第二型曲面积分资料

( 3 ) 求和
Q v i ni Si
i 1 n
( 4 ) 取极限
设 d max { Si 的直径 },
1i n
则 Q lim vi ni Si .
d 0 i 1
n
定义7.2（第二型面积分）
设在向量场 A( M ) 的场域中有一可求面积的有向曲面 ( S ) ，指定它 的一侧, 将 ( S ) 任意分成 n 小片 Si (i 1, 2,

[ P cos Q cos R cos 值函数 A( x , y , z ) 在有向
曲 面 上 积分等于数量值函数 P cos Qcos Rcos 在
的第一型曲面积分.
4 第二型面积分的性质
1． （线性性） 设 A, B可积 , , 为常数，则
n
i
，若不论曲面 ( S ) 怎样划分，点 M i 在 Si 上怎样
选取，当各小曲面 Si 直径的最大值 d 0 时, 上述和式都趋于同一
常数, 则称此极限值为向量场 A( M ) 沿有向曲面 ( S ) 的第二型曲面积分 简称为第二型面积分，记作
(S )
A(M ) e dS lim A(M ) e
第二型面 积分
第二型面积分
1 曲面侧的概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
封闭曲面分内侧和外侧
曲面的分类:
典 型 双 侧 曲 面
1.双侧曲面； 2.单侧曲面.
n
典型单侧曲面: 麦比乌斯带
取定了法向量指向的双 侧曲面称为有向曲面 .
对 于 : z z( x , y ) , 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 锐 角( 钝 角 ), 则 取 定 了 曲 面 的 上 侧 ( 下 侧 ).
从而
(S )
A(M ) dS Pdy dz Qdz dx Rdx dy.
(S )
第二型面积分的坐标形式
3 两类曲面积分的关系
设曲面 指向侧的单位法向量 n {cos , cos , cos }, 则有


A ndS

Pdy dz Qdz dx Rdx dy
将 ( S )任意分成 n 小块 Si (i 1, 2, 记为Si . , n), 其面积
( 2 ) 近似
Mi (i , i , i ) Si ,
z
ni
Mi
vi
通过 Si 流向指定侧 的流量的近似值为

i
o x
y
, n).
Qi Si vi ni (i 1, 2,
( A B ) dS A dS B dS .

2． （对积分曲面的可加性）若曲面 1 2 ，且
n d 0 i 1 i
n
n
( M i )Si
如果记 en dS dS, 称dS为曲面面积微元向量, 它可看作是曲 面(S )在M 点处指向给定侧的一个法向量，其长度在数量上 等于面积微元的值，那么，第二型曲面积分还可写成
（S）
A(M ) dS lim A(M ) e (M )S
d 0 i 1 i n i
n
i
这是第二型曲面积分的向量形式.
注:
当 A(M )在有向曲面(S )上连续时, 第二型曲面积分存在.
在直角坐标系下，第二型面积分可用坐标形式给出 设 A(M ) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) ,
en (M ) (cos , cos , cos ), Mi =(i ,i , i ) ,则有
{dyd ,dzz dx,dxdy},
d 0
P( x, y, z ) cos Q( x, y, z ) cos R( x, y, z ) cos dS
(S )
其中 dS en dS (cos dS , cos dS , cos dS ) (dy dz, dz dx, dx dy)
z
n
上侧
z

下侧

o x
y
o x
n
y
曲面 : z z( x, y) 有上侧与下侧之分 ;
曲面 : x x( y, z ) 有前侧与后侧之分 ;
曲面 : y y( x, z ) 有左侧与右侧之分 .
封闭曲面有内侧与外侧 之分.
2 第二型面积分的概念
一、流量问题
设一稳定流动的不可压缩流体（假定密度为 1）的 速度场为 v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k ， 求单位时间内流过光滑有向曲 面 ( S )指定侧的 流量Q .
, n) , 任取一点
, n) 其中 en ( M i ) 是曲面
Mi Si ,作点积 A(Mi ) en (Mi )Si ,(i 1, 2,
在点 M i 处指向给定侧的单位法向量， Si 表示 Si 的面积，作和式
A(M ) e (M )S
i 1 i n i
(S )
A(M ) e dS lim A(M ) e (M )S
n d 0 i 1 i n i n i 1
n
i
lim [ P(i ,i , i )Si cos i Q(i ,i , i )Si cos i R(i ,i , i )Si cos i ]
若 (S )为 平面上面积为 A 的 区域，而流速 v 是 常向量，
( S ) 指定侧的单位法向量 n cos i cos j cos k .
则 Q A v cos Av n
若 ( S ) 为曲面,流速v 不是常向 量,则用下面的方法计算流量 Q.
A

v
n
( 1 ) 分割