届高三文科数学立体几何空间角专题复习
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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1:两异面直线所成的角
例1.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点
(Ⅰ)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值;
(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
例2.(2010全国卷1文数)直三棱柱111ABC A B C -中,若
90BAC ∠=︒,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所
成的
角等于(C ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
变式训练:
1.(2009全国卷Ⅱ文)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA =2AB ,E 为1AA 中点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为(C)
(A )1010(B)15(C )31010(D)35
2.如图,直三棱柱111ABC A B C -,90BCA ︒∠=,点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点,1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是()
A .1030
B .21
C .15
30 D .1015 3.(2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱
111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 ( )
A .55
B .53
C .55
D .35
第3题图第4题图第5题图
4.(2007全国Ⅰ·文)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35 D.45
5.(2012年高考(四川文理))如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是
6.(2011年全国二文15)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________.
7.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧棱1CC 的中点,则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是。8(2011年上海文)已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱,高12AA =,求
(1)异面直线BD 与1AB
所成角的余弦值;
10(2)四面体11AB D C 的体积. 考点2:直线与平面所成的角 例3.正方体ABCD -1111A B C D 中,1BB 与平面
D )
(A )3(B (C )23(D 例4.(2011年天津文17)如图1-7,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,
∠ADC =45°,AD =AC =1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD ,PO =2,M 为PD 的中点.
(1)证明PB ∥平面ACM ;(2)证明AD ⊥平面P AC ;
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.
图1-7图1-8
【解答】(1)证明:连接BD ,MO .在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点.又M 为PD 的中点,所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ,MO ?平面ACM ,所以PB ∥平面ACM .
D B D 1
B
(2)证明:因为∠ADC =45°,且AD =AC =1,所以∠DAC =90°,即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ,AD ?平面ABCD ,所以PO ⊥AD .而AC ∩PO =O ,所以AD ⊥平面P AC .
(3)取DO 中点N ,连接MN ,AN .因为M 为PD 的中点,所以MN ∥PO ,且MN =PO =1.由PO ⊥平面ABCD ,得MN ⊥平面ABCD ,所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt △DAO 中,AD =1,AO =,所以DO =.从而AN =DO =.在Rt △ANM 中,tan ∠MAN ===,即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.
变式训练
9.(20008福建卷理)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为(D) 6 26 15 10第9题图第10题图第11题图
10.(2010四川文理15)如图,二面角l αβ--的大小是60°,线段AB α⊂.B l ∈, AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是311.已知长方体1111ABCD A B C D -中11,2,3DA DC DD ===,求直线1BB 与平面11A BC 所成的角。
12.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上. (Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面; (Ⅱ)当2PD =且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB
所成的角的大小.
13.【2012高考天津文科17】(本小题满分13分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD ⊥PD ,
BC=1,3PD=CD=2.
(I )求异面直线PA 与BC 所成角的正切值;
(II )证明平面PDC ⊥平面ABCD ;
(III )求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
【解析】(I )//AD BC ⇒PAD ∠是PA 与BC 所成角
在ADP ∆中,,1,2AD PD AD BC PD ⊥===tan 2PD PAD AD ∠==