第二类曲面积分.ppt

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例 1：计算曲面积分 Q xdydz ydzdx zdxdy，其中 是球面 x2 y2 z2 a2 的外侧 。
解： 设 F {x, y, z}，则 Q F n0dS 其中 n0 是球面外侧的单位法向量。
因为 F //n0 ，且同向，所以 F n0 | F | a
3.求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
n
vi
ni0Si
i 1
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n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
i1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
Q1 xdydz 2 ydzdx 3zdxdy 合一投影法
1
z
[ x(zx ) 2 y(zy ) 3a]dxdy
a
Dxy
3adxdy 3a3
Dxy
Dxy : x2 y2 a2
o x
hy
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Q2 xdydz 2 ydzdx 3zdxdy 合一投影法
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三、第二类曲面积分的计算法
设积分曲面 由方
程 z z( x, y)给出， 在 xoy面上的投影
区域为 Dxy，且设函数 z( x, y)在 Dxy上具有 一阶连续偏导数，函 数 P ，Q，R在 上连 续。
n z
o
Dxy
x
z z(x, y)
y (S )xy
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的速度场为
v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
设 Σ 是速度场中的一片有向曲面，
函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在 Σ 上连续，
z
求在单位时间内流向 Σ 指定
一侧的流体的质量 。
则
F
n0dS
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P cos Q cos Rcos dS
{Px, y, z( x, y)(zx ) Qx, y, z( x, y)(zy )
Dxy
Rx, y, z( x, y)1}dxdy
其中：若 取上侧，取正号， 取下侧，取负号。
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Q F n0dS adS a dS
a 表面积 4 a3
事实上，容易求得：n0
1 {x,
y, z}
a
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例 2：把对坐标的曲面积分
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
化成对面积的曲面积分，其中是平面3x 2 y 2 3z 6
我们可以证明：当向量函数F( x, y, z)的三个分 量函数 P( x, y, z)，Q( x, y, z)，R( x, y, z)在有向光滑 曲面 Σ 上连续时，第二类曲面积分总存在。
以 后 如 不 特 殊 说 明 我 们 总 假 定 P(x, y,z) ， Q( x, y, z)， R( x, y, z)在 Σ 上连续。
在第一卦限部分的上侧 。
解： 3x 2 y 2
3z 6
上侧的法向量为：n {3,2,2
3}
单位法向量为：n0 {3 , 2 , 2 3} 55 5
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
1 5
(3
P
(
x
,
y,
z
)
2Q
2
3R( x, y, z))dS
n
F
(
i
,i
,
i
)
n0
(
i
,i
,
i
)Si
i 1
如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时, 上面和式
有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关），则称此
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极限值为向量函数 F(x, y,z) 在有向曲面 Σ 上沿指定
一侧 对坐标的曲面积分（或第二类曲面积分，或向量场
若 的方程为：z z( x, y)，( x, y) Dxy，则
Pdydz Qdzdx Rdxdy
{Px, y, z( x, y) (zx ) Qx, y, z( x, y)(zy )
Dxy
Rx, y, z( x, y) 1}dxdy
其中：若 取上侧，取正号， 取下侧，取负号。 合一投影法
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若 的方程为： x x( y, z)，( y, z) Dyz ，则
Pdydz Qdzdx Rdxdy
{Px( y, z), y, z1 Qx( y, z), y, z( xy )
D yz
Rx( y, z), y, z( xz )}dydz
其中：若 取前侧，取正号， 取后侧，取负号。
型
双
侧
n
曲
面
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
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定义： 设 为一光滑曲面，M 为 上任意一点，
在 M 处的法向量有两个指向，取定一个指 向，记为 n，若动点从 M 点出发，在 上不 越过边界移动，最后回到 M 点时，n 的方向 没有改变，则称 为双侧曲面。否则称为单 侧曲面。
解： 利用微元法
o
y
分割、近似、求和、取极限
x
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1.分割 把曲面 Σ 分成n小块Si(Si同时也代表
第i 小块曲面的面积),
在 S i 上任取一点
(i ,i , i ),
z Si
ni
vi
(i ,i , i )
则该点流速为
vi
单位法向量为 ni0 .
•
o
y
x
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y,
z)d
zd
x
Dz x
Q
(x,
y(z,
x ), z
)
d
z
d
x
(右正左负)
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例 3：计算流速为：v xi 2 yj 3zk 的流体在单位时
间内流过锥体：x2 y2 z2，0 z a 全表面外
侧的流量，设流体的密度为 1。
解: 所求流量为：Q xdydz 2 ydzdx 3zdxdy 1 : z a , 取上侧 , 2 : z x2 y2 , 取下侧 ,
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy ]
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
lim
0
n i 1
vi
ni0Si
n
lim
0
[P(i ,i
i 1
,
i
)(Si
) yz
Q(i ,i ,
i
)(Si
)xz
R(i ,i , i )(Si )xy ]
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第二类曲面积分的定义：
则该点流速为：
vi
v(i ,i ,
i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
记该点处曲面 Σ 的单位法向量为：
ni0
cos i i
cos i
j
cos
ik
2.近似 通vi 过 ni0SiS流i 向指(i 定 侧1,2的,流量, n的). 近似值为
合一投影法
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若 的方程为： y y(z, x)，(z, x) Dzx ，则
Pdydz Qdzdx Rdxdy
{Px, y(z, x), z( yx ) Qx, y(z, x), z 1
Dzx
Rx, y(z, x), z( yz )}dzdx
其中：若 取右侧，取正号， 取左侧，取负号。 合一投影法
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
Rd x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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说明：
引例中，流向 指定一侧的液体的流量 为：
v(
x,
y,
z)
n 0
(
x,
y,
z)dS
Pd y d z Qd z d x Rdx d y
第二类曲面积分存在的必要条件:
第十章
第二类曲面积分 一第、五有向节曲面
二、第二类曲面积分的 概念与性质
三、第二类曲面积分的 计算
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观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
一、有向曲 面
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
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曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
dydz cos dS , dzdx cos dS , dxdy cos dS
则
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F n0 dS P cos Q cos Rcos dS
Pdydz Qdzdx Rdxdy
——第二类曲面积分的坐标表示
其中：
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
的法向量为：n {zx ,zy ,1} 法向量为上侧时取正号，为下侧时取负号
有向曲面Σ的法向量的方向余弦为
cos
zx
,
1 zx2 zy2
cos
zy
,
1 zx2 zy2
cos
1
.
1 zx2 zy2
dS 1 zx2 zy2dxdy
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2
2 : z x2 y2 , 取下侧 ,
[ x(zx ) 2 y(zy ) 3 x2 y2 ]dxdy
Dxy
2x2 y2
dxdy
Dxy x2 y2
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基本性质：
（1）线性性质：
(k1F1
k2F2 )
n0dS
k1
F1
n0dS
k2
F2
n0dS
（2）可加性： 1 2
F
n0dS
F
n0dS
F
n0dS
1
2
（3）有向性：
F
n0dS
F
n0dS
注意：第二类曲面积分没有第一类曲面积分的对称
性质及有关不等式的性质。
单位设法向Σ量为为光n滑0 ( 的x, 有y, z向)。曲又面设，向取量定函一数侧F (，x,记y,这z)一在侧Σ 上的
有定义。把 Σ 任意分成 n块小曲面Si(Si同时又表示
第点，i 块n小0 (曲i ,面i ,的 i )面表积示)该, (点i处,i的,单i )是位法S向i 上量任，意作取和定式的：一
正、负侧分别记为 ，。
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二、第二类曲面积分
引例: 流体流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ，有向平面区域 A，求单
位时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). v
A
n0
流量
Av cos
wk.baidu.comAv
n 0
v
A
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（2）设稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）
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说明: •若
分面投影法 则有
R( x, y, z)d x d
y
Dx y
R( x,
y, z( x,
y)) d xd
y
(上正下负)
•若
则有
P( x, y, z)d ydz
P( x( y, z), y,z) d y d z Dyz
(前正后负)
•若
则有
Q(
x,
若 F ( x, y, z) P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)
n0( x, y, z) cos ,cos ,cos ， 则
F n0 dS P cos Q cos Rcos dS
——两类曲面积分之间的关系
我们常用记号dydz，dzdx ，dxdy表示面积微元dS 在 yoz平面，zox平面， xoy平面上的有向投影，即
用曲面法向量的指向规定曲面的侧， 规定了侧的曲面称为有向曲面。
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曲面侧的具体规定如下： （1）若的方程为 z z(x, y)：
规定：法向量与 z 轴正向的夹角为锐角的一侧称 为 的上侧（正侧），另一侧称为下侧（负侧）。
（2）若的方程为 x x( y, z)： 规定：法向量与 x 轴正向的夹角为锐角的一侧称
上的面积分），记作：
n
lim 0i
F
F (i
1
(x, y,z
,i , i
) n0 (
) x,
n0 y,
(
z)
i
,i
dS
,
i
)Si
F ( x, y, z) dS （dS n0dS 称为有向面积元素）
当Σ 是封闭曲面时，第二类曲面积分常记作
F ( x,
y, z)
dS
F
n0dS
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为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
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（3）若的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。 （4）若 为封闭曲面:
规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧）， 朝内的一侧称为内侧（负侧）。