电路(第七章 二阶电路)概要

d 2 uC dt2 R d uC 1 uC 0 L dt LC
uC t Ke st
特征方程是：
R 1 s s 0 L LC
2
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电路分析基础
特征方程的两个根称为特征根，又称固有频率。
s1,2 R 1 R 2L LC 2L
LC振荡回路
1 2 1 2 1 1 w(0) Li (0) Cu (0) 0 (J) 2 2 2 2
结论：无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式 在电感和电容之间相互交换，永不消失。 若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2
+ uR-
RLC串联电路的零输入响应
C
i
-
R + uC- + + 含源电 uOC L u L 阻网络 -
d uC i C dt d uC uR Ri RC dt
di d 2 uC uL L LC dt dt2
列KVL方程
uR uC uL uOC
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电路分析基础
设LC回路的L=1H、C=1F，uC(0)=1V、iL(0)=0。 iC d uC iC iL iL iL + dt uC C L d iL uC u L uC dt d uC iC C 初始条件：uC(0)=1V，iL(0)=0。 dt iL(t)=sint uC(t)=cost 猜想方程的解为： d iL (t ) d uC ( t ) cos t uC ( t ) sint i L ( t ) dt dt
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
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电路分析基础
C
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度 全部储于电容中，电容电压又达到U0， 只是极性相反而已。 （5）电容又开始放电，只是放电方向与 上一次电容放电的方向相反。 当电容电压再次下降到零瞬间，能量又 全部储于电感中，电流又达到了最大值。
Uc + i
L
C
U0 +
L
i
（6）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又 全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。 上述过程将不断地重复进行。 电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始 的振荡，且幅值不变，称为等幅振荡。
表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。
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电路分析基础
LC电路中的正弦振荡
LC振荡波形 已知 uC(0) = U0 iL(0) = 0
3T 4
U0
uC(t)
+ uC C _
T
iL
+ L uL _
t
o
U0
T t 4t4 t5 t6 t7 8 T t1 t2 t3 2
t9 t10 t11 t12
难点
微分方程求解
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电路分析基础
关于二阶电路
二阶电路：包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电 感的动态电路。
这类电路可以用一个二阶微分方程来描述。 二阶电路的问题是求解二阶微分方程的问题。 有固定的步骤可以遵循，并不困难。
分析二阶电路的方法：
首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电 路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求

1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点
RLC串联二阶电路的全响应
1 L R （ 3 ）当 时，即 R＜ 2 时， ＜ LC C 2L
2
2
uC (t ) K1 es1t K2 es2t
s1、s2为共轭复数，欠阻尼
2
2
特征根决定电路的响应特点，其 实部决定电路能量衰减的快慢， 虚部决定电路振荡的频率。
1 L R （ 1 ）当 ＞ 时 ， 即 R ＞ 2 时 ， s1、s2为不相等的负实数。过阻尼 LC C 2L
方程的解是：
1 L R （ 2 ）当 时，即 R2 时 ， s1、s2为相等的负实数。临界 LC C 2L s1t s2t u ( t ) K e K t e 方程的解是： C 1 2
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
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T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
注意：
等效变换后，只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶电路。
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电路分析基础
§7-1
LC电路中的正弦振荡
C + U0 i
（1）在初始时刻，能量全部储于电容 中，电感中没有储能。
di i 0，但uL L 最大。 dt
-
L
电流i开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐转 移到电感的磁场中。 （2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。 （3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。 储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。