离散数学集合论-西安电子科技大学

笛卡儿积 设A和B是两个集合，称集合
A× B = {< a,b >| a ∈ A ∧ b ∈ B}
为集合A和B的笛卡儿积或叉集。
§3.2.1 两个集合的笛卡儿积
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【例题】设A={a, b}, B={α, β}，求A×B
解答：
A×B={<a, α >,<a, β >,<b, α >,<b, β >}
S = {< 2,1 >, < 3,2 >, < 4,3 >} R οS = {< 2,3 >, < 4,1 >, < 3,2 >}
= {< x, z >| x + z = 5, x ∈ A, z ∈ C}
§3.2.5 关系的复合运算
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【定理】设R是从集合A和B的二元关系，S为B到C 的二元关系，P为从C到D的二元关系，则有：
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序偶
两个元素a和b组成的具有固定次序的序列， 记为<a, b>。
例如：<北京，上海> 表示某火车行驶的起点和终点。
<北京，上海>≠<上海，北京>
两个序偶<a1, b1>=<a2,b2>的充要条件是： a1=a2且b1=b2
§3.2.1 两个集合的笛卡儿积
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离散数学
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第二篇 集合论
第3章 集合与关系
第13课时
3.1 集合及其运算
第14课时 第15课时 第16课时 第17－18课时 第19－20课时
3.2 二元关系 3.3 集合上的二元关系及其特性 3.4 关系的闭包运算 3.5 等价关系 3.6 序关系
§3.2.1 两个集合的笛卡儿积
ρ ( A × B ) = 2 m⋅n
§3.2.2 二元关系的定义
A到B上特殊的二元关系：
Φ （1）空关系
A × B （2）全域关系
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§3.2.3 二元关系的表示方法
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（1）列举法
例如： R={<张明，马琳>, <李军，王燕>, <李军，马琳}
（2）关系矩阵 （3）关系图
§3.2.1 两个集合的笛卡儿积
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【定理】如果集合A和B都是有限集，那么
A×B = A • B
两个有限集合的笛卡儿积的基数等于两 个集合基数的乘积。
§3.2.2 二元关系的定义
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二元关系 两个集合A和B的笛卡儿积A×B的子集，
称为A到B的二元关系。
求R与S的逆关系Rc和Sc。 解答：
Rc = {< 4,2 >, < 2,4 >, < 3,3 >} = {< y, x >| x + y = 6, x ∈ A, y ∈ B}
S c = {< 1,2 >, < 2,3 >, < 3,4 >} = {< z, y >| y − z = 1, y ∈ B, z ∈C}
张明
M R = 李军
刘刚
马琳 王燕
⎡1 0⎤
⎢⎢ 1
1
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 ⎥⎦
张明 李军 刘刚
马琳 王燕
§3.2.4 关系的集合运算
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由于关系是以序偶为元素构成的集合，因此集 合上的所有运算在关系上依然适用。 （1）并 （2）交 （3）差 （4）补 （5）环和
§3.2.4 关系的集合运算
» 内容总结和延伸
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ο
§3.2.5 关系的复合运算
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复合关系 设R为集合A到B的二元关系，S为集合B 到C的二元关系，则R◦S为集合A到C的二 元关系。
RοS ={<a,c>| a∈A∧c∈C∧(∃b)(b∈B∧<a,b>∈R∧<b,c>∈R}
§3.2.5 关系的复合运算
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【例题】设集合A={1, 2, 3, 4}, B={2, 3, 4}, C={1, 2, 3}。 R = {< x, y >| x + y = 6, x ∈ A, y ∈ B} S = {< y, z >| y − z = 1, y ∈ B, z ∈ C}
求R与S的复合关系R◦S。 解答： R = {< 2,4 >, < 4,2 >, < 3,3 >}
§3.2.2 二元关系的定义
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设R是集合A到集合B的二元关系。
前域 陪域
集合A称为R的前域。 集合B称为R的陪域。
定义域 值域
domR = {x | (∃y)(< x, y >∈ R)} ranR = {y | (∃x)(< x, y >∈ R)}
§3.2.2 二元关系的定义
§3.2.6 关系的逆运算
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【例题】设集合A={1, 2, 3, 4}, B={2, 3, 4}, C={1, 2, 3}。
R = {< x, y >| x + y = 6, x ∈ A, y ∈ B} = {< 2,4 >, < 4,2 >, < 3,3 >} S = {< y, z >| y − z = 1, y ∈ B, z ∈C} = {< 2,1 >, < 3,2 >, < 4,3 >}
设R⊆A×B，若<x,y>∈R，则称x与y有 R关系，记为：
xRy
若<x,y>∈R，则称x与y没有R关系，记为：
xR/ y
§2.2.2 二元关系的定义
例如：
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{张明，李军，刘刚}
{马琳，王燕 }
A:舞会上的男生
B:舞会上的女生
A与B的笛卡儿积中总共有3×2＝6个序偶
“舞伴关系” R={<张明，马琳>, <李军，王燕>}
(R οS) οP = R ο(S οP)
关系的复合运算满足结合率。
若R是从集合A和A的二元关系，则有：
R的幂次： R n = 1R ο4 R2Λ4 ο3R
Hale Waihona Puke n个ο§3.2.6 关系的逆运算
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逆关系
设R为集合A到B的二元关系，R的逆关系 Rc是从集合B到A的二元关系。
Rc ={<b,a> <a,b>∈R}
定义域dom(R)
R
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值 域ran(R)
前域A
陪域B
§3.2.2 二元关系的定义
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【思考题】设集合A和B都是有限集合，|A|=m, |B|=n。请问A到B上可以定义多少个不同的二 元关系？
解答：A与B的笛卡儿积有多少个不同的子集，在A到B 上就可以定义多少个不同的二元关系，因此：