线性代数矩阵行列式向量知识点总结

线性代数

第一章：行列式

1.排列：任意两数字先大后小为一个逆序；一组无序数组逆序个数为奇数就是奇排列；反之为偶排列。且一个数组任意两个数字调换，则奇偶调换。

排列决定行列式某一项的正负，若行标按标准次序，则列标的逆序数是奇数此项为负。

n n np p p p p p r a a a D ....)

1(21)

2121...(-∑=，每一项是n 个元素的乘积，每个元素取自不同的行不同

的列。

行列式展开共有n!项，一半正，一半负。

注意：λλλλn

D ....21=为矩阵的特征值

2.

nn

nn

n

n

a a a a a a a a a ......

(221122211211)

= 11,212

)1(11,221112

11

..)

1(................

n n n n n n n n

a a a a a a a a a ----=

3.行列式的性质：（1）行列式与其转置行列式值相等；（所以行的性质也是列的性质）

（2）交换两行对应元素，行列式值变号。 （3）任意两行对应元素相等，成比例行列式值为0。 （4）例：

n

x y

x n

c y

a d

m b

x d

c b a n

m c y

x a d

m c b

x a n

d m c y

b x a +

+

+

=

+++

++=

++++

（5）把某行的k 倍加到另一行对应元素，行列式值不变。

4.余子式ij M ：去掉第i 行第j 列剩下的元素构成行列式的值。代数余子式ij j i ij M A +-=)1(

5.定理，行列式某行的代数余子式×另一行的对应元素值为0。

6.范德蒙德行列式

)....)...()()()...()((.........................1. (1112242311312113121)

12

232221321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n

n n n n

n ------==---- 例

：

240

)32)(12)(13)(12)(13)(11(8

4214

9

1

1

231111118

42127

9

31

111111

11=--+-+-----=----=

----

7.

,00,

0()0)i

n n i n n D A X b x D D

A X D R n D n ⨯⨯==

≠=≠==<。

若只有零解，若（R 有无穷多解。 第二章：矩阵

1.注意：（1）对角矩阵是方阵记做⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛==nn nn a a a a a a diag A ....

),....,(22

11

2211 （2）C A BC AB O B O A O AB BA AB =====≠不一定或不一定不一定。,.

,

BA AB B A B A B A =⇔-=-+22))(若（

2.对称阵：ji ij T a a A A ==,。关于主对角线元素对称。

性质：若A,B 是同阶对称阵，A+B 是对称阵，A λ是对称阵。

反对称阵：ji ij T a a A A -=-=,，主对角线元素全是0.

性质：若A,B 是同阶反对称阵，A+B 是反对称阵，A λ是反对称阵 3.逆矩阵：常用：=⋅*

A A E A A A =⋅* 1*-=A A A

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-a c b d bc ad d c b a 11

对角阵⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛=nn a a a A ....

2211的逆矩阵⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛==----11

22

1111....nn a a a A

4.方阵A 可逆的充要条件：（1）0≠A 非奇异矩阵 （2）特征值0≠i λ （3）满秩，r=n (4)A 与E 等价 A 经过若干次初等变换能化成单位矩阵 （5）s p p p A ...21=若干个初等阵的乘积

5.公式：（1）A A T T =)( (2) T T T B A B A +=+)( (3) T T T A B AB =)( (4)

T T A A λλ=)(

(5) B A AB = (6) A K KA n = （7）n

n

A A = （8）1

*

-=n A

A

（9）A A =--1

1)( （10）11

1

)

(--=

A A λ

λ (11) 111)(---=A B AB (12)

11)()(--=T T A A

(13) 1

1

--=A A

A A T = (14) 1**1)()(--=A A

6.分块矩阵：

7.初等变换：矩阵A 经过有限次初等变换化成矩阵B ，则A 与B 等价，记做B A ~。 性质：(1)A A ~ （2）A B B A ~,~则 (3) C A C

B B A ~~,~则

单位矩阵经过初等变换得到的矩阵称为初等阵。

8.（1）定理：A 是m*n 的矩阵，对A 实施初等行变换，相当于用一个m 阶的初等阵左乘A ，对A 实施初等列变换，相当于用一个n 阶的初等阵右乘A 。（左乘初等阵得行变换，右乘初等阵得列变换。）

例：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛n p

m

y z x b c a p n

m z y x

c b a

010100001 ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y

x

p n m

c b a

p n

m z y x

c b a

010100001 （2）定理：矩阵A 经过初等行变换化成矩阵B （行等价）的充要条件是存在可逆矩阵P 使

得B=PA （左乘初等阵）

矩阵A 经过初等列变换化成矩阵B （列等价）的充要条件是存在可逆矩阵Q 使得B=AQ(右乘初等阵)

矩阵A 经过初等变换化成矩阵B （等价）的充要条件是存在可逆矩阵P,Q 使得B=PAQ 9.利用初等变换求逆矩阵：)()(1-EA AE 行变换 解矩阵方程：()()B A E B A B

A X

B AX 11,,--=⇒=行变换

10.矩阵的秩，定义：矩阵中非零的最高阶子式的阶数为矩阵的秩r 。即所有r 阶子式不全

为零，r+1阶子式全为零。

定理：经过初等变换不改变矩阵的秩。（矩阵初等变换等价，等价必等秩） 性

质

：

(1)

)

()(),())(),(max(B R A R B A R B R A R +≤≤ (2)

)()()(B R A R B A R +≤+

(3) ))(),(min()(B R A R AB R ≤ (4) B A ,为n 阶非零矩阵，若O AB =,则

n B R A R ≤+)()(

***11.1

)(1)()(01

*)(-<-==⎪⎩

⎪

⎨⎧=n A r n A r n A r n

A r

第三章，向量组与线性方程组

（一）向量组

1.若k k k k m m ,

...2211αααβ+++=为一组实数，称为β是向量组A:m ααα,...,21的线性

组合，或β是可由向量组m ααα,...,21的线性表示。