届高三文科数学立体几何空间角专题复习

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2015届高三文科数学立体几何空间角专题复习 考点1:两异面直线所成的角

例1.如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点

(Ⅰ)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值;

(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1

例2.(2010全国卷1文数)直三棱柱111ABC A B C -中,若

90BAC ∠=︒,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所

成的

角等于(C ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°

变式训练:

1.(2009全国卷Ⅱ文)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA =2AB ,E 为1AA 中点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为(C)

(A )1010(B)15(C )31010(D)35

2.如图,直三棱柱111ABC A B C -,90BCA ︒∠=,点1D 、1F 分别是11A B 、11A C 的中点,1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是()

A .1030

B .21

C .15

30 D .1015 3.(2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱

111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 ( )

A .55

B .53

C .55

D .35

第3题图第4题图第5题图

4.(2007全国Ⅰ·文)如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35 D.45

5.(2012年高考(四川文理))如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是

6.(2011年全国二文15)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________.

7.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧棱1CC 的中点,则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是。8(2011年上海文)已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱,高12AA =,求

(1)异面直线BD 与1AB

所成角的余弦值;

10(2)四面体11AB D C 的体积. 考点2:直线与平面所成的角 例3.正方体ABCD -1111A B C D 中,1BB 与平面

D )

(A )3(B (C )23(D 例4.(2011年天津文17)如图1-7,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,

∠ADC =45°,AD =AC =1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD ,PO =2,M 为PD 的中点.

(1)证明PB ∥平面ACM ;(2)证明AD ⊥平面P AC ;

(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.

图1-7图1-8

【解答】(1)证明:连接BD ,MO .在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点.又M 为PD 的中点,所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ,MO ?平面ACM ,所以PB ∥平面ACM .

D B D 1

B

(2)证明:因为∠ADC =45°,且AD =AC =1,所以∠DAC =90°,即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ,AD ?平面ABCD ,所以PO ⊥AD .而AC ∩PO =O ,所以AD ⊥平面P AC .

(3)取DO 中点N ,连接MN ,AN .因为M 为PD 的中点,所以MN ∥PO ,且MN =PO =1.由PO ⊥平面ABCD ,得MN ⊥平面ABCD ,所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt △DAO 中,AD =1,AO =,所以DO =.从而AN =DO =.在Rt △ANM 中,tan ∠MAN ===,即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.

变式训练

9.(20008福建卷理)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为(D) 6 26 15 10第9题图第10题图第11题图

10.(2010四川文理15)如图,二面角l αβ--的大小是60°,线段AB α⊂.B l ∈, AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是311.已知长方体1111ABCD A B C D -中11,2,3DA DC DD ===,求直线1BB 与平面11A BC 所成的角。

12.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上. (Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面; (Ⅱ)当2PD =且E 为PB 的中点时,求AE 与平面PDB

所成的角的大小.

13.【2012高考天津文科17】(本小题满分13分)

如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD ⊥PD ,

BC=1,3PD=CD=2.

(I )求异面直线PA 与BC 所成角的正切值;

(II )证明平面PDC ⊥平面ABCD ;

(III )求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

【解析】(I )//AD BC ⇒PAD ∠是PA 与BC 所成角

在ADP ∆中,,1,2AD PD AD BC PD ⊥===tan 2PD PAD AD ∠==

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