调性、极值和最值
导数与函数的单调性、极值和最值导数与函数极值和最值1.函数的单调性与导数2.函数的极值(1)函数的极值的概念：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)0 f′(x)0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做极小值函数y=f(x)的________.函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)0 f′(x)0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做函数y=f(x)的________.极小值点、极极大值极值点大值点统称为________,极大值和极小极值值统称为_______.(2)求函数极值的步骤：①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根；③检查方程根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值_______,如果左负右正，那么f(x)在这个根处取_________. 极小值3.函数的最大值与最小值在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(x)在[a,b]上求最大值与最小值的步骤：极值(1)求f(x)在(a,b)内的______; (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其最大值中最大的一个是________,最小的一个最小值是_________.1.函数f(x)=x-lnx的单调减区间是________. (0,1)2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值，最小值分别是______________. 5,-153.函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值24.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数，则a(-∞,0] 的取值范围是_______________.5. 若函数f(x)=3x3+2x2-1在(m,0)上为减函数，则m的取值范围是________.4 [ , 0) 93 6.已知函数f ( x) ax 3 x 1 a (a R且a 0)3 2试求函数f ( x)的极大值与极小值。
导数的应用-单调性、极值与最值10大题型
导数的应用-单调性、极值与最值10大题型导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。
此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。
本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。
一、导数与函数的单调性相关问题及解决方法1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '（通分合并、因式分解）；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、已知函数的单调性求参数（1）函数()f x 在区间D 上单调增（单减）⇒）（00)(≤≥'x f 在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间⇒）（00)(<>'x f 在区间D上能成立；（3）已知函数()f x 在区间D 内单调⇒)(x f '不存在变号零点（4）已知函数()f x 在区间D 内不单调⇒)(x f '存在变号零点3、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。
二、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数()f x '；（2）求方程()0f x '=的所有实数根；（3）观察在每个根x 0附近，从左到右导函数()f x '的符号如何变化．①如果()f x '的符号由正变负，则0()f x '是极大值；②如果由负变正，则0()f x '是极小值．③如果在()0f x '=的根x ＝x 0的左右侧()f x '的符号不变，则不是极值点．三、函数的最值与极值的关系1、极值是对某一点附近（即局部）而言，最值时对函数的定义区间[,]a b 的整体而言；2、在函数的定义区间[,]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；3、函数()f x 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；4、对于可导函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得。
用导数研究函数的性质单调性极值和最大最小值
y ex x 1
下降
上升
单调区间
函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间 上单调．
如何求函数的单调区间？
函数的驻点和不可导点，可能是函数 单调区间的分界点.
求单调区间的方法：
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的 点来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断 区间内导数的符号.
x0是驻点
驻点中哪些是极值点呢？
x0 f ( x 0 ) 0
f ( x)
下面我们来介绍两种判别方法
判 别 法 则 I( 第 一 充 分 条 件 ) 设函数f ( x )满足
(1)在点x0的邻域内可导； (2) f ( x0 ) 0, 那么， 1。 若在x0左侧附近f ( x ) 0, 在x0右侧附近 f ( x ) 0, 则f ( x0 )为极大值； 2 若在x0左侧附近f ( x ) 0, 在x0右侧附近
解 设 房 租 每 月 为 x元 ，
x 1000 那么租出去的房子有50 ( )套， 50 每月总收入为
x 1000 ) R ( x ) ( x 100) (50 50
x R( x ) ( x 100)(70 ), 50
x x 1 , R( x ) (70 ) ( x 100)( ) 72 50 50 25 R( x ) 0 x 1800, （唯一驻点）
例3 求 函 数 y ( x 1) 2 4的 单 调 区 间 .
解
y 2( x 1)，D ( , ).
在( ,1)内, y 0， 函数单调减少；
在(1, )内, y 0， 函数单调增加.
故函数 y ( x 1) 4的单调区间为
导数及函数单调性、极值、最值
合用学科合用地区知识点教课目的教课要点教课难点导数与函数的单一性、极值、最值高中数学合用年级高中三年级通用课不时长（分钟）60函数的单一性函数的极值函数的最值掌握函数的单一性求法，会求函数的函数的极值，会求解最值问题，会利用导数求解函数的单一性，会求解函数的最值。
娴熟掌握函数的单一性、极值、最值的求法，以及分类议论思想的应用。
教课过程一、讲堂导入问题：判断函数的单一性有哪些方法比方判断y x 2的单一性，怎样进行由于二次函数的图像我们特别熟习, 能够画出其图像，指出其单一区间，再想一下，有没有需要注意的地方假如碰到函数 y x33x ，怎样判断单一性呢你能画出该函数的图像吗定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐, 又不可以画出它的图像，那该怎样解决呢二、复习预习函数是描绘客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，认识函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是特别重要的．经过研究函数的这些性质，我们能够对数目的变化规律有一个基本的认识．函数的单一性与函数的导数同样都是反应函数变化状况的，那么函数的单一性与函数的导数能否有着某种内在的联系呢三、知识解说考点 1利用导数研究函数的单一性假如在某个区间内，函数 y＝ f ( x) 的导数 f ′(x)>0 ，则在这个区间上，函数 y＝f ( x) 是增添的；假如在某个区间内，函数 y＝ f ( x) 的导数 f ′(x)<0 ，则在这个区间上，函数 y＝ f ( x) 是减少的．利用导数研究函数的单一性、极值、最值可列表察看函数的变化状况，直观并且条理，减少失分．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐备；含参数时，要议论参数的大小．注意定义域优先的原则，求函数的单一区间和极值点一定在函数的定义域内进行．①若f ′(x) 在x0双侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f ′(x) 在x0双侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若 f ′(x) 在 x0双侧的符号同样，则x0不是极值点．(1)在闭区间 [ a，b] 上连续的函数 f ( x) 在[ a，b] 上必有最大值与最小值．(2) 若函数 f ( x) 在[ a， b] 上单一递加，则 f ( a) 为函数的最小值， f ( b) 为函数的最大值；若函数 f ( x) 在[ a，b] 上单一递减，则 f ( a) 为函数的最大值， f ( b) 为函数的最小值．(3)设函数 f ( x) 在[ a， b] 上连续，在 ( a，b) 内可导，求 f ( x) 在[ a，b] 上的最大值和最小值的步骤以下：①求 f ( x) 在( a， b) 内的极值；②将 f ( x) 的各极值与 f ( a) ，f ( b) 进行比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四、例题精析考点一利用导数研究函数的单一性例 1 已知函数 f ( x) ＝ e x－ax－ 1.(1)求 f ( x) 的单一增区间；(2) 能否存在 a，使 f ( x) 在( －2,3) 上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明原因．【规范解答】 f ′(x) ＝e x－ a，(1) 若 a≤0，则 f ′(x) ＝ e x－a≥0，即 f ( x) 在 R上单一递加，若 a >0，e x － ≥0，∴e x ≥ ， ≥ln . 所以 当 ≤0时， f ( x ) 的单一增区间为 R ，a a x a a当 a>0 时， f ( x) 的单一增区间是 [ln a ，＋∞ ) ．(2) ∵ fx－a ≤0在( －2,3)x－ 2,3) 上恒建立．′(x) ＝ e 上恒建立．∴ a ≥e 在 x ∈( －2 x 3 3 3 时， f ′(x ＝ x 3 在 x ∈ － 上， 又∵－x ，∴e<e <e ，只要 a ≥e 当 a ＝ee －e 2,3)2< <3. ) ( f ′(x ，即 f x 在 － 3)<0 ( 2,3) 上为减函数，∴ a ≥e) ( .3f ( x) 在( －2,3) 上为减函数．故存在实数 a ≥e，使【总结与反省】(1) 利用导数的符号来判断函数的单一性；(2) 已知函数的单一性求函数范围能够转变为不等式恒建立问题； (3)f x 为增函数的充要条件是对随意的 x ∈(a ，b 都有 f ′(x ≥0 且在 a ，b 内的任一非空子区间上 f ′(x ≠0( ) ) ) ( ) ).应注意此时式子中的等号不可以省略，不然漏解．考点二利用导数求函数的极值例 2 设 a ，函数 f x ＝1x 2 － a ＋ 1) x ＋a ＋ ln x ．>0 ( ) 2 ((1 )(1) 求曲线 y ＝f ( x) 在(2 ，f (2)) 处与直线 y ＝－ x ＋1 垂直的切线方程；(2) 求函数 f ( x) 的极值．【规范解答】由已知，得 x， f ′(x x－a＋a＝f x在，f处切线的斜率为，(1)) ＝1)＋， y(2(2))>0(x( )1所以 f ′＝，即－a＋a＝－＝，(2)1)＋＝，所以 a＝，此时 f(2)12 (210220故所求的切线方程为y＝x－2.a x2－?a＋(2)f ′(x) ＝x－( a＋1) ＋＝xx 1?x＋ a ?x－1??x－a?＝.x①当 0<a<1 时，若 x∈(0 ， a) ，f ′(x)>0，函数 f ( x) 单一递加；若 x ∈(a, 1) ，f ′(x)<0 ，函数 f ( x) 单一递减；若 x ∈(1 ，＋∞) ， f ′(x)>0 ，函数 f ( x) 单一递加．此时 x ＝a 是 f ( x) 的极大值点， x ＝1 是 f ( x) 的极小值点，1 21函数 f ( x) 的极大值是 f ( a) ＝－ 2a＋aln a ， 极小值是 f (1) ＝－ 2.②当 a ＝1 时， f ′(x) ＝ ?x － 1?2f ( x) 没有极值点，故无极x >0，所以函数 f ( x) 在定义域 (0 ，＋∞ ) 内单一递加，此时值．③当 a>1 时，若 x ∈(0,1) ， f ′(x)>0 ，函数 f ( x) 单一递加；若x ∈(1 ， a) ， f ′(x)<0 ，函数 f ( x) 单一递减；若 x ∈(a ，＋∞ ) ， f ′(x)>0 ，函数 f ( x) 单一递加．此时 x ＝1 是 f ( x) 的极大值点， x ＝a 是 f ( x) 的极小值点，函数 f ( x) 的极大值是 f (1) ＝－ 1，2 极小值是 f ( a1a 2aa)＝－2 ＋ ln .综上，当 a 时， f x12a ，的极大值是－a ＋aln0< <1 ( ) 21极小值是－ 2；当 a ＝1 时， f ( x) 没有极值；112当 a>1 时， f ( x) 的极大值是－2，极小值是－2a＋ aln a.【总结与反省】 (1) 导函数的零点其实不必定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后必定要注意剖析这个零点能否是函数的极值点．(2)若函数 y＝f ( x) 在区间 ( a，b) 内有极值，那么 y＝f ( x) 在( a，b) 内绝不是单一函数，即在某区间上单一函数没有极值．考点三利用导数求函数的最值例 3 已知函数 f ( x) ＝ax2＋1( a>0) ，g( x) ＝x3＋bx.(1)若曲线 y＝f ( x) 与曲线 y＝g( x) 在它们的交点 (1 ，c) 处拥有公共切线，求 a， b 的值；(2)当 a＝ 3， b＝－ 9 时，若函数 f ( x) ＋g( x) 在区间 [ k, 2] 上的最大值为 28，求 k 的取值范围．【规范解答】(1) f ′(x) ＝2ax，g′(x) ＝3x2＋b.由于曲线 y＝ f ( x) 与曲线 y＝ g( x) 在它们的交点 (1 ， c) 处拥有公共切线，所以 f (1) ＝g(1) 且 f ′(1) ＝ g′(1) ，即 a＋1＝1＋b 且 2a＝ 3＋ b，解得 a＝3，b＝3.(2) 记 h( x) ＝ f ( x) ＋ g( x) ，当 a＝3，b＝－ 9 时， h( x) ＝x3＋3x2－9x＋1，所以 h′(x) ＝3x2＋6x－ 9.令 h′(x) ＝0，得 x1＝－ 3，x2＝ 1. h′(x) ， h( x) 在 ( －∞， 2] 上的变化状况以下表所示：( －∞，－x－3( －3,1)1(1,2)23)h′(x00＋－＋＋)h( x)28－43由表可知当 k≤－ 3 时，函数 h( x) 在区间 [ k, 2] 上的最大值为 28；当－ 3< <2 时，函数 ( )在区间[ k, 2] 上的最大值小于 28.所以k 的取值范围是 ( －∞，－ 3] ．kh x【总结与反省】(1)求解函数的最值时，要先求函数 y ＝ fx在a ， b内全部使 f ′(x ＝的点，再计算函数 y ＝( ) [] )f ( x) 在区间内全部使 f ′(x) ＝0 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2) 能够利用列表法研究函数在一个区间上的变化状况．五、讲堂运用【基础】(1) 设函数 f ( x) ＝ 1 32＋4ax ＋24a ，此中常数 a>1，则 f ( x) 的单一减区间为 ________．1、 3x － (1＋a) x【答案】(2,2 a)【规范解答】 f ′(x) ＝x2－ 2(1 ＋a) x＋4a＝ ( x－2)( x－2a) ，由 a>1 知，当 x<2 时， f ′(x)>0 ，故 f ( x) 在区间 ( －∞， 2) 上是增函数；当 2<x<2a 时， f ′(x)<0 ，故f ( x) 在区间(2,2 a) 上是减函数；当 x >2a 时， f ′(x)>0 ，故 f ( x) 在区间 (2 a，＋∞ ) 上是增函数．综上，当 a>1 时，f( x) 在区间 ( －∞， 2) 和(2 a，＋∞ ) 上是增函数，在区间 (2,2 a) 上是减函数．已知 a，函数 f(x＝ x3－ax 在[1，＋∞上是单一递加函数，则 a 的取值范围是________．>0))(2)【答案】(0,3]【规范解答】∵f ′(x＝ x2－a，f x在[1，＋∞上是单一递加函数，)3( ))∴f ′(x) ≥0，∴ a≤3x2，∴ a≤3.又 a>0，可知 0<a≤3.e x2、设 f ( x) ＝1＋ax2，此中 a 为正实数．4(1)当 a＝3时，求 f ( x) 的极值点；(2)若 f ( x) 为 R 上的单一函数，求 a 的取值范围．x1＋ ax 2－ 2ax【规范解答】对 f ( x) 求导得 f ′(x) ＝e · ?1＋ax 2?2.①42(1) 当 a ＝ 3时，若 f ′(x) ＝0，则 4x －8x ＋3＝0，3 1解得 x 1＝2，x 2＝ 2. 联合①，可知x1 1 1 33 3－∞， 22 2， 2 2 2，＋∞f ′(x＋－＋)f ( x)极大值极小值31所以 x 1＝2是极小值点， x 2＝2是极大值点．(2) 若 fx 为R 上的单一函数，则f ′(x) 在R 上不变号，联合①与条件 a，知 ax 2－ax ＋ ≥0在R 上恒建立，即( )>0 2 1＝ 4a 2－4a ＝4a( a －1) ≤0，由此并联合 a>0，知 0<a ≤1.所以 a 的取值范围为 { a|0< a ≤1} ．3.已知函数 f ( x) ＝xln x.(1)求函数 f ( x) 的极值点；(2)设函数 g( x) ＝f ( x) －a( x－1) ，此中 a∈ R，求函数 g( x) 在区间 [1 ，e] 上的最小值． ( 此中 e 为自然对数的底数 ) ．1【规范解答】 (1) f ′(x) ＝ln x＋1，x>0，由 f ′(x) ＝0 得 x＝e，11所以 f ( x) 在区间 (0 ，e) 上单一递减，在区间 ( e，＋∞ ) 上单一递加．1所以， x＝e是函数 f ( x) 的极小值点，极大值点不存在．(2) g( x) ＝xln x－ a( x－1) ，则 g′(x) ＝ln x＋1－a，由 g′(x) ＝0，得 x＝ e a－1，所以，在区间 (0 ，e a－1) 上， g( x) 为递减函数，在区间 (e a－1，＋∞ ) 上， g( x) 为递加函数．当 e a－1≤1，即 a≤1时，在区间 [1 ，e] 上， g( x) 为递加函数，所以 g( x) 的最小值为 g(1) ＝ 0.当 1<e a－1<e，即 1<a<2 时， g( x) 的最小值为 g(e a－1) ＝a－e a－1.当 e a－1≥e，即 a≥2时，在区间 [1 ，e] 上， g( x) 为递减函数，所以 g( x) 的最小值为 g(e) ＝ a＋ e－ae.综上，当 a≤1时， g( x) 的最小值为 0；当 1<a<2 时， g( x) 的最小值为 a－ e a－1；当 a≥2时， g( x) 的最小值为 a＋e－ae.【稳固】1、已知函数 f ( x) ＝( x－ k)e x.(1)求 f ( x) 的单一区间；(2)求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值．【规范解答】 (1) 由题意知 f ′(x) ＝( x －k ＋1)e x .令 f ′(x) ＝0，得 x ＝k － 1.f ( x) 与 f ′(x) 的状况以下：x ( －∞， k － 1)k －1 ( k －1，＋∞)f ′(x)－＋f ( x)－ e k － 1所以， f x 的单一递减区间是(－∞， k －1) ；单一递加区间是(k － ，＋∞ ．( )1 )(2) 当 k －1≤0，即 k ≤1时， f ( x) 在[0,1] 上单一递加，所以 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (0) ＝－ k ；当 0<k －1<1，即 1<k<2 时，f ( x) 在[0 ， k － 1) 上单一递减，在 ( k － 1,1] 上单一递加，所以 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f ( k －1) ＝－ e k － 1；当 k －1≥1，即 k ≥2时， f ( x) 在[0,1] 上单一递减，所以 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值为 f (1) ＝(1 － k)e.综上，当 k ≤1时， f ( x) 在[0,1] 上的最小值为 f (0) ＝－ k ；当 1<k<2 时， f ( x) 在[0,1] 上的最小值为 f ( k － 1) ＝－ e k －1；当 k ≥2时， f ( x) 在[0,1] 上的最小值为 f (1) ＝ (1 －k)e.12－ 9ln x 在区间 [ a－1， a＋ 1] 上单一递减，则实数 a 的取值范围是 () 2 设函数 f ( x) ＝ x2A．1<a≤2B．a≥4C．a≤2D． 0<a≤3【答案】 A【规范解答】∵f(x)1 2＝ 2x － 9ln x，∴ f ′(x)9＝ x－ x( x>0) ，9当 x －x≤0时，有 0<x≤3，即在 (0,3] 上原函数是减函数，∴a－1>0 且 a＋1≤3，解得 1<a≤2.3．函数 f ( x) ＝x3－3x2＋2 在区间 [ －1,1] 上的最大值是() A．－2B．0C．2D．4【答案】C【规范解答】∵f ′(x) ＝ 3x2－ 6x，令 f ′(x) ＝0，得 x＝ 0 或 x＝2.∴f ( x) 在[ －1,0) 上是增函数， f ( x) 在 (0,1] 上是减函数．∴f ( x) max＝f ( x) 极大值＝f (0) ＝2.【拔高】1、 (2013 ·课标全国Ⅰ ) 已知函数 f ( x) ＝e x( ax＋b) － x2－4x，曲线 y＝ f ( x) 在点 (0 ，f (0)) 处的切线方程为y＝4x＋ 4.(1)求 a， b 的值；(2)议论 f ( x) 的单一性，并求 f ( x) 的极大值．【规范解答】 (1)f ′(x＝x ax＋b＋a x－ x－＝x ax＋ a＋ b－x－4 ) e () e 2 4 e ()2∵y＝f ( x) 在(0 ，f (0)) 处的切线方程为 y＝ 4x＋4，∴f ′(0) ＝ a＋ b－ 4＝ 4， f (0) ＝ b＝4，∴a＝4，b＝4.x x1 (2) 由(1) 知 f′(x) ＝4e ( x＋ 2)－2( x＋2) ＝2(x＋2)(2e－1) 令f ′(x) ＝0 得 x1＝－ 2， x2＝ln2，列表：x ( －∞，－－错误 !1错误 !2)2ln 2f ′(x)＋0－0＋f ( x)极大值极小值∴y＝f ( x) 的单一增区间为 ( －∞，－ 2) ， ln 12，＋∞ ；1单一减区间为－2，ln 2 .f ( x) 极大值＝f ( － 2) ＝4－4e－2 .2．已知函数 f ( x) ＝ ( ax2＋bx＋c)e x在 [0,1] 上单一递减且知足 f (0) ＝ 1， f (1) ＝ 0.(1)求 a 的取值范围．(2)设 g( x) ＝ f ( x) － f ′(x) ，求 g( x) 在[0,1] 上的最大值和最小值．【规范解答】(1) 由 f (0) ＝1，f (1) ＝0，得 c＝ 1， a＋ b＝－ 1，则 f ( x) ＝ [ ax2－( a＋1) x＋1]e x，f ′(x) ＝[ ax2＋ ( a－1) x－ a]e x，依题意关于随意 x∈[0,1] ，有 f ′(x) ≤0.当 a>0 时，由于二次函数y＝ax2＋( a－1) x－ a 的图像张口向上，而 f ′(0) ＝－ a<0，所以需 f ′(1) ＝ ( a－ 1)e<0，即 0<a<1；当 a＝1 时，关于随意 x∈[0,1] ，有 f ′(x) ＝( x2－1)e x≤0，且只在 x＝1 时 f ′(x) ＝0，f ( x) 切合条件；当 a＝0 时，关于随意 x∈[0,1] ， f ′(x) ＝－ xe x≤0，且只在 x＝0 时， f ′(x) ＝0，f ( x) 切合条件；当 a<0 时，因 f ′(0) ＝－ a>0，f ( x) 不切合条件．故 a 的取值范围为 0≤ a≤1.(2) 因 g( x) ＝ ( － 2ax＋1＋a)e x，g′(x) ＝( －2ax＋ 1－ a)e x，①当 a＝0 时， g′(x) ＝e x>0，g( x) 在 x＝0 处获得最小值g(0) ＝ 1，在 x ＝1 处获得最大值 g(1) ＝e.②当a＝1时，关于随意x∈[0,1]有g′(x＝－xx≤， g x在 x＝处获得最大值 g＝，)2e0 ()(0)2在 x ＝1处获得最小值 g(1)＝0.1－a－a1③当a时，由 g′(x＝得x＝若1≥ ，即在上单一递加，02a >0.2a a≤时， g x[0,1]0< <1)10<3( )导数及函数单一性、极值、最值() 在x ＝0 处获得最小值(0) ＝ 1＋，在＝1 处获得最大值g(1) ＝(1 － )e.g x g ax a－a1－a1－a－a111当2a <1，即3<a<1 时， g( x) 在 x＝2a处获得最大值 g( 2a ) ＝2ae 2a，在 x ＝0 或 x＝1 处获得最小值，而g(0) ＝1＋a，g(1) ＝(1 － a)e ，e－1由 g(0) － g(1) ＝ 1＋ a－ (1 －a)e ＝ (1 ＋e) a＋1－e＝0，得 a＝e＋1.1e－1则当3<a≤e＋1时，g(0) － g(1) ≤0， g( x) 在 x＝ 0 处获得最小值 g(0) ＝1＋ a；e－1当e＋1<a<1 时， g(0) － g(1)>0 ，g( x) 在 x＝1 处获得最小值g(1) ＝ (1 －a)e.课程小结1、利用导数研究函数的单一性假如在某个区间内，函数 y＝ f ( x) 的导数 f ′(x)>0 ，则在这个区间上，函数 y＝f ( x) 是增添的；假如在某个区间内，函数 y＝ f ( x) 的导数 f ′(x)<0 ，则在这个区间上，函数 y＝ f ( x) 是减少的．2、利用导数求函数的极值:导数及函数单一性、极值、最值(1)求出导数 f ′(x) ；(2) 解方程 f ′(x) ＝0；(3) 关于 f ′(x) ＝ 0 的每一个解 x0：①若f ′(x) 在x0双侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f ′(x) 在x0双侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若 f ′(x) 在 x0双侧的符号同样，则x0不是极值点．3、利用导数求函数的最值(1) 在闭区间 [ a，b] 上连续的函数 f ( x) 在[ a，b] 上必有最大值与最小值．(2)设函数 f ( x) 在[ a， b] 上连续，在 ( a，b) 内可导，求 f ( x) 在[ a，b] 上的最大值和最小值的步骤以下：①求 f ( x) 在( a， b) 内的极值；②将 f ( x) 的各极值与 f ( a) ， f ( b) 进行比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值(解析版)
导数第一讲：求导、切线、单调性、极值、最值例1．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程；（2）求过点()2,3的抛物线2y x =的切线方程．解:（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-，解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-，即210x y --=或690x y --=．练习1．已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.(1)求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；(2)求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.解:（1）()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1b c ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.（2）由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()32000,31x x x -+，切线斜率20036k x x =-，则切线方程为()()()322000003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.例2．函数32()(1)31f x x a x x =+--+．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，求实数a 的取值范围．解:（1）当1a =时，3()31,R f x x x x =-+∈．由2()33f x x '=-，令()0f x '>，解得1x <-或1x >；令()0f x '<，解得11x -<<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-．（2）易知原点O 不在函数()f x 的图像上，设切点为(,())(0)t f t t ≠．求导得2()32(1)3f x x a x =+--'，则()()f t f t t ='，即322(1)3132(1)3t a t t t a t t +--+=+--，整理得322(1)10t a t +--=，所以2112a t t -=-，令21()2(0)g t t t t =-≠，则32()2g t t =+'，令()0g t '>，解得0t >或1t ≤-；令()0g t '<，解得10t -<<，所以函数()g t 在区间(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上递增，故当0t <时，max ()(1)3g t g =-=-；当t →-∞时，()g t →-∞；0t →时，()g t →-∞，当0t >时，()g t 的取值范围为R ．而过原点O 可作三条直线与()f x 的图像相切，则()()f t f t t='有三个不相等的实数根，也就是直线1y a =-与函数()y g t =的图象有三个交点，则有13a -<-，即4a >．练习2．已知函数()f x =e x ，()ln g x x =．()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．解:曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝ex 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，en ），m ≠n ，∵g ′（x ）1x =，f ′（x ）＝ex ，可得11nne mlnm e m n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m +1，当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1不成立；当m ≠1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1化为lnm 11m m +=-，由lnx 11x x +==-121x +-，即lnx ﹣121x =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，由图象可知：y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象有两个交点，可得方程lnm 11m m +=-有两个实根，则曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条．例3．已知函数()()()21ln 1R 2f x x ax a x a =+-+∈．(1)当2a =时，求函数()y f x =的极值；(2)求当0a >时，函数()y f x =在区间[1,e]上的最小值()Q a .解:（1）当2a =时，函数2()ln 3(0)f x x x x x =+->．1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=，令()0f x '=，得1x =或12x =,当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 在1(0,)2上单调递增，当1(,1)2x ∈时，()0f x '<，()f x 在1(,1)2上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增，则()f x 在12x =处取得极大值，在1x =处取得极小值．极大值为15()ln 224f =--，极小值为(1)2f =-．（2）函数()f x 的定义域是[1,e]，1()(1)1()(1)(0)a x x a f x ax a a x x--'=+-+=>．当0a >时，令()0f x '=有两个解，1x =或1x a=．当10ea <≤，即1e a ≥时，()0f x '≤，()f x ∴在[1,e]上单调递减，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(e)f 211e (1)e 2a a =+-+，当11ea <<，即11e a <<时，当1(1,)x a ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1(1,)a上单调递减，当1(,e)x a ∈时，()0f x '>，()f x ∴在1(,e)a 上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是11()ln 12f a a a=---，当1a ≥，即101a<≤时，[1,e]x ∈，()0f x '≥，()f x ∴在[1,e]上单调递增，()f x ∴在[1,e]上的最小值是(1)f 112a =--．综上，2111e (1)e,02e 11()ln 1,12e 11,12a a a Q a a a a a a ⎧+-+<≤⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩．练习3．已知()()2,R f x x x c c =-∈.(1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若03c <<，求()f x 在区间[1]2，上的最小值.解:（1）由题知，()()()3f x x c x c =--'，由题意，()()()2260f c c '=--=，得2c =或6c =，当2c =时，在()2,,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极小值，不符题意；当6c =时，在()(),2,6,-∞+∞上()0f x ¢>，在()2,6上()0f x '<，此时，()f x 在2x =处有极大值，符合题意.综上，6c =.（2）令()0f x '=，得3cx =或x c =，由03c <<，则在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x ¢>，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，即()f x 在(),,,3c c ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.由题意，13c <，当23c ≤<时，()f x 在区间[]1,2上单调递减，则()2min ()22(2)f x f c ==-，当12c <<时，()f x 在区间()1,c 上单调递减，在(),2c 上单调递增，则()min ()0f x f c ==，当01c <≤时，()f x 在区间[]1,2上单调递增，则()2min ()1(1)f x f c ==-，综上，()()()2min21,010,1222,23c c f x c c c ⎧-<≤⎪⎪=<<⎨⎪-≤<⎪⎩.例4．已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R ．(1)若()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的值；(2)若0x 是()f x 的极大值点，且()2002f x x a <-恒成立，求a 的取值范围．解:（1）由题可知()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a x x af x x x x-+'=-+=．()f x 的单调递减区间为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦等价于()0f x '≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2220x x a -+≤的解集为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以方程2220x x a -+=的两个根分别为14，34，由根与系数的关系可得13244a =⨯，所以38a =．（2）若0x 是()f x 的极大值点，定义域为()0+∞，，则()0f x '=至少有一正根，即方程2220x x a -+=至少有一正根．若0a =，则方程2220x x a -+=的正根为1x =，因为当01x <<时()0f x '<，当1x >时()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点1，不符合题意．若0<a ，则方程2220x x a -+=有一正根和一负根，设为α，β，且0α>，0β<，则()()2222x x a x x αβ-+=--．因为当0x α<<时，()0f x '<，当x α>时，()0f x ¢>，所以此时()f x 只有极小值点α，不符合题意．若0a >，由题可知方程2220x x a -+=应有两个不等的正根，设为1x ，2x ，其中12x x <，则Δ48002a a =->⎧⎪⎨>⎪⎩解得102a <<．所以()()()212222x x x x x x a f x x x ---+'==．列表如下：x()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以1x 是极大值点，2x 是极小值点，则01x x =．由120x x <<，且121x x =+，得110x 2<<．由题可知()22000002ln 2f x x x a x x a =-+<-，即00ln 220a x x a -+<当0102x <<时恒成立．令()ln 22h x a x x a =-+，102x <<，则()222a x a x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==．因为102a <<，所以1024a <<．所以当02a x <<时，()0h x '>，当2ax >时，()0h x '<，所以()max ln 022a a h x h a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，解得20e a <<，又102a <<，所以此时a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．综上，实数a 的取值范围是102⎛⎫⎪⎝⎭，．练习4．设函数21()3ln ,2af x x x a R x=+-∈．(1)若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．解:（1）23()a f x x x x=--'，∵()f x 是增函数，∴23()0a f x x x x=--≥'对0x ∀>恒成立，∴()3min3a x x ≤-,令32()3,()33g x x x g x x '=-=-,令()01g x x '=⇒=且当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(1)2g x g ==-，∴2a ≤-，即a 的取值范围为(,2]-∞-．（2）若1x =是()f x 的极值点，则必有(1)1302f a a =--=⇒=-'（必要性）当2a =-时，322222332(1)(2)()0x x x x f x x x x x x -+-+=+-='=≥∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值点，故假设不成立，即不存在这样的a ．练习5．已知函数()()=ln 3R f x a x ax a --∈(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的图像在点()()2,2f 处的切线斜率为12，设()()m g x f x x=-，若函数()g x 在区间[]1,2内单调递增，求实数m 的取值范围.解:（1）(1)()(0)a a x f x a x x x-=-=>'当0a >时，()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为(1,)+∞，减区间为()0,1；当=0a 时，()f x 不是单调函数.（2）∵1(2)2f '=，∴12122a -⋅=，解得1a =-，∴()ln 3f x x x =-+-()()()ln 30m m g x f x x x x x x =-=-+-->,又()221()10m x g x x x x x x m-+'=-++=>()g x 要在区间[1,2]上单调递增，只需()0g x '≥在[]1,2上恒成立，即20x x m -+≥在[]1,2上恒成立，即()2maxm x x≥-，又在[1,2]上()2maxx x-=∴0m ≥.练习6．已知函数()(ln 1),R f x x x k k =--∈．(1)当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数k 的取值范围；解:（1）由题知，()()ln 1,R f x x x k k =--∈，所以1()ln 1ln ,0f x x k x x k x x'=--+⋅=->，当0k ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x k '=->，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值，当0k >时，令ln 0x k -=，解得e k x =，当1e k x <<时，()0f x '<，当e k x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调减区间是()1,e k ，单调增区间是()e ,k ∞+，极小值为()()e e 1e k k kf k k =⋅--=-，无极大值.（2）因为对于任意2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<，即问题转化为(4)ln (1)0x x k x --+<，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，令(4)ln ()x x g x x -=，所以24ln 4()x x g x x +-'=，令()24ln 4,e,e t x x x x ⎡⎤=+-∈⎣⎦，所以4()10t x x'=+>，所以()t x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以()()min e e 44e 0t x t ==-+=>，所以()0g x '>，所以()g x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以函数()()22max 8e 2eg x g ==-，要使(4)ln 1x x k x -+>，对于2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()k g x +>，所以2812e k +>-，即281e k >-，所以实数k 的取值范围为281,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；备选1．设a 为实数，已知函数()()32211932f x x a x =-++(1)讨论()f x 的单调性(2)若过点()0,10有且只有两条直线与曲线()32111132y x a x ax =-+++相切，求a 的值.解:（1）因为()()32211932f x x a x =-++，则()()221f x x a x '=-+，由()0f x '=可得10x =，212a x +=，①当102a +=时，即当1a =-时，对任意的x ∈R ，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；②当102a +<时，即当1a <-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得12a x +<或0x >，此时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；③当102a +>时，即当1a >-时，由()0f x '<可得102a x +<<，由()0f x ¢>可得0x <或12a x +>，此时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.综上所述，当1a =-时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间；当1a <-时，函数()f x 的减区间为1,02a +⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、()0,∞+；当1a >-时，函数()f x 的减区间为10,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为(),0∞-、1,2a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（2）解：设切点为()3211,1132t t a t at ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭，对函数()32111132y x a x ax =-+++求导得()21y x a x a '=-++，所以，切线方程为()()()3221111132y t a t at t a t a x t ⎡⎤⎡⎤--+++=-++-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，将点()0,10的坐标代入切线方程整理可得()322119032t a t -++=，即()0f t =，故关于t 的方程()0f t =有两个不等的实根，①当1a =-时，函数()f t 在R 上单调递增，则方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；②当1a <-时，则()()090f t f ==>极小值，故当12a t +>时，()0f t >，此时方程()0f t =至多一个实根，不合乎题意；③当1a >-时，则()()090f t f ==>极大值，则()()311910224a f t f a +⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭极大值，解得5a =，合乎题意.综上所述，5a =.备选2．已知函数()22ln 2x af x x x-=-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若1a =，试问过点()0,1向曲线()y f x =可作几条切线？解:（1）依题意，因为()22ln 2x af x x x-=-，所以()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22222222112142x x x a x a f x x x x ⨯----+-'=-=，若()f x 在()0,∞+上单调递减，则有()0f x '≤在()0,∞+上恒成立，即()21120x a --+-≤恒成立，所以()22111a x ≥--+≥，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）当1a =时，()22ln 2x f x x x -=-且点()0,1不在()f x 上，所以()()22112x f x x---'=，设切线方程的斜率为k ，切点为()00,P x y ，根据导数的几何意义，则有()2020112x k x---=，又切线过点()0,1，所以切线方程可设为1y kx =+，则有001y kx =+，200002ln 2x y x x -=-，所以()2002020002112ln 21x x x x x x --=---⨯+，整理得000ln 220x x x -+=，令()ln 22g x x x x =-+()0x >，则()ln 1g x x '=-，所以在x ∈()0,e 时，()0g x '<，()g x 单调递减；在()e,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在e x =处取得最小值，又()10g =，所以()g x 在()0,e 有一零点，又因为()0e e 2g =-<，()2222eeln e 2e 220g =-+=>，由零点存在性定理可知，在()2e,e x ∈必有一个根0x ，使得000ln 220x x x -+=成立，综上，方程000ln 220x x x -+=有两个解，所以过点()0,1向曲线()y f x =可作2条切线.备选3．已知函数1()2ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中a R ∈.（1）若()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，判断()f x 与()2g x x =的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a 值的个数；若不存在，请说明理由.解:（1）222122()1ax x a f x a x x x -+⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭.当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，满足题意；当0a >时，要使得()f x 在(0,)+∞上单调，则恒有()0f x '≥.∴2440a ∆=-≤，解得：1a ≥.综上，1a ≥或0a ≤（2）假设()f x ，()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线，则()()()()2000200000200002212ln ax x ax x f x g x f x g x a x x x x ⎧-+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎛⎫⎪⎩⎪--= '⎪'⎪⎝⎭⎩①②由①可得：()()32200000220120x ax x a x x a -+-=⇔+-=，∴002x a=>.将02a x =代入②，则222ln 2224a a a --=，即：28ln 82a a-=.令28()182x xh x n -=-，则11()4h x x x '=-，故()h x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又1(2)02h =-<，且当0x →，()h x →+∞；当x →+∞，()h x →+∞∴()h x 在(0,)+∞有两个零点，即方程28ln 82a a-=在(0,)+∞有两个不同的解.所以，()f x 与2()g x x =的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a 值有2个。
高考数学 导数与函数的单调性、极值与最值 教案 含解析题
第二节 导数在研究函数中的应用第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值知识点一 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间上是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间．[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．[重温经典]1.(多选·教材改编题)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( ) A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数 B ．在区间(2,3)上f (x )是减函数 C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数 D ．当x ＝2时，f (x )取到极大值 答案：BCD2．(教材改编题)函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)答案：A3．(易错题)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上，f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“凸函数”．已知f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2可得f ′(x )＝x 3－tx 2＋3x ，f ″(x )＝3x 2－2tx ＋3，∵f (x )在(1,4)上为“凸函数”，∴x ∈(1,4)时，3x 2－2tx ＋3<0恒成立，∴t >32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，∵g (x )在(1,4)上单调递增， ∴t ≥g (4)＝518.∴实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫518，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫518，＋∞知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．[提醒] (1)极值点不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．(3)f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[重温经典]1．(多选)(2021·福州模拟)下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|x |C ．y ＝－2x 3－xD ．y ＝x ln x解析：选BD 由题意函数y ＝x －1x ，则y ′＝1＋1x2＞0，所以函数y ＝x －1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点；函数y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0，根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x |单调递减，当x ＞0时，函数y ＝2|x |单调递增，所以函数y ＝2|x |在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y ′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，y ′＞0，函数单调递增，当x ＝1e 时，函数取得极小值，故选B 、D.2．(教材改编题)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．3．(教材改编题)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.4．(多选)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f(x)＝x x(x＞0)，我们可以作变形：f(x)＝x x＝eln x x＝e x ln x＝e t(t＝x ln x)，所以f(x)可看作是由函数f(t)＝e t和g(x)＝x ln x复合而成的，即f(x)＝x x(x＞0)为初等函数．根据以上材料，对于初等函数h(x)＝x 1x(x＞0)的说法正确的是()A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值e 1 e解析：选AD根据材料知：h(x)＝x 1x＝e1ln xx＝e1ln xx，所以h′(x)＝e 1ln xx·⎝⎛⎭⎫1x ln x′＝e1ln xx·⎝⎛⎭⎫－1x2ln x＋1x2＝1x2e1ln xx(1－ln x)，令h′(x)＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，此时函数h(x)单调递增；当x＞e时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减．所以h(x)有极大值且为h(e)＝e 1e，无极小值．5．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x可得f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax－1)e x，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)e x.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)为减函数，所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.答案：0－e6．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6.答案：(2,6)知识点三 函数的最值1．在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．2．若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[提醒] 求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论，这种做法是错误的．[重温经典]1．(教材改编题)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－eD ．0解析：选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－1＝－1.2．(教材改编题)函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 3．(教材改编题)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 答案：3＋π64．(易错题)已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2)5．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x >0)， 又f (1)＝1e >0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4>0，所以f (x )的最小值为0. 答案：06．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案：－332。
课件3：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
解析：(1)f ′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，由 f ′(x)>0 得，1<x<3.
∴f(x)在区间(1,3)上单调递增． (2)由 f ′(x)<0 得 x<1 或 x>3， ∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，在[3,4]上 单调递减，f(0)＝m，f(1)＝m－4，f(3)＝m，f(4)＝m－4，且 m－4<m，∴m－4＝2，∴m＝6， ∴f(x)在[3,4]上的最大值为 m＝6.
第 4 步 将 f(x)的各极值及 f(a)、f(b)比较，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的 实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题 中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与 端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．
二、填空题 3．(文)(2011·银川二模)已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程为 y＝12x＋2，则 f(1)＋f ′(1)＝ ________.
[答案] 3
[解析] ∵切点 M 在切线 y＝12x＋2 上， ∴f(1)＝12×1＋2＝52， 又切线斜率 k＝12，∴f ′(1)＝12， ∴f(1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.
C．(0，＋∞)
D．(－∞，3)
分析：由 f(x)在(0,1)内有极小值知，f ′(x)＝3x2－2a＝0
在(0,1)内有解 x＝x0，且 x<x0时，f ′(x)≤0，x>x0时，f ′(x)≥0.
解析：f ′(x)＝3x2－2a，令 f ′(x)＝0 得，a＝32x2，∵f(x) 在(0,1)内有极小值，∴f ′(x)＝0 在(0,1)内有解，∴f ′(0)<0 且 f ′(1)>0，∴a∈(0，32)，故选 B.
高考数学专题：导数的应用(单调性、最值、极值)
高考数学专题：导数的应用（单调性、最值、极值）热点一 利用导数研究函数的单调性【方法总结】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它们在定义域内的一切实数根．(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间．(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．2.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 3.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞) 4.设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .5.设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.（1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；A DC B（2）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.6.7.已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）当-2a =()f x 的单调性；（II ）若[)2,x ∈+∞时，()0f x ≥，求a 的取值范围.8.已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.9.已知函数21()1x x f x e x -=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0.10.已知a ∈R,函数3()42f x x ax a =-+ (1)求f(x)的单调区间。
利用导数研究函数单调性和求极值、最值
abxy)(x f y ¢=O利用导数研究函数单调性和求极值、最值一、基础知识回顾：1. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数)x (f y ¢=¢； （2）解方程0)x (f =¢；（3）使不等式0)x (f >¢成立的区间就是递增区间，使0)x (f <¢成立的区间就是递减区间。
2. 求函数)(x f y =的极值的方法：（1）求导数)x (f y ¢=¢； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）；（3）如果在根0x 附近的左侧)x (f ¢____0，右侧)x (f ¢____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极大值； 如果在根0x 附近的左侧)x (f ¢____0，右侧)x (f ¢____0，那么)x (f 0是)(x f y =的极小值 3．在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：（1）求函数 )(x f y =在),(b a 内的导数 ； （2）求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值 ； （3）将函数)(x f y =在),(b a 内的各极值与端点处的函数值)(),(b f a f 作比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 二、例题分析： （一）基础题型例1.如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（ ）例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )A.]1,0(;B.),1[+∞;C.]1,(-∞及]1,0( ;D. )0,1[-及]1,0(;例3. 若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =例4. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个例5．若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极值，则a 的取值范围是 .例6．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -= . （二）典型题型例7.已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.解析：因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x ∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2. 又f(x)=x 3+ax 2+3bx+c,所以-x 3+ax 2-3bx+c-2=-x 3-ax 2-3bx-c+2.所以.22,+-=--=c c a a 解得a=0，c ＝2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x 3+3bx+2.所以f ′(x)=3x 2+3b(b ≠0).当b ＜0时，由f ′(x)=0得x=±.b - x (-∞,-b -)-b - (-b -,b -) b - (b -,+∞)b -，+∞）上单调递增.当b ＞0时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )在（-∞，+∞）上单调递增.变式1.设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.（Ⅲ）若1b =-且()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。
导数与函数的单调性、极值、最值问题(题型归纳)
导数与函数的单调性、极值、最值问题【考情分析】1.考查特点:(1)高考对导数几何意义的考查,多在选择题、填空题中出现,难度较小,有时出现在解析题第一问;(2)高考重点考查导数的简单应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择题、填空题的后几题中出现,难度中等,有时也出现在解析题的第一问.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力,创新能力.3.学科素养:逻辑推理、数学运算、数据分析.【题型一】导数的几何意义【典例分析】1．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三模拟）已知函数()2ln f x ax b x =+的图象在点()()1,1f 的切线方程为32y x =-，则a b +=（）A ．2B ．0C ．1D ．2-【答案】A【解析】()2ln f x ax b x =+ ，则()2bf x ax x'=+，由题意可知点()()1,1f 在直线32y x =-上，所以，()1321f =-=，所以，()()11123f a f a b ⎧==⎪⎨=+='⎪⎩，解得1a b ==，因此，2a b +=.故选：A.2．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知P 是曲线[]()sin 0,y x x π=-∈上的动点，点Q 在直线260x y --=上运动，则当PQ 取最小值时，点P 的横坐标为（）A ．4πB ．2πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】如下图所示：若使得PQ 取值最小值，则曲线[]()sin 0,y x x π=-∈在点P 处的切线与直线260x y --=平行，对函数sin y x =-求导得cos y x '=-，令12y ¢=，可得1cos 2x =-，0x π≤≤ ，解得23x π=.故选：C.【提分秘籍】应用导数的几何意义解题时应注意：(1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系，f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，是一个常数；(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.【变式演练】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（）A ．196B ．3C ．103D ．92【答案】AC【解析】∵322()13f x x x ax =-+-，∴2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >，可得切线斜率2223k m m a =-+=即22230m m a -+-=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103.故选：AC.2．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三模拟）曲线ln xy x=在1x =处的切线与曲线2y ax ax =-相切，则a =_________．【答案】1【解析】因为ln x y x =，所以()22ln ln 1ln x x x x x y x x''--'==，则121ln1|11x y =-'==，且切点坐标为()1,0，故切线方程为1y x =-，又2y ax ax =-，则2y ax a '=-，设切点坐标为()00,x y ，则0002000211ax a x y ax ax y -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得00110a x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：1【题型二】利用导数研究函数的单调性【典例分析】【例1】（2020·海南中学高三模拟）已知ln a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】D【解析】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =.令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<；则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．【例2】（2020·武汉外国语学校高三模拟）定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．【答案】5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为()()22f x f x x -+=，所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-，所以5x x ≤-，所以52x ≤．故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【提分秘籍】利用导数研究函数单调性的关键：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况【变式演练】1．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'= ，又由(0,2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+< ，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>；又由64ππ<，则有()(64g g ππ>，即()(64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>．故选：CD ．2.（2011·山东青岛市·高三一模）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为【答案】()60630,e【解析】由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x -> ，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e ==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=，可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()60630,e 【题型三】利用导数研究函数的极值和最值【典例分析】1.（安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研数学试题）已知函数3()7f x x ax =-+的极小值为5．（1）求a 的值，并求出()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x mx =+在(3,1)a --上的极大值不小于10m -，求实数m 的取值范围．【解析】（1）2()3f x x a '=- ，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极值，当0a >时，2()30f x x a '=-=，解得：3x =±，x ，()f x'，()f x 的变化如下：()f x 递增极大值递减极小值递增()53f x f ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭极小值，即3337533a ⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：3a =；()f x ∴的递减区间是3,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3,3⎫+∞⎪⎪⎝⎭，递减区间是33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知3a =，故3()(3)7g x x m x =+-+，2()3(3)g x x m '=+-，当30m -≥时，()0g x '≥恒成立，()g x ∴在R 上递增，无极值，当30m -<时，()0g x '=，解得：3x =±，x ，()g x'，()g x 的变化如下：93()103g x g m ⎛⎫∴=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭极大值，即39393(3)71033m m ⎛⎛-+--+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：154m ≤-，又323m --<-< ，解得：243m -<<，15244m ∴-<≤-，即实数m 的取值范围是15244m m ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭∣．2.（2021·重庆南开中学高三模拟）已知A 、B 两地相距200km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8km /h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？【解析】设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)，则y1＝k v2，当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5，即y1＝5v2.设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·2 200100088vv v=--，∴y′＝222000(8)1000(8)v v vv---＝22100016000(8)v vv--.令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16时，y在(8,16)上递减，在[16，v0]上递增，即v＝16km/h时全程燃料费最省，y min＝32000(元)；当v0<16时，即y在(8，v0]上为减函数，∴当v＝v0时，y min＝210008vv-(元)．综上，当v0≥16时，v＝16km/h时全程燃料费最省，为32000元；当v0<16时，v＝v0时全程燃料费最省，为210008vv-元．【提分秘籍】1.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.2.已知函数极值点或极值求参数的方法(1)列式:根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于0并不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x ).(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.【变式演练】（2021·山东滕州一中高三模拟）音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数sin y A x ω=的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一､三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是11sin sin 2sin 323y x x x =+++ ，则声音函数1sin sin 22y x x =+的最大值是（）A ．32B ．1C ．4D ．4-【答案】C【解析】1sin sin 22y x x =+，周期为2π，只需要求y 在[0,2]π上最大值.令cos cos 20y x x =+='，解得：3x π=或x π=或53x π=，当(0,3x π∈时，'0y >，当(,)3x ππ∈时，'0y <，当5(,)3x ππ∈时，'0y <，当5(,2)3x ππ∈时，'0y >，所以y 在550,,,,,,,23333πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭3x π=时，4y =；2x π=时，y =0max 334y ∴=.故选：C.2.（2021·福建省福州第一中学高三模拟）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.（1）若()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，求a 的取值范围；（2）若1a =，20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos f x bx x ≥，求b 的最大值.【解析】（1）2'()cos 2cos 24cos cos 2f x a x x x a x =+=+-，依题意，'()f x 有变号零点，令cos x t =，则()0,1t ∈，所以()2420g t t at =+-=在()0,1有实根，注意到0∆>，所以()()010g g ⋅<，解得2a >-，即()2,a ∈-+∞.（2）1a =，()sin sin 2f x x x =+，当2,23x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以tan 2sin x x bx +≥.记()tan 2sin h x x x bx =+-，则()0h x ≥恒成立，21'()2cos cos h x x b x =+-，()3332sin 1cos 2sin ''()2sin 0cos cos x x x h x x x x-=-=>，)'(h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()'03h b =-，若3b >，则()0'0h <，记cosθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'0h b b θ=-=>，所以存在()00,x θ∈，使得()0'0h x =，当()00,x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，所以()00,x x ∈时，()()00h x h <=，不符题意，当3b =时，()'()'00h x h >=，即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()h x 单调递增，所以，()()00h x h >=，符合题意，当,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+，由22cos 12cos103x π+>+=，sin 0x >，所以()0f x >，而3b =时，cos 0bx x <，所以()cos f x bx x >成立，综上所述，b 的最大值为3.1．（2021·山东济宁市·高三一模）已知曲线x y e =在点()11,xx e 处的切线与曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线相同，则()()1211x x +-=（）A ．-1B ．-2C ．1D ．2【答案】B 【解析】已知曲线x y e =在点()11,x x e 处的切线方程为()111x xy e e x x -=-，即1111x x x y e x e x e =-+，曲线ln y x =在点()22,ln x x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即2211ln y x x x =-+，由题意得11121211ln x x x e x e e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，得121x x e =，11112111ln 1ln 1x x x e x e x e x -=-+=-+=--，则11111x x e x +=-.又121x x e=，所以12111x x x -=+，所以1211121111x x x x ---=-=++，所以()()12112x x +-=-.故选B.2．（2021·福建莆田市·高三模拟）已知函数3()f x x kx k =+-，则“0k <”是“()f x 有极值”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“()f x 有极值”，则2()30f x x k '=+=有两个不等的实数根，所以0430k ∆=-⨯>，解得0k <，当0k <时，令2()30f x x k '=+=可得x =，此时3()f x x kx k =+-在,⎛-∞ ⎝单调递增，在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭单调递增，所以“0k <”可以推出“()f x 有极值”，所以“0k <”是“()f x 有极值”的充要条件.故选：C 3．（2021·江西高三二模）已知函数21()ln 12f x x x =-+，若()0f x kx ->恰有3个正整数解，则k 的取值范围为（）A ．ln 27ln 37,2436⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．ln 27ln 37,2436⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．ln 27ln 37,2436⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．ln 27ln 37,2436⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】由题意，()0f x kx ->恰有3个正整数解，转换为ln y x =的图象与2112y x kx =-+的图象交点问题，作出ln y x =和2112y x kx =-+的图象，如图：要使21ln 12x x kx >-+恰有3个正整数解，则需满足：9ln 313k 2ln 474k⎧>-+⎪⎨⎪<+⎩，解得：ln 27ln 372436k -<<-，故选B ．4．（2021·钦州市第三中学高三模拟）若函数op =12B 2+En −存在单调递增区间，则的取值范围是（）A ．(−1,1)B ．(−1,+∞)C ．(−1,+∞)D ．(−∞,1)【答案】B【解析】解：f′（x ）=ax+ln ，∴f′（x ）＞0在x ∈0，+∞上成立，即ax+ln ＞0，在x ∈0，+∞上成立，即a ＞−l 在x ∈0，+∞上成立．令g （x ）=−l ，则g′（x ）=−1−lnx 2，∴g （x ）=−l，在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）=−l 的最小值为g （e ）=−1∴a ＞−1．故选B ．5．（2021·山东枣庄市·滕州市第一中学高三月考）函数()2ln x f x x=的图象大致是()A．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为()()f x f x -=-，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当01x <<时，1()2ln x f x x=，21ln 1()02(ln )x f x x -'=<，函数1()2ln x f x x=单调递减，故排除答案B ，应选答案D ．6．（2021·安徽省涡阳第一中学高三模拟）已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，那么函数()()lg g x f x x =-的零点共有（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【答案】D【解析】根据题意，函数()y f x =满足()()f x f x 2=+，则函数()y f x =是周期为2的周期函数，设()h x lgx =，则函数()()g x f x lgx =-的零点个数即图象()y f x =与()y h x =的交点个数，由于()f x 的最大值为1，所以x 10>时，图象没有交点，在()0,1上有一个交点，()1,3，()3,5，()5,7，()7,9上各有两个交点，如图所示，在()9,10上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10；故选D ．7．（2021·江苏苏州大学附属中学高三模拟）已知函数()()(ln )e x f x x ax ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围为（）A ．1,e e ⎫⎛ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(0,e)D ．(1,e)【答案】A【解析】若()0f x <，则ln x ax -与e x ax -异号，如图所示，ln >x e x 恒成立∴问题等价于y ax =在x y e =与ln y x =之间转动根据重要不等式x e ex ≥，ln x x e≤.∴1a e e<<，故选：A 8．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数()3121,02,0x x f x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩，若存在实数a ，b ，c ，当a b c <<时，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的取值范围是（）A ．()4,0-B ．()3,0-C ．[)4,0-D ．[)3,0-【答案】B 【解析】312,221(),202,0x x f x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，作出函数()f x 的图象，如图：由图可知4a b +=-，01c <<，所以()()()af a bf b cf c ++343()()(4)()(4)4a b c f c c f c c c c c =++=-=-=-，令43()4(01)g c c c c =-<<，则32()412g c c c '=-24(3)c c =-，因为01c <<，所以()0g c '<，所以43()4g c c c =-在(0,1)上为单调递减函数，所以(1)()(0)g g c g <<，即30c -<<，所以()()()af a bf b cf c ++的取值范围是()3,0-.故选：B9．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（）A ．010x e <<B ．01x e >C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>【答案】AD 【解析】函数2()l (),n 0f x x x x x =+>,()ln 12f x x x '∴=++,∵0x 是函数()f x 的极值点，∴()'00f x =，即00ln 120x x ∴++=，120f e e'⎛⎫∴=> ⎪⎝⎭,当1x e >时，()0f x '>0,()x f x '→→-∞ ,010x e∴<<,即A 选项正确,B 选项不正确;()()()2000000000002ln 2l 1n 20f x x x x x x x x x x x +=++=-++=>,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD.10．（2021·江苏省南京师大附中高三模拟）已知函数()f x 定义域为[]1,5-，部分对应值如表，()f x 的导函数()f x '的图象如图所示.下列关于函数()f x 的结论正确的有（）x 1-0245()f x 12021A ．函数()f x 的极大值点有2个B ．函数在()f x 上[]0,2是减函数C ．若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点【答案】ABD【解析】由导数的正负性可知，函数()y f x =的单调递增区间为(),0-∞、()2,4，单调递减区间为()0,2、()4,+∞，B 选项正确；函数()y f x =有2个极大值点，A 选项正确；当[]1,5x ∈-时，函数()y f x =最大值是2，而t 最大值不是4，C 选项错误；作出函数()y f x =的图象如下图所示，由下图可知，当12a <<时，函数y a =与函数()y f x =的图象有四个交点，D 选项正确.故选：ABD.12．（2021·山东省烟台高三一模）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '>>，则下列成立的有（）A ．11m f m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．11f m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭C ．1111f m m ⎛⎫> ⎪--⎝⎭D ．101f m ⎛⎫<⎪-⎝⎭【答案】AC【解析】设()()g x f x mx =-，则()()0g x f x m ''=->，故函数()()g x f x mx =-在R 上单调递增，且10m>，()10g g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故111f m ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，10f m ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，而10m m -<，11m f m m -⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误．101m >-，故()101g g m ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111m f m m ⎛⎫->-⎪--⎝⎭，11011f m m ⎛⎫>> ⎪--⎝⎭，故C 正确，D 错误．故选：AC .13．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）定义在()0+∞，的函数()f x 满足()()()1,11f x xf x f x'+==，则()f x 的零点是_______．【答案】1e【解析】令()()ln F x xf x x =-，则()()()1F x f x xf x x ''=+-，又()()1f x xf x x '+=，所以()()()10F x f x xf x x''=+-=，则函数()F x 为常函数，又()()111ln11F f =⨯-=，所以()()()1ln ln 1x F x xf x x f x x +=-=⇒=令()0f x =，所以1=x e 故答案为：1e14．（2021·嘉祥县第一中学高三模拟）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为___________.【答案】2627π【解析】设中空圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2(02)h h +<<，则22()12h r +=，2214h r =-，∴中空圆柱的体积22(2)(1)(2)4h V r h h ππ=+=-+．23(1)4V h h π'=-+-，可得当2(0,3h ∈时，0V '>，当2(3h ∈，2)时，0V '<，则当23h =时，V 取得最大值为6427π，又毛坯的体积为2341012133πππ⨯⨯+⨯=，∴该模具体积的最小值为10642632727πππ-=．故答案为：2627π．15．（2021·重庆高三模拟）已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()x g x f x xe -=+，则a =______；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为______.【答案】1(),2e -∞【解析】因为y x =为奇函数，()()x x f x x ae e =-为偶函数，所以x x y ae e =-为奇函数，∴000ae e =-，所以1a =，则()xg x xe =.因为()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，所以x e m e x<+对()0,x ∈+∞恒成立.设函数()()0x e h x e x x =+>，则()2'x e h x e x =-，显然()2'x e h x e x=-在()0,x ∈+∞上单调递增，且()'10h =，所以当01x <<时，()'0h x <；当1x >时，()'0h x >.从而可得()()min 12h x h e ==，故m 的取值范围为(),2e -∞.16.（2021·福建省福州第一中学高三模拟）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a R ∈.（1）若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值点，求a 的取值范围；（2）若1a =，20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos f x bx x ≥，求b 的最大值.【解析】（1）2'()cos 2cos 24cos cos 2f x a x x x a x =+=+-，依题意，'()f x 有变号零点，令cos x t =，则()0,1t ∈，所以()2420g t t at =+-=在()0,1有实根，注意到0∆>，所以()()010g g ⋅<，解得2a >-，即()2,a ∈-+∞.（2）1a =，()sin sin 2f x x x =+，当2,23x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以tan 2sin x x bx +≥.记()tan 2sin h x x x bx =+-，则()0h x ≥恒成立，21'()2cos cos h x x b x =+-，()3332sin 1cos 2sin ''()2sin 0cos cos x x x h x x x x-=-=>，)'(h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()'03h b =-，若3b >，则()0'0h <，记cosθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'0h b b θ=-=>，所以存在()00,x θ∈，使得()0'0h x =，当()00,x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减，所以()00,x x ∈时，()()00h x h <=，不符题意，当3b =时，()'()'00h x h >=，即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()h x 单调递增，所以，()()00h x h >=，符合题意，当,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+，由22cos 12cos103x π+>+=，sin 0x >，所以()0f x >，而3b =时，cos 0bx x <，所以()cos f x bx x >成立，综上所述，b 的最大值为3.17.（北京市海淀区2021届高三一模数学试题）已知函数()sin f x x x =.（1）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，并说明理由；（2）求证：函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个极值点；（3）求函数()1()ln f x g x x+=在区间(1,]π上的最小值.【答案】（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3）1ln π【解析】（1）因为()sin f x x x =，所以()sin cos f x x x x '=+⋅，因为02x π<<，所以()0f x '>，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.（2）设()()h x f x '=，则()cos cos sin 2cos sin h x x x x x x x x '=+-⋅=-⋅，当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又()102h π=>，()0h ππ=-<，所以存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0h x =，即存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0f x '=，()f x 与()'f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的变化情况如下：x 0(,)2x π0x 0(,)x π()'f x +0-()f x 增函数极大值减函数所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个极值点.（3）由（1）（2）知，()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，又因为(1)sin10f =>，()0f π=，所以当(1,]x π∈时，()11f x +≥，又因为当(1,]x π∈时，0ln ln x π<≤，所以()11()ln ln f x g x x π+=≥，当且仅当x π=时等号成立，所以()g x 在(1,]π上的最小值为1ln π.。
难点06 利用导数研究函数的单调性最值与极值-2017年高
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第二篇难点6 利用导数研究函数的单调性、最值与极值【热点考法】利用导数研究函数的单调性、最值与极值是理念高考考查的重点和难点，考查形式为选择题填空题或解答题，主要考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值进而研究函数的图像与性质，再利用函数图像、最值等性质解不等式恒成立问题，证明不等式，难度为容易题、中档题或难题，分值为12至17分.【热点考向】考向一 利用导数研究函数的单调性【解决法宝】函数的单调性问题（1）利用导数判定函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数.（2）用导数函数求单调区间方法：求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题：先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加. 例1【2017届山西省太原市高三模拟考试（一）】已知函数()()12f x lnx ax a R x=++∈在2x =处的切线经过点()4,2ln2-（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式2211lnx m x x>--恒成立，求实数m 的取值范围. 【分析】(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论m 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数满足()0g x b >> ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为.【解析】（1）由题意得()221,0f x a x x x=+->' ∴()324f a '=+，∴()f x 在2x =处的切线方程为()()()222y f f x '-=-即32214y a x ln ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，∵点()4,22ln -在该切线上，∴1a =-，∴()()22212110x f x x x x --=--=≤' 函数()f x 在()0,+∞单调递减；考向二 利用导数求函数的极值【解决法宝】函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.例2【辽宁省沈阳市大东区2017届高三质量监测】已知，函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围.【分析】（Ⅰ）首先注意到函数的定义域，求函数的导数()22231x x f x x -+'= ，在定义域内求()0f x '> 和()0f x '< 的区间；（Ⅱ）首先求()1ln (0)g x x a x x x=--> ，根据导数()0g x '= ，得到210x ax ++= ，得到根与系数的关系，其中211x x =，并代入求()()12g x g x - ，并求函数()()111h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值，即得到的取值范围.（Ⅱ）由已知得()1ln g x x a x x=-+， ()0,x ∈+∞， ()222111a x ax g x x x x +='+=++，令()'0g x =，得210x ax ++=，∵()g x 有两个极值点12,x x ，∴2121240{010a x x a x x ->+=->⋅=>，∴()211221{a x x a x x <-==-+，又∵12x x <，∴()10,1x ∈， ∴()()()12111111111111ln ln g x g x g x g x a x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111111111122ln 22ln x a x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()1122ln h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0,1x ∈, ∵()()()222211ln 1111'2121ln x x x h x x x x x x x x +-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当()0,1x ∈时，恒有()'0h x <，∴()h x 在()0,1x ∈上单调递减，∴()()10h x h >=， 故()()120g x g x ->，又∵()()12g x g x t ->恒成立，∴0t ≤.考向三 利用导数求函数的最值【解决法宝】函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （是自变量，是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系.例3【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试数学理试题】已知函数()()()222(0)x f x x e a x x =-++>.（1）若()f x 是()0,+∞的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围.【分析】（1）函数单调递增等价于导函数()00+f x '≥∞在（，）上恒成立，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题： ()124x x e a x -≥+ 的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数的取值范围；(2)实质证明函数()f x 当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.【解析】（Ⅰ） ()()224xxf x e x e ax a +-+'=+∵函数)f x （在区间0+∞（，）上单调递增， ()00+f x ≥'∴∞在（，）上恒成立. ∴()2240x x e x e ax a +-++≥，∴()124xx e a x -≥+， 令()()124x x e g x x -=+，()()()()()()()2222221242102424x x x xe x x x e e x x e g x x x ⎡⎤-----+--⎣⎦==<++'， ∴()()104g x g <=，∴14a ≥. （Ⅱ）()'20xf x x e a ⎡⎤⋅+⎣⎦'=> ∴()=0+y f x '∞在（，）上单调递增 ()0=410f a '-<又 ()1=60f a '> ∴()0,1=0t f t '∈存在（）使∴0t x ∈（，）时， ()0f x '<， t +x ∞∈（，）时， ()0f x '> x=t 当时， ()()()2min ==-2+2t f x f t t e a t ⋅+（）()()=-1+220tf t e t a t '⋅+=且有（） ，∴()()1=22t e t a t -+．由（Ⅰ）知()()1=()=22t e t a g t t -+在()0,t ∈+∞上单调递减，1(0)=,(1)=04g g ，且104a <<，∴()0,1t ∈．∴()()()()()()22min21==-2+2222t ttt t e t f x f t t e t e t -+--⋅+=⋅+（），()()2=102te f t t t ⋅---<'，∴()()()10f f t f <<， ()1e f t -<<-, ∴()f x 的最小值的取值范围是(),1e --．【热点集训】1.【广西陆川县中学2017届高三下学期知识竞赛】已知函数()cos xf x xe=（为自然对数的底数），当[],x ππ∈-时， ()y f x =的图象大致是（ ）A.B.C. D.【答案】B2.【2017届安徽省安庆市高三模拟考试（二模）】若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】,则，且所以3.【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟】已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数， ()f x '为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()201f x xf x x -'+>，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则()1f =（ ） A. 0 B. 1 C. 38 D. 15【答案】C【解析】令()()()'2'g x f x xf x =+ ，则()'01g x x >- ,所以当1x > 时, ()'0g x > ; 当01x << 时, ()'0g x < , 所以函数()g x 在()0,1 内为减函数, 在()1,+∞ 内为增函数,且在1x = 时取得极小值,所以()'10g = , 故有()()21'10f f += , 又()3'4f x =- , 所以()318f =. 4.【2017届陕西省咸阳市高三二模】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意x R ∈满足()()0f x f x +'<，则下列结论正确的是（ ）A. ()()2ln23ln3f f >B. ()()2ln23ln3f f <C. ()()2ln23ln3f f ≥D. ()()2ln23ln3f f ≤ 【答案】A【解析】令()()()()()(),0,x xg x e f x g x e f x f x g x ⎡⎤==+<⎣'⎦'是定义在R 上的单调递减函数，且()()ln2ln3,ln2ln3,g g 所以()()2ln23ln3,f f >选A.5.【河北省曲周县第一中学2017届高三下学期第一次模拟考】已知函数()1ln f x x x x=-+，若()()1,,53a f b f c f π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则（ ）A. c a b <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a << 【答案】D6.【云南省曲靖市第一中学2017届高三第六次月考】已知函数()21cos 2f x x t x =-．若其导函数()'f x 在R 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. []1,1- D. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()'sin f x x t x =+令()()'sin g x f x x t x ==+，则()'1c o s g x t x =+，即1c o s 0tx +≥恒成立，只需10{10t t -≥+≥，解得11t -≤≤，故选C ．7.【海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考】已知函数()f x 满足()()33f x f x +=，当()0,3x ∈时()1ln ()3f x x ax a =->，当()6,3x ∈--时()f x 的最大值为19-，则实数的值等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D【解析】∵()()33f x f x +=，∴()()()6339f x f x f x +=+=，当()6,3x ∈--时，()60,3x +∈，∴()()()6ln 66f x x a x +=+-+，又∵()f x 的最大值为19-，∴()6f x +的最大值为1-， 令()()ln 66y x a x =+-+，则11666a ax y a x x --='-=++，当166x a-<<-时， 0y '>，函数单调递增；当163x a-<<-时， 0y '<，函数单调递减， 故max 111ln 6666ln 11y a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+--+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1a =，故选D.8.【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第三次阶段测】已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于点()1,0-中心对称，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '⎡⎤+++<⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（ ）A. ()1,+∞B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】C9.【2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考】已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. ()2,eB. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12ln3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，又()ln 1ln 1ax x ax x --=--++，则()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥ 可华化为：()()2ln 121f ax x f --≥，即()()ln 11f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以： ln x a x ≥且ln 2x a x+≤ 对[]1,3x ∈同时恒成立. 设()ln x g x x =， ()21ln xg x x -'=，则()g x 在[)1,e 上递增，在(],3e 上递减， ()()max 1g x g e e ∴==.设()ln 2x h x x += ， ()21ln 0xh x x -'-=< ， ()h x 在[]1,3 上递减， ()()min 2ln333h x h +==.综上得：的取值范围是12ln3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】关于的方程，即：,令函数,若方程在在区间上有两个不等实根，即函数与在在区间有两个不相同的交点，,令可得，当时,函数是减函数,当时,，函数是增函数，函数的最小值为：，.函数的最大值为：方程在关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.，故选：A.11.【江西省百校联盟2017届高三2月联考】若函数存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（）A. B. C. D. 或【答案】A12.【2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟】已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】因为，所以令，可得函数的两个极值点分别为，由题意，即，解之得或，应填答案。
导数与函数的单调性、极值、最值
导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法: 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．() 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是() A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)3． (浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则 ( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值4． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)5． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．思维升华(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．例2 设a ≥0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．思维启迪 (1)通过f ′(2)的值确定a ；(2)解f ′(x )＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．思维升华(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．例3已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)；(2)可以列表观察h(x)在(－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值范围．思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝x ln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．答题模板利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．思维启迪(1)解方程f′(x)＝0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k－1和区间[0,1]的关系求最值．规范解答解:(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.[2分]f(x)与f′(x)所以，f(x)分](2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；[8分]当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[10分]综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[12分]答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．方法与技巧1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．A 组 专项基础训练1． 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为 ( )2． 下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是 ( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π)3． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e4． 设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤35． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是 ( )A ．－2B ．0C ．2D ．46． 函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．8． 设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________．9． 已知函数f (x )＝1x ＋ln x ．求函数f (x )的极值和单调区间．10．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于 x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围．B 组 专项能力提升1． 已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)2． 如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.2893． 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．4． (课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．5． 已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求a 的取值范围．(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．。
导数与函数的单调性、极值、最值
[变式训练] (2017·北京卷)已知函数 f(x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝excos x－x，所以 f(0)＝1， f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以 f′(0)＝0， 所以 y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令 g(x)＝f′(x)，
考点 2 利用导数求函数的最值(讲练互动) 【例】 (2019·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数． (1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值． 解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0.
由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1. 此时 f(1)＝3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex. 若 a>12，则当 x∈(1a，2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a， 当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞) 上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大 值．
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2017版导数题型归类
第一讲 单调性、极值、最值
一、学习目标
1.理解单调性与导数的关系；
2.理解极值与最值的定义；
3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值的步骤和方法。
二、重难点
重点：最值
难点：据单调性、极值、最值求参数
三、教学引入
通过前面几节课的学习我们了解了导数的作用，你还能回忆起有哪些吗？
四、过程
【知识点一】单调
考法：判断单调性、求单调区间、利用单调性求参、证明不等式。
方法：构造函数、分类讨论、数形结合。
知识： 导函数0)('>x f ，则原函数为增；导函数0)('
<x f ，则原函数为减。
但是要注意利用导数求参时增函数要用0)('≥x f 。
例题1.【2014年温州市高三第一次适应性测试】设函数2()ln f x ax x =+.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()(21)g x a x =+，若当(1,)x ∈+∞时，()()f x g x <恒成立，求a 的取值范围.
【巩固练习】
1.若曲线x ax y ln 2+=存在与y 轴垂直的切线，则a 的范围为_______.
2.3()31f x ax x =-+对于[11]x ∈-，总有()0f x ≥成立，则a = .
3.【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】设函数x a bx ax x f )21(2
131)(23-++=，R b a ∈,，0≠a . （1）若4b a =，求)(x f 的单调递增区间；
（2）若曲线)(x f y =与x 轴相切于异于原点的一点，且)(x f 的极小值为a 3
4-
，求b a ,的值.
【知识点二】极值与最值
考法：正向考察直接求极值最值；逆向考察已知极值最值求参数。
方法：分类讨论、数形结合。
知识：极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点；极值可能是最值，最值可能是极值（最值是要通过把极值与端点值比较得到）。
例题 2.【浙江省建人高复2014届高三上学期第二次月考】设3x =是函数
),0(,)()(23R x a e
b ax x e x f x ∈>++=的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调递增区间；
（2）设225()()4x g x a e =+
,若存在]4,0[,21∈x x 使得1|)()(|21<-x g x f 成立，求实数a 的取值范围.
【巩固练习】
1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则函数()f x 有极大值(___)f 和极小值(___)f ．
2.【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】设函数x e x f x sin )(+=，2)(-=x x g ；
（1）求证：函数)(x f y =在),0[+∞上单调递增；
（2）设))(,(11x f x P ，22(,())Q x g x )0,0(21>≥x x ，若直线PQ x //轴，求Q P ,两点间的最短距离.
五、课堂巩固
1.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31812343
y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ． A. 13万件 B.11万件 C. 9万件 D.7万件
2.【浙江省东阳中学2013-2014学年高二3月阶段考试第8题】 已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. (sin )(sin )f A f B >
B. (sin )(cos )f A f B >
C. (cos )(cos )f A f B <
D. (sin )(cos )f A f B <
3. 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．
（1）试写出y 关于x 的函数关系式；
（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？
六、课后作业
1.【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】已知函数()f x 的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是2310x y -+=，则(1)(1)f f '+=
________.
2.【2014年温州市高三第一次适应性测试】设函数32()f x ax bx cx =++，若1和1-是函数()f x 的两个零点，1x 和2x 是()f x 的两个极值 点，则12x x 等于( )
A ．1-
B ．1
C ．13-
D ． 13
3.【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】函数32
()f x x ax ax =++()x R ∈不存在极值点，则a 的取值范围是_________.
4.【浙江省考试院抽学校2014届高三11月抽测测试】(本题满分14分) 已知a 为给定的正实数，m 为实数，函数f (x )＝ax 3－3(m ＋a )x 2＋12mx ＋1． (Ⅰ) 若f
(x )在(0，3)上无极值点，求m 的值； (Ⅱ) 若存在x 0∈(0，3)，使得f (x 0)是f
(x )在[0，3]上的最值，求m 的取值范围．。