数学物理方法留数定理--实积分

由留数定义有:
n
Res[ f (z),] + Res[ f (z), zk ]
k =1
=
1
f
2i C1
(z)dz
+
1
2i
C
f
(z)dz =
0.
[证毕]
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说明: 由定理得
n
Res[ f (z), zk ] = Res[ f (z), ],
k =1
n
f (z)dz = 2i Res[ f (z), zk ] (留数定理)
(z z0)m f (z) = am + am+1(z z0) +L+ a1(z z0)m1
+ a0(z z0 )m + a1(z z0 )m+1 + L
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两边求 m 1 阶导数,
得
dm1 dz m 1
[(z
z0
)m
f (z)]
= (m 1)!a1 +(含有 z z0 正幂的项)
dm1
+ a1(z z0 ) + L + ak (z z0 )k + L
3
积分 f (z)dz
C
= L + ak (z z0 )k dz + L + a1 (z z0 )1dz + L
C
C
(重要结论)
2i
0
+ a0dz + a1(z z0 )dz + L + ak (z z0 )k dz + L
f (z) = 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
所以 z0 为 f (z) 的一级极点,
Res[
f
(z),z0] =
lim(z
zz0
z0 )
f
(z)
=
lim (z
zz0
z0
)
P(z) Q(z)
= lim [(z z0 )P(z)]' = P(z0 ) .
=
1 2i
C
f
(z)dz
注意积分路线取顺时针方向
说明 Res[f (z),]= a1
= a1
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2.定理二 如果函数 f (z) 在扩充复平面内只有有限个
孤立奇点, 那么 f (z) 在所有的奇点 (包括点)
的留数的总和必等于零.
证 .
. z1 .z2
.zk .
. C (绕原点的并将 zk包含在 . 内部的正向简单闭曲线)
f (z) 的一级极点,
且有
Res[
f
( z ),
z0
]
=
P(z0 ) Q(z0 )
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.
证 因为 Q(z0 ) = 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
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因此 1 = 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
1
学习要求与内容提要
目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。 重点： 留数的计算与留数定理 难点： 留数的计算与留数定理
2
4.1 留数定理
一、留数引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
.z0
l l0
z0的某去心邻域 0 z z0 R 邻域内包含 z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的罗朗级数: f (z) = L + ak (z z0 )k + L + a1(z z0 )1 + L + a0
zz0 Q(z)'
Q(z0 )
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三、在无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 R z +内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
那末积分 1 f (z)dz 的值与C无关，则称此定值
2 i C1
为 f (z)在点的留数，
记作
Res[
f
(z),]
=
1 2i
C
f
( z )dz
C
C
C
0 (基本柯西定理)
= 2ia1 罗朗级数中负幂项 a1(z z0 )1的系数
4
即
a1
=
1 2i
C
f
( z )dz
= Res[ f (z), z0 ] f (z)在 z0的留数
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点, 则沿
在 z0的某个去心邻域0 z z0 R内包含 z0 的
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i且
z1 . .z2
L
D
1 2i
C1
f
( z )dz
+
1 2i
C2
f
( z )dz
+L
+
1 2i
Cn
f
( z )dz
= Res[ f (z), z1] + Res[ f (z), z2] + L+ Res[ f (z), zn]
n
= Res[ f (z), zk ] 即可得.
lim
z z0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)] =
(m
1)!a1,
所以 Res[ f (z), z0 ] = a1
=
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m
1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
[证毕]
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•规则3
设
f
(z)
=
P(z) Q(z)
,
P(z)
及
Q(z)
在
z0都解析，
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) = 0,Q(z0 ) 0, 那么 z0 为
k =1
[证毕]
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2.留数的计算方法
(1) 如果 z0 为 f (z) 的可去奇点, 则Res[ f (z), z0 ] = 0. (2) 如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z) 展开
成罗朗级数求 a1
(3) 如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则 •规则1 如果 z为0 f (的z)一级极点, 那么
Res[f
(z),
z0
]
=
lim (z
zz0
z0
)
f
(z).
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•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那么
Res[
f
(z), z0]
=
(m
1
dm1
1)!
lim
zz0
dz
m1
[(
z
z0 )m
f
(z)].
证 f (z) = am (z z0 )m + L + a2(z z0 )2 +
+ a1(z z0 )1 + a0 + a1(z z0 ) + L
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z)在 z0 的留数.
记作 Res[ f (z), z0 ]. (即 f (z)在 z0 为中心的圆环
域内的罗朗级数中负幂项a1(z z0 )1的系数 .)
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二、利用留数求积分
1.留数定理 函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1 , z2 ,L, zn 外处处解析, C 是 D内包围诸奇
点的一条正向简单闭曲线, 那么
n
f (z)dz = 2i Res[ f (z), zk ].
C
k =1
说明: 1. f (z)在C上及 C内部处处解析；
2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数.
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证 如图
f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + L + f (z)dz